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【解析版】2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(理科)


2013 年广东省东莞市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是 符合要求的. 1. 分) (5 (2013?东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是( ) A.y=sinx B.y=﹣log2x C. D. y= y= 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题. 分析: 由正弦函数,对数函数,指数函数,幂函数的单调性很容易得到答案. 解答: 解:∵y=sinx 在 上是增函数, (0,1)? ∴y=sinx 在(0,1)上是增函数. 故答案为 A 点评: 本题考查了常见函数单调性,以及函数单调性的判断与证明,是个基础题. 2. 分) (5 (2013?东莞一模)如果复数 z=a +a﹣2+(a ﹣3a+2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.﹣2 B.1 C.2 D.1 或﹣2
2 2



考点: 复数的基本概念. 分析: 纯虚数的表现形式是 a+bi 中 a=0 且 b≠0,根据这个条件,列出关于 a 的方程组,解出结果,做完以 后一定要把结果代入原复数检验是否正确. 解答: 解:∵复数 z=a2+a﹣2+(a2﹣3a+2)i 为纯虚数, ∴a +a﹣2=0 且 a ﹣3a+2≠0, ∴a=﹣2, 故选 A 点评: 复数中常出现概念问题,准确理解概念是解题的基础,和本题有关的概念问题同学们可以练习一遍, 比如是实数、是虚数、是复数、还有本题的纯虚数,都要掌握.
2 2

3. 分) (5 (2013?东莞一模)已知

是不共线的向量,若 ,则 A、B、C 三点共线的充要条件为( )

A.λ1=λ2=﹣1

B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2﹣1=0

D.λ1?λ2+1=1

考点: 向量的共线定理;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 将三点共线转化成两个向量共线,利用向量共线的充要条件求出两参数的关系. 解答: 解:A、B、C 三点共线? 共线 ∴存在 λ 使





∴λ1λ2﹣1=0

故选项为 C 点评: 本题考查向量共线的充要条件及充要条件的求法. 4. 分) (5 (2013?滨州一模)如图是 2007 年在广州举行的全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈 打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

考点: 茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 根据所给的茎叶图,看出七个数据,根据分数处理方法,去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 把剩下的五个数字求出平均数和方差. 解答: 解:由茎叶图知,去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 所剩数据 84,84,86,84,87 的平均数为 方差为 ; .

故选 C. 点评: 茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容,考生应引起足够的重视, 确保稳拿这部分的分数. 5. 分) (5 (2013?东莞一模)已知函数 的最小值为( A.1 B. C. D. )

考点: 基本不等式;反函数. 专题: 计算题. 分析: ﹣1 ﹣1 ﹣1 x 求出函数 y=2 的反函数是 y=f (x) ,推出方程 f (a)+f (b)=4,化简,利用基本不等式求 的最小值. 解答: 解:函数 y=2x 的反函数是 y=f 1(x)=log2x, ﹣1 ﹣1 a b 所以 f (a)+f (b)=4,就是 log2 +log2 =4, 可得 ab=16(a,b>0) ≥2 故选 B. = , (当且仅当 a=b 时取等号)


点评: 本题考查反函数的求法,基本不等式求最值,考查计算能力,是基础题.解答的关键是出现已知和 待求一个为整式形式一个为分式形式,求最值将它们乘起后用基本不等式. 6. 分) (5 (2013?东莞一模)如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图 是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意得,该几何体的直观图是一个底面半径为 ,母线长为 1 的圆锥.其侧面展开图是一扇形, 所以利用公式求解即可. 解答: 解:由题意得,该几何体的直观图是一个底面半径为 ,母线长为 1 的圆锥.其侧面展开图是一扇 形,弧长为 2πr=π, ∴这个几何体的侧面积为 故选 D. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,是基础题.

7. 分) (5 (2013?东莞一模)两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是

,且 a>b 则双曲线

的离心率为( A.

) B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 ,联立方程求得 a 和 b,再根据 c= 进而根据离心率公式求得 e. 解答: 解:依题意得 解得 a=5,b=4 ∴c =a +b =(a+b) ﹣2ab=41
2 2 2 2

求得 c,

∴c= ∴e= = 故选 D 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.属基础题.

8. 分) (5 (2013?东莞一模)已知 Ω={(x,y)|

},直线 y=mx+2m 和曲线 y=

有两

个不同的交点, 它们围成的平面区域为 M, 向区域 Ω 上随机投一点 A, A 落在区域 M 内的概率为 P 点 (M) , 若 P(M)∈[ A. [ ,1] ,1],则实数 m 的取值范围( B. [0, ] ) C. [ ,1] D.[0,1]

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 压轴题. 分析: 画出图形,不难发现直线恒过定点(﹣2,0) ,结合概率范围可知直线与圆的关系, 直线以(﹣2,0)点为中心顺时针旋转至与 x 轴重合,从而确定直线的斜率范围. 解答: 解:画出图形,不难发现直线恒过定点(﹣2,0) , 圆是上半圆,直线过(﹣2,0)(0,2)时, , 它们围成的平面区域为 M,向区域 Ω 上随机投一点 A, 点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M) ,此时 P(M)= 当直线与 x 轴重合时,P(M)=1; 直线的斜率范围是[0,1]. 故选 D. ,

点评: 本题考查直线与圆的方程的应用,几何概型,直线系,数形结合的数学思想,是好题,难度较大. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 分) (5 (2006?北京)在 的展开式中,x 的系数是 84 . (用数字作答)
3

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题.

分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 3 得到 x3 的系数. 解答: 解: , 令 7﹣2r=3, 解得 r=2, 故所求的系数为(﹣2) C7 =84 故答案为 84 点评: 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题. 10. 分) (5 (2013?东莞一模)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数 0,两个面上标以数 1,一 个面上标以数 2,将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之积为 0 的概率 .
2 2

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 由题意知本题是一个等可能事件发生的概率, 试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的 6 个面中, 三个面上标以数 0,两个面上标以数 1,一个面上标以数 2,将这个小正方体抛掷 2 次,而满足条件 的事件是向上的数之积为 0,写出三种情况下的结果,得到概率. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件发生的概率, ∵试验包含的所有事件是一个均匀小正方体的 6 个面中,三个面上标以数 0,两个面上标以数 1, 一个面上标以数 2,将这个小正方体抛掷 2 次,共有 C6 C6 =36 种结果, 1 1 1 1 1 1 而满足条件的事件是向上的数之积为 0,包含 C3 C3 +C3 C3 +C3 C3 =27 种结果, ∴P= = ,
1 1

故答案为: . 点评: 通过创设情境激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度.在学生分析问题、解决问题的过 程中培养其积极探索的精神,从而实现自我的价值. 11. 分) (5 (2013?东莞一模)如图,该程序运行后输出的结果为 45 .

考点: 循环结构. 专题: 图表型.

分析: 经过观察为当型循环结构,按照循环结构进行执行,当不满足执行条件时跳出循环,输出结果即可. 解答: 解:经过分析,本题为当型循环结构,执行如下: S=0 A=1 S=3 A=2 S=6 A=3 S=10 A=4 S=15 A=5 S=21 A=6 S=28 A=7 S=36 A=8 S=45 A=9 当 S=45 不满足循环条件,跳出. 故答案为:45. 点评: 本题考查当型循环结构,考查对程序知识的综合运用,模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的 办法.属于基础题.

12. 分) (5 (2013?东莞一模)已知点 P(x,y)满足条件 为 8,则 k= ﹣6 .

(k 为常数) ,若 z=x+3y 的最大值

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 画出可行域,将目标函数变形,画出相应的直线,将其平移,数学结合当直线移至点 A 时,纵截距 最大,z 最大. 解答: 解:画出可行域 将 z=x+3y 变形为 y= 画出直线 , 平移至点 A 时,纵截距最大,z 最大,

联立方程





代入 故答案为﹣6

,∴k=﹣6.

点评: 本题考查画不等式组的可行域;利用可行域求出目标函数的最值. 13. 分) (5 (2013?东莞一模) (几何证明选讲选做题) 如图,AD 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的弦,过 C 做 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与⊙O 相交于点 E,AE 平 分∠CAB,且 AE=2,则 AB= .

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: 利用弦切角定理可得∠EAD=∠C,由角平分线的性质可得∠EAD=∠CAE,又∠C+∠CAD=90°即可 得出∠EAD=30°,在 Rt△ EAD 中,即可求出 AB. 解答: 解:∵AD 是⊙O 的切线,∴∠EAB=∠C, ∵AE 平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAE, ∵∠ABC=90°,∴∠CBD+∠C=90°,∴∠EAD=30°. 在 Rt△ EAD 中,AB=AE?cos30°= . 故答案为 . 点评: 熟练掌握弦切角定理、角平分线的性质、直角三角形的边角关系是解题的关键.

14. 分) (5 (2013?东莞一模)在极坐标系中,点(1,0)到直线 ρ(cosθ+sinθ)=2 的距离为



考点: 点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的直线的极坐标方程,转化成直线的一般式方程,根据点到直线的距离,写出距离的表示 式,得到结果. 解答: 解:直线 ρ(cosθ+sinθ)=2 直线 ρcosθ+ρsinθ=2 ∴直线的一般是方程式是:x+y﹣2=0 ∴点(1,0)到直线的距离是

故答案为: 点评: 本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程,本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式 方程. 15. (2013?东莞一模)函数 f(x)=|x|﹣|x﹣3|的最大值为 3 . 考点: 绝对值不等式;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 已知函数 f(x)=|x|﹣|x﹣3|,根据绝对值的性质先进行分类讨论,去掉绝对值进行求解. 解答: 解:①若 x<0,f(x)=|x|﹣|x﹣3|=﹣x﹣(3﹣x)=﹣3; ②0≤x≤3,f(x)=|x|﹣|x﹣3|=x﹣(3﹣x)=2x﹣3,∴﹣3≤f(x)≤3; ③x>3,f(x)=|x|﹣|x﹣3|=x﹣(x﹣3)=3, 综上﹣3≤f(x)≤3, 故答案为 3. 点评: 此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题,这类题目是高考的热点,难度不是很大,要注 意不等号进行放缩的方向. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分) (2013?惠州二模)设函数 f(x)=2cos x+sin2x+a(a∈R) . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)当 时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x) (x∈R)的对称轴方程.

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)函数 f(x)解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式 化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期;由正弦函数的单调 递增区间为[2kπ﹣ ,2kπ+ ](k∈Z)求出 x 的范围即为函数的递增区间;

(2)由 x 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值,表示出函数的 最大值,由已知最大值求出 a 的值即可,令这个角等于 kπ+ 称轴方程. 解答: 解: (1)f(x)=1+cos2x+sin2x+a= ∵ω=2,∴T=π, ∴f(x)的最小正周期 π; 当 2kπ﹣ 解得:kπ﹣ 则 x∈[kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时 f(x)单调递增, (k∈Z) , ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间; sin(2x+ )+1+a, (k∈Z) ,求出 x 的值,即可确定出对

≤x≤kπ+ ,kπ+

(2)当 x∈[0, 当 2x+ =

]时,

≤2x+



, )=1,

,即 x=

时,sin(2x+

则 f(x)max= +1+a=2, 解得:a=1﹣ , 令 2x+ =kπ+ (k∈Z) ,得到 x= + (k∈Z)为 f(x)的对称轴.

点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以 及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键. 17. (12 分) (2013?东莞一模)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一 年后可能获利 10%,可能损失 10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙 项目,一年后可能获利 20%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 α 和 β(α+β=1) . (Ⅰ)如果把 10 万元投资甲项目,用 ξ 表示投资收益(收益=回收资金﹣投资资金) ,求 ξ 的期望 Eξ; (Ⅱ)若把 10 万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 α 的取值范围. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 应用题;分析法. 分析: 对于(1)如果把 10 万元投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利 10%,可能损失 10%, 可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;则可得到 ξ 的可能取值为 1,0,﹣1.然 后分别求出概率,由期望公式即可得到答案. 对于(Ⅱ)若把 10 万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,故可以先求出投 资乙项目 ξ 的期望值,然后使其大于等于甲项目的期望,解出 α 的取值范围即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,ξ 的可能取值为 1,0,﹣1 当 ξ=1 时,P(ξ=1)= , 当 ξ=0 时,P(ξ=0)= , 当 ξ=﹣1 时,P(ξ=1)= 故 Eξ= = .

故答案为 . (Ⅱ)设 η 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 η 的分布为 当 η=2 时,P(η=2)=α 当 η=﹣2 时,P(η=﹣2)=β 则 Eη=2α﹣2β=4α﹣2. 依题意要求 即: ≤α<1, ≤α<1. ,又 α<1.

故答案为

点评: 此题主要考查离散型随机变量的期望的问题,以及用期望值估计实际问题,对学生灵活应用能力要 求较高,属于中档题目. 18. (14 分) (2013?东莞一模)已知圆 C 方程为:x +y =4. (Ⅰ)直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若
2 2

,求直线 l 的方程; ,求动点

(Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 N,若向量 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

考点: 直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程;轨迹方程. 专题: 计算题;数形结合;分类讨论. 分析: (I)分类讨论:①当直线 l 垂直于 x 轴时;②若直线 l 不垂直于 x 轴.对于②,设其方程为 y﹣2=k (x﹣1) ,结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得 k 值,从而解决问题. (II)设点 M 的坐标为(x0,y0) 0≠0) 点坐标为(x,y) (y ,Q ,利用向量的坐标运算表示出 M 的坐 标, 再利用 M 点在圆上其坐标适合方程即可求得动点 Q 的轨迹方程, 最后利用方程的形式进行判断 是什么曲线即可. 解答: 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时, 则此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为 和 其距离为 满足题意(1 分) ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k+2=0 设圆心到此直线的距离为 d,则 ,得 d=1(3 分) ,







故所求直线方程为 3x﹣4y+5=0 综上所述,所求直线为 3x﹣4y+5=0 或 x=1(7 分) (Ⅱ)设点 M 的坐标为(x0,y0) 0≠0) 点 (y ,Q 坐标为(x,y) 则 N 点坐标是(0,y0) 分) (9 ∵ , (11 分)

∴(x,y)=(x0,2y0)即 x0=x,

又∵x0 +y0 =4,∴

2

2

∴Q 点的轨迹方程是

, (13 分)

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点. (14 分) 点评: 本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 19. (14 分) (2013?东莞一模)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度;

(3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 存在,请说明理由.

.若存在,确定点 E 的位置;若不

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;三垂线定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)连接 AD1,根据长方体的性质可知 AE⊥平面 AD1,从而 AD1 是 ED1 在平面 AD1 内的射影, 根据三垂线定理可得结论; (2)根据四边形 ADD1A 是正方形,则小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬 到点 C1 可能有两种途径,然后比较两个路程的大小从而求出 AB 的长; (3)假设存在连接 DE,过点 D 在平面 ABCD 内作 DH⊥EC,连接 D1H,根据二面角平面角的定义 可知∠D1HD 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角,在直角三角形 EBC 中求出 BE 的长即可求出所求. 解答: 解: (1)证明:连接 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影.又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) (2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径, 如图甲的最短路程为|AC1|= 如图乙的最短路程为|AC1= ∵x>1 2 2 2 ∴x +2x+2>x +2+2=x +4 ∴ ∴x=2 分) 假设存在连接 DE, EB=y, (9 (3) 设 过点 D 在平面 ABCD 内作 DH⊥EC,

连接 D1H,则∠D1HD 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角, ∴∠D1HD= (11 分) ,而 EC?DH=DC?AD

∴DH=DD1=1 在 R△ EBC 内,EC= 即即存在点 E,且了点 B 为

时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为

点评: 本题主要考查了三垂线定理的应用,以及与二面角有关的立体几何综合题,同时考查了推理能力和 计算能力,属于中档题. 20. (14 分) (2013?东莞一模)已知 f(x)=x +ax+a(a≤2,x∈R) ,g(x)=e ,φ(x)=f(x)?g(x) . (1)当 a=1 时,求 φ(x)的单调区间; (2)求 g(x)在点(0,1)处的切线与直线 x=1 及曲线 g(x)所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a,使 φ(x)的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;综合题;转化思想. ﹣ 分析: (1)当 a=1 时,φ(x)=(x2+x+1)e x.先对函数 y=φ(x)进行求导,然后令导函数大于 0(或 小于 0)求出 x 的范围, 根据 φ′(x)>0 求得的区间是单调增区间,φ′(x)<0 求得的区间是单调减区间,即可得到答 案. (2)先求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值,再结合导数 的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线方程.最后利用定积分的几何意义求面积即可; (3)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数 a,使 φ(x)的极大值为 3,再利用导烽工 具,求出 φ(x)的极大值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. ﹣x ﹣x 2 2 解答: 解: (1)当 a=1 时,φ(x)=(x +x+1)e .φ′(x)=e (﹣x +x) 当 φ′(x)>0 时,0<x<1;当 φ′(x)<0 时,x>1 或 x<0 ∴φ(x)单调减区间, (﹣∞,0)(1,+∞) , ,单调增区间为: (0,1) (2)k=g'(0)=﹣e |x﹣0=﹣1,切线方程为:y=﹣x+1 ﹣x ﹣ 1 ﹣x 1 所围成的封闭图形的面积为 S=∫0 [e ﹣(﹣x+1)]dx=∫0 (e +x﹣1)dx=(﹣e
x
﹣x

2

﹣x

+
﹣x ﹣x

(3)φ′(x)=(2x+a)e ﹣e (x +ax+a)=e [﹣x +(2﹣a)x] 令 φ′(x)=0,得 x=0 或 x=2﹣a:

2

﹣x

2

由表可知,φ(x)极大=φ(2﹣a)=(4﹣a)e a﹣2 a﹣2 设 μ(a)=(4﹣a)e ,μ′(a)=(3﹣a)e >, ∴μ(a)在(﹣∞,2)上是增函数, ∴μ(a)≤μ(2)=2<3,即(4﹣a)e
a﹣2

a﹣2

≠3,

∴不存在实数 a,使 φ(x)极大值为 3. (14 分) 点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、定积分在求面积中 的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.属于中档题.

21. 14 分) 2013?东莞一模) ( ( 设等差数列{an}, n}前 n 项和 Sn, n 满足 {b T ,且 cn=g(cn﹣1) (n∈N,n>1) 1=1. ,c

, 且



S2=6;函数

(1)求 A; (2)求数列{an}及{cn}的通项公式; (3)若 .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差中项的概念,把 转化为

,结合

得到



从而 A 的值可求; (2)由 A=1,可令 Sn=kn(n+1) ,由 S2=6 求出 k,则 Sn 可求,分 n=1 和 n≥2 求得 an.把给出的 cn=g (cn﹣1)变形,得到数列{cn+1}是 为公比,以 c1+1=2 为首项的等比数列,由等比数列的通项公式 求出 cn+1,从而得到 cn; (3)分 n=2k 和 n=2k+1 两类写出 d1+d2+…+dn,然后利用分组求和. 解答: 解: (1)∵{an},{bn}是等差数列, 由 ,得 ,







,解得 A=1; .
2

(2)令 Sn=kn(n+1) ,∵S2=6,得 6k=6,k=1,即
2

当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n﹣[(n﹣1) +(n﹣1)]=2n, 该式对 n=1 时成立,所以 an=2n; 由题意 ,变形得 (n≥2) ,

∴数列{cn+1}是 为公比,以 c1+1=2 为首项的等比数列. ,即 ;

(3)当 n=2k+1 时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k+1)+(c2+c4+…+c2k) =[2+6+10+…+2(2k+1)]+[(1﹣1)+( = = . )+…+( )]

当 n=2k 时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k﹣1)+(c2+c4+…+c2k) =[2+6+10+…+2(2k﹣1)]+[(1﹣1)+( )+…+( )]

=



综上:



点评: 本题考查了等差关系的确定,考查了等差数列的通项公式和等差中项概念,训练了分类讨论的数学 思想方法,考查了数列的分组求和及等差数列和等比数列的前 n 项和公式,是中档题.


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