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学案与评测2012高考总复习数学理考点演练北师大版第二单元 函数、导数及其应用(解析版))


第二单元

函数、导数及其应用
函数及其表示

第一节

1. 下列四组函数表示的是同一函数的是( ) 2 A. f(x)=|x|,g(x)=( x) B. f(x)=x2,g(x)=(x+2)2 x C. f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 D. f(x)=x0,g(x)= x 2. 下列对应

法则 f 中,构成从集合 A 到集合 B 的映射的是( ) 2 A. A={x|x>0},B=R,f:x→|y|=x B. A={-2,0,2},B={4},f:x→y=x2 1 x C. A=R,B={y|y>0},f:x→y= 2 D. A={0,2},B={0,1},f:x→y= x 2 x+2,x≤-1, ? ?2 3. 已知 f(x)=?x ,-1<x<2, ? ?2x,x≥2, A. 1 3 B. 1 或 2 若 f(x)=3,则 x 的值是( )

3 C. 1, 或± 3 2

D.

3

1 ? 4. 己知 f? ) ?2x-1?=2x+3,f(m)=6,则 m 等于( 1 1 3 3 A. B. - C. D. - 4 4 2 2 5. 集合 A={1,2,3},B={3,4},从 A 到 B 的映射 f 满足 f(3)=3,则这样的映射共有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 1 +x 6. 设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2?,则 f2 008(x)=( ) 1 -x 1+x x-1 1 A. B. C. x D. - x 1-x x+1 7. 下列四个命题: (1)f(x)= x-2+ 1-x有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射; 2 ? ?x ,x≥0, (3)函数 y=2x(x∈N)的图像是一直线;(4)函数 y=? 2 的图像是抛物线, ?-x ,x<0 ? 其中正确的命题个数是________. ? ?x-2,x≥10, 8. 设 f(x)=? 则 f(5)的值为________. ?f[f?x+6?],?x<10?, ? 9. 设 A=Z,B={x|x=2n+1,n∈Z},C=R,且从 A 到 B 的映射是 x→2x-1,从 B 到 C 1 的映射是 y→ ,则经过两次映射,A 中元素 1 在 C 中的象为________. 2y+1 1-x2 1? 10. 已知 g(x)=1-2x,f[g(x)]= 2 (x≠0),那么 f? ?2?等于________. x 11. 已知 f(x+1)=x2-3x+2. (1)求 f(2)和 f(a)的值; (2)求 f(x)与 f(x-1)的解析式. 12. 规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[13.7]=13,[-3.5]=-4,对实数 x,令 f1(x)= [4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= 时,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2) 若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围.

第二节

函数的定义域与值域

2x+1 的定义域是( ) 2x2-x-1 1 1 ?-1,+∞? -∞,- ?∪?- ,+∞? A. ? B. 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1? ? 1 ? 1 ? ? ? C. ?-∞,-2?∪?-2,1?∪(1,+∞) D. ?-2,1?∪(1,+∞) 1 2. 函数 f(x)= (x∈R)的值域是( ) 1+x2 A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) D. [0,1] 2 ? 2 x - x , 0 ≤ x ≤ 3 , ? 3. 函数 f(x)=? 2 的值域是( ) ?x +6x,-2≤x≤0 ? A. R B. [-9,+∞) C. [-8,1] D. [-9,1] 4. 已知函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则 y=f(2x-1)的定义域是( ) 5 A. [0, ] B. [-1,4] C. [-5,5] D. [-3,7] 2 ?x2,|x|≥1, ? 5. 设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域是 ? ?x,|x|<1, ( ) A. (-∞,-1]∪[1,+∞) B. (-∞,-1]∪[0,+∞) C. [0,+∞) D. [1,+∞) ax 1 6. 已知函数 f(x)= (a>0 且 a≠1), [m]表示不超过实数 m 的最大整数, 则函数[f(x)- ] 2 1+ax 1 +[f(-x)- ]的值域是( ) 2 A. (0,1) B. {0,1} C. {-1,0} D. {-1,0.1} 7. (2011· 济南模拟)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( ) A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞) 8. 函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的定义域为 R,值域为(-∞,0],则满足条件的实数 a 组成的集合是________. f?2x-1? 9. (原创题)若函数 y=f(x)的定义域是[-1,3],则函数 g(x)= 的定义域是________. x-1 2 ? 1 10. 若函数 y=f(x)的值域是? ?3,3?,则函数 F(x)=f(x)+f?x?的值域是________. 11. (创新题)如图所示,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡的总长度为 a,边坡 的倾斜角为 60° . (1)求横断面面积 y 与上底宽 x 的函数关系式,并求定义域; a a (2)当 ≤x≤ 时,求横断面面积的最大及最小值. 4 2 1. 函数 y=

7 12. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+a 的对称轴为 x= ,且方程 f(x)-7x-a=0 有两个相等 4 的实数根. (1) 求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[1,3]上的值域; (3) 是否存在实数 m(m>0), 使 f(x)的定义域为[m,3], 值域为[1,3m]?若存在, 求出 m 的值; 若不存在,说明理由.

第三节

函数的单调性与最值

1. 在下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( ) 1 A. y=|x| B. y=3-x C. y= D. y=-x2+4 x 2. (2011· 珠海北大希望之星实验学校高三月考 )函数 f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是 ( ) A. (0,4) B. (0,2) C. (2,4) D. (2,+∞) 3. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是( ) A. y=log2x B. y=(x+1)2 C. y=10x D. y=|x| 4. (2011· 杭州学军中学月考)设 M 为实数区间,a>0 且 a≠1,若“a∈M”是“函数 f(x) =loga|x-1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件,则区间 M 可以是( ) 1 ? A. (1,+∞) B. (1,2) C. (0,1) D. ? ?0,2? 5. (2010· 潮州金山中学高三月考)已知函数 f(x)=x2+2x+1,若存在实数 t,当 x∈[1,m] 时,f(x+t)≤x 恒成立,则实数 m 的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. (2010· 广东湛江一中高三月考)对于函数 f(x)=x2+2x,在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M a2+b2 中, 我们把 M 的最大值-1 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界, 则对于 a, b∈R 且 a, b 不全为 0, ?a+b?2 的下确界为( ) 1 1 A. B. 2 C. D. 4 2 4 7. 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在 x∈[0, +∞)上为增函数, 则实数 a, b 的取值范围是________. 3 8. 已知函数 f(x)=x -12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m =________. ?x2+1,x≥0, ? 9. (2010· 江苏)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是 ?1, x<0, ? ________. 1 10. (2010· 天津)设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 x m 的取值范围是________. 11. 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y,恒有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时, 2 f(x)<0,又 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值. 12. (2010· 江苏常州武进区四校高三联考)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[-2,2]上的 最大值、最小值分别是 M、m,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},且 f(0)=2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={2},且 a≥1,记 g(a)=M+m,求 g(a)的最小值.

第四节

函数的奇偶性、周期性

1. (2011· 海南五校联考)若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是 ( ) A. y=x(x-2) B. y=x(|x|+2) C. y=|x|(x-2) D. y=x(|x|-2) 3 3. 函数 f(x)=x +sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为( ) A. 3 B. 0 C. -1 D. -2 4. 已知 f(x)=x+x3,x1,x2、x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的值( ) A. 是正数 B. 是负数 C. 是零 D. 可能是正数也可能是负数或是零 5. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(3+x)=f(3-x), 若当 x∈(0,3)时 f(x)=2x, 则当 x∈(-6, -3)时,f(x)=( ) + + - - A. 2x 6 B. -2x 6 C. 2x 6 D. -2x 6 6. 定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)等于 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 4 7. 设函数 y=f(x)是奇函数.若 f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则 f(1)+f(2)=________. 8. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x>0 时, f(x)=x2+|x|-1, 那么 x<0 时, f(x)=________. π ? ?π ? 9. 若函数 f(x)具有性质:①f(x)为偶函数;②对任意 x∈R,都有 f? ?4-x?=f?4+x?,则 f(x) 的解析式可以是______.(只写出满足条件的 f(x)的一个解析式即可) 10. 对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图像关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ③若对 x∈R,有 f(x-1)=-f(x),则 2 是 f(x)的周期; ④函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图像关于直线 x=-1 对称. 其中正确命题的序号是______________. a 11. 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上是增函数,a 求的取值范围.

12. 已知函数 f(x)=|x-a|,g(x)=ax(a∈R). (1)判断函数 f(x)的对称性和奇偶性; (2)当 a=2 时,求使 g2(x)f(x)=4x 成立的 x 的集合; (3)若 a>0,记 F(x)=g(x)-f(x),且 F(x)在(0,+∞)有最大值,求 a 的取值范围.

第五节

指数与指数函数

(

1. 下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) 1?1-x 1?x 1 A. y=4 B. y=? C. y= ? D. y= 1-4x ?4? ?4? -1 3-x 2. 设 x>0 且 ax<bx<1,a,b∈(0,+∞),则 a、b 的大小关系是( ) A. b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a D. 1<a<b - 3. 函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3, 则函数 y=3a2x 1 在[0,1]上的最大值是 ) 3 A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 2 -1,x≤0, ? ? 4. 函数 f(x)=? 1 满足 f(x)>1 的 x 的取值范围为( x ,x>0, ? ?2 A. (-1,1) C. {x|x>0 或 x<-2} B. (-1,+∞) D. {x|x>1 或 x<-1}
-x

)

1 5. (2011· 承德模拟)已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时均有 f(x)< ,则实数 a 2 的取值范围是( ) 1 1 ? ? A. ? B. ? ?0,2?∪(2,+∞) ?4,1?∪(1,4) 1 ? ?0,1?∪(4,+∞) ,1 ∪(1,2] C. ? D. 2 ? ? ? 4? x x 2 6. 如果函数 f(x)=a (a -3a -1)(a>0 且 a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是( ) 2? 3 3 ? A. ? B. ? ,1? C. (1, 3] D. ? ?0,3? ?2,+∞? ?3 ? 1?-2 ? 1 ?0 1 7. 计算? ?4? +?6 2? -273=________. 8. 已知函数 f(x)的定义域是(1,2),则函数 f(2x)的定义域是______________. ?a,a<b, ? - 9. 若定义运算 a⊙b=? 则函数 f(x)=3x⊙3 x 的值域是________. ? ?b,a≥b, 10. 对于函数 f(x)定义域中任意的 x1、x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)· f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2); x1+x2? f?x1?+f?x2? ③(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]<0;④f? . 2 ? 2 ?< -x 当 f(x)=2 时,上述结论正确的是____________.(写出所有正确的序号) 1 1 x -y 2 2 11. 已知 x+y=12,xy=9 且 x<y,求 的值. 1 1 x +y 2 2 12. 已知 f(x)=3x,并且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为[-1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)判断 g(x)的单调性; (3)若方程 g(x)=m 有解,求 m 的取值范围.

第六节

对数与对数函数

1. (2010· 湖北)函数 y=

1 的定义域为( log0.5?4x-3?

)

3 ? 3 3 ? ? A. ? B. ? C. (1,+∞) D. ? ?4,1? ?4,+∞? ?4,1?∪(1,+∞) 2. 已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(3)g(3)<0,则 f(x)与 g(x)在同一坐标系内 的图像可能是( )

1 1 1 3. 已知 log b<log a<log c,则( ) 2 2 2 b a c a b c A. 2 >2 >2 B. 2 >2 >2 B. 2c>2b>2a D. 2c>2a>2b 4. (2011· 广东梅州高三模拟)在同一平面直角坐标系中, 函数 y=g(x)的图像与 y=ex 的图像 关于直线 y=x 对称. 而函数 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像关于 y 轴对称, 若 f(m)=-1, 则m 的值是( ) 1 1 A. -e B. - C. e D. e e 1 1 a b 5. (2010· 辽宁)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=( ) a b A. 10 B. 10 C. 20 D. 100 1 1 ? 6. 定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 f? ?2?=0,则满足 f(log4x)<0 的 x 的 集合为( ) 1 ?1,1?∪(1,2) -∞, ?∪(2,+∞) A. ? B. 2? ? ?2 ? 1 1? ? C. ? D. ? ?2,1?∪(2,+∞) ?0,2?∪(2,+∞) 1 7. 若 log5 · log36· log6x=2,则 x=________. 3 8. 方程 log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为________. ? ?log3x,x>0, 1 9. (改编题)已知函数 f(x)=? x 则满足 f(a)< 的 a 的取值范围是________. 3 ?3 ,x<0, ? 10. 已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值等于________. 1 x x 11. 已知 2x≤256 且 log2x≥ ,求函数 f(x)=log2 · log 2 的最大值和最小值. 2 2 2

12. (2010· 福州一中高三模拟) 如下图所示: 图 1 是定义在 R 上的二次函数 f(x)的部分图像, 图 2 是函数 g(x)=loga(x+b)的部分图像. (1)分别求出函数 f(x)和 g(x)的解析式; (2)如果函数 y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求 m 的取值范围.

第七节

幂函数与二次函数

1. 当 x∈(1,+∞)时,下列函数的图像全在直线 y=x 下方的偶函数是( ) 1 - - A. y=x B. y=x 2 C. y=x2 D. y=x 1 2 3 2. 函数 y=x 在[-1,1]上是( ) 5 A. 增函数且是奇函数 B. 增函数且是偶函数 C. 减函数且是奇函数 D. 减函数且是偶函数 3. (2010· 北京)若 a,b 是非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|,则函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)是( ) A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数 C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数 4. 设 a、b 满足 0<a<b<1,下列不等式中正确的是( ) A. aa<ab B. ba<bb C. aa<ba D. bb<ab x1+x2? f?x1?+f?x2? 4 5. 对于幂函数 f(x)=x ,若 0<x1<x2,则 f? 的大小关系是( ) 5 2 ? 2 ?与 x1+x2? f?x1?+f?x2? x1+x2? f?x1?+f?x2? A. f? > B. f? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?< f ? x ? + f ? x ? x + x 1 2 1 2 ? C. f? D. 无法确定 2 ? 2 ?= b 6. (2010· 湖南)函数 y=ax2+bx 与 y=log| |x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角标系中的图像可能 a 是( )

7. 函数 y=x

-2

1 ? 在区间? ?2,2?上的最大值是________.

1? 8. 已知幂函数 y=f(x)的图像过点? ?9,3?,则 f(25)的值为________. 1-α 9. 已知函数 f(x)=x 在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,那么最小的正 3 整数 α=________. 10. (2010· 全国)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________. 2 7 11. (2010· 开封调研)已知函数 f(x)= -xm,且 f(4)=- . x 2 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 12. (2011· 衡阳八中高三月考)已知函数 f(x)=x2-2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围.

第八节

函数的图像

1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点. 用 S1、 S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t 为时间, 则下图与故事情节相吻合的是( )

2. (2010· 安徽“江南十校”高三联考)函数 f(x)=2|log2x|的图像大致是(

)

1 3. (2011· 湖南八校联考)已知函数 f(x)=|x|+ ,则函数 y=f(x)的大致图像为( x

)

4. 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

-x+1

在同一直角坐标系下的图像大致是(

)

5. 设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图像可能是(

)

6. (2010· 宁波高三模拟考试)函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且 f(x+1)为奇函 数,当 x>1 时,f(x)=2x2-12x+16,则直线 y=2 与函数 f(x)图像的所有交点的横坐标之和是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

7. (2010· 嘉兴模拟)如图, 函数 f(x)的图像是曲线 OAB, 其中点 O, A, B 的坐标分别为(0,0),

(1,2),(3,1),则 f?

1 ? ?f?3??的值等于________.

8. (2010· 江苏苏州高三期末试题)一水池有 2 个进水口,一个出水口,每一个口的进、出水 的速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下 3 个论断:

(1)0 点到 3 点只进水不出水;(2)3 点到 4 点不进水只出水; (3)4 点到 6 点不进水不出水. 则一定不正确的论断是________.(把你认为符合题意的论断序号都填上) x 9. 已知函数 y= 给出下列四个命题: x-1 ①函数图像关于点(1,1)对称; ②函数图像关于直线 y=2-x 对称; ③函数在定义域内单调递减; 1 ④将函数图像向左平移 1 个单位,再向下平移一个单位后与函数 y= 的图像重合. x 其中错误的命题的序号是________. 10. 已知函数 f(x)具有如下两个性质: f?x2?-f?x1? ①对任意的 x1、x2∈R(x1≠x2)都有 >0; x2-x1 ②图像关于点(1,0)成中心对称图形. 写出函数 f(x)的一个表达式为________(只要写出函数 f(x)的一个表达式即可). 11. 设函数 f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3). (1)求证:f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图像.

12. 如图,函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

第九节

函数与方程

1. (改编题)设函数 y=f(x)在区间(a, b)上是连续的, f(x)在(a, b)上只有一个根, 且 f(a)· f(b)<0, a+b 取 x0= ,若 f(a)· f(x0)<0,则利用二分法求方程根时取有根区间为( ) 2 A. (a,b) B. (a,x0) C. (x0,b) D. 不能确定 2. 下列函数的图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )

x-1 3. 若函数 f(x)= ,则函数 g(x)=f(4x)-x 的零点是( ) x 1 1 A. -2 B. 2 C. - D. 2 2 - 4. 设函数 y=x3 与 y=22 x 的图像的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5. 已知 f(x)=(x-b)(x-c)-2,并且 α、β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 b、c、α、β(其 中 b<c,α<β)间的大小关系可能是( ) A. b<α<c<β B. α<b<c<β C. b<α<β<c D. α<b<β<c 6. 已知方程 x2+(2m-1)x+m-2=0 的一个根大于 1,一个根小于-1,则实数的取值范 围是( ) 2 2 2 2 A. 0<m≤ B. 0<m< C. 0≤m< D. 0≤m≤ 3 3 3 3 2 7. 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点为 2,那么 g(x)=bx -ax 的零点是________. 8. 已知函数 f(x)=ln x+2x-6. x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 -4 -1.360 9 根据上表写出 f(x)=0 的实数解所在的一个区间为______. 9. (2010· 江苏徐州模拟)已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,其零点为 x1,x2,?,x2 007 则 x1+x2+?+x2 007=________. 10. (2010· 浙江绍兴高三月考试题)已知函数 f(x)=x2-x+2-a 的零点为正数,则实数 a 的 取值范围为______. 11. 对于函数 f(x), 若存在 x0∈R, 使 f(x0)=x0 成立, 则称 x0 为 f(x)的不动点. 已知函数 f(x) 2 =ax +(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. e2 12. 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 g(x)=m 有解,求 m 的取值范围; (2)试确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

第十节

函数的模型

1. 小王进了一批货,如果月初售出可获利 100 元,再将本利都存入银行,已知银行月息 为 2.4%,如果月末售出,可获利 120 元,但要付保管费 5 元,小王为了为获利最大,这批货 应( ) A. 月初售出好 B. 月末售出好 C. 月初或月末售出一样 D. 由成本费的大小确定 2. (原创题)某工厂引进国外先进的生产技术, 产品产量从 2008 年 1 月到 2009 年 8 月的 20 个月间翻了两番,设月平均增长率为 x,则有( ) 19 20 A. (1+x) =1 B. (1+x) =3 C. (1+x)20=2 D. (1+x)20=4 3. 某同学在期中考试中,数学成绩好,英语成绩差,为了提高英语成绩,他决定把大部 分自主学习时间用于加强英语的学习,结果在后来的月考和期末考试中,英语成绩每次都比 上次提高了 10%,但数学成绩每次都比上次降低了 10%, 这时恰好两门功课的分值均为 m 分, 则这名学生这两科的期末总成绩比期中成绩( ) A. 降低了 B. 提高了 C. 不提不降 D. 是否提高与 m 的值有关 4. 某种电热器的水箱盛水 200 升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水 34 升, 在放水的同时按匀加速度自动注水(即 t 分钟自动注水 2t2 升), 当水箱内的水量达到最小值 时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水量为 65 升,则该电热器一次至多可供( ) A. 3 人洗浴 B. 4 人洗浴 C. 5 人洗浴 D. 6 人洗浴 5. 某人若以每股 17.25 元购进股票一万股,一年后以每股 18.96 元销售,该年银行利率 0.8%,按月计复利,为获取最大利润,此人应将钱((1+0.008)12≈1.100 34)( ) A. 全部购股票 B. 全部存入银行 C. 部分购股票,部分存银行 D. 购股票或存银行均一样 6. (2010· 广东深圳高三模拟)已知元素“碳 14”每经过 5 730 年,其质量就变成原来的一 半,现有一文物,测得其中“碳 14”的残存量为原来的 41%,此文物距现在约有(已知 lg 2= 0.3 010,lg4.1=0.613)( ) A. 6 000 年 B. 6 500 年 C. 7 400 年 D. 8 100 年 7. 某种录音机,原来每台售价为 384 元,现在厂家搞促销活动,每次降价 25%销售,降 价后每台录音机的售价 y 元与降价次数 x 的函数关系式为________; 该录音机降到每个售价为 162 元时,一共降价________次. 8. 欣园商店新进了一批进货单价为 8 元的儿童玩具,如果按 10 元一个销售,每天可卖出 100 个.若每个销售价涨一元,则日销售量减少 10 个.为获得最大日利润,则此玩具销售价 应定为每个________元. 9. (2010· 辽宁沈阳一中高三模拟 )为了在“十一” 黄金周期间降价搞促销,“家乐园超 市”对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠; ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元,其中 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付 款 168 元和 423 元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为________. - 10. 如图,开始时桶 1 中有 a 升水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y1=ae nt,那么 -nt 桶 2 中水就是 y2=a-ae .假设过 5 分钟时桶 1 和桶 2 的水相等, 则再过________分钟桶 1 中 a 的水只有 . 8

11. 有一种树木栽植五年后可成材,在栽植后五年内,年增长 20%,如果不砍伐,从第 6 年到第 10 年,年增长 10%,现有两种砍伐方案: 甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐; 乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次. 请计算后回答:十年内哪个方案可以得到更多木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材 树木计算)

12. (2010· 浙江杭州高三模拟)某工厂有 216 名工人接受了生产 1 000 台 GH 型高科技产品 的总任务,已知每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成. 每个工人每小时 能加工 6 个 G 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种 装置.设加工 G 型装置的工人有 x 人,他们加工完 G 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工 完 H 型装置所需时间为 h(x)(单位:小时,可以不是整数). (1)写出 g(x),h(x)解析式; (2)比较 g(x)与 h(x)的大小,并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?

第十一节

导数的概念及运算

1. (2010· 新课标)曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2 2. 函数 y=xcos x-sin x 的导数为( ) A. xsin x B. -xsin x C. xcos x D. -xcos x 3. 一个物体的运动方程为 S=1-t+t2,其中 S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 4. (2010· 山东日照模拟)设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),?,fn+1(x)=f′n(x), n∈N,则 f2 010(x)等于( ) A. sin x B. -sin x C. cos x D. -cos x 5. (2010· 江西)等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a8), 则 f′(0) =( ) A. 26 B. 29 C. 212 D. 215 1 6. 若函数 f(x)= x3-f′(-1)x2+x+5,则 f′(1)的值为( ) 3 A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 7. 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为________. 1 8. (创新题)已知函数 y=f(x)的图像在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+1,则 f(1)+ 2 f′(1)=________. 9. (2010· 山东德州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上, 且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 10. 若曲线 f(x)=ax2+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 11. 求下列函数的导数: (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=xsin x; x-1 (3)y= . x+1

1 a 12. (2010· 湖北改编)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0.曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处 3 2 的切线方程为 y=1. (1)确定 b,c 的值; (2)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

第十二节

导数的应用(1)

1. “函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则 y=f(x)为 R 上的单调增函数”是“f′(x) >0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (教材改编题)函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( ) A. 极大值为 5,极小值为-27 B. 极大值为 5,极小值为-11 C. 极大值为 5,无极小值 D. 极大值为-27,无极小值 3. (2010· 泰安模拟)函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极值,则实数 b 的取值范围是( ) 1? ? A. (0,1) B. (-∞,1) C. (0,+∞) D. ?-∞,2? 4. 函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A. (-∞,2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2,+∞) π π? 5. (2011· 山东德州模拟)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈? ?-2,2?时,f(x)=x+sin x,则( ) A. f(1)<f(2)<f(3) B. f(2)<f(3)<f(1) C. f(3)<f(2)<f(1) D. f(3)<f(1)<f(2) 6. 若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. (-2,2) B. [-2,2] C. (-∞,-1) D. (1,+∞) 7. 关于函数极值的说法正确的有________. ①函数的极大值一定大于它的极小值; ②导数为零的点不一定是函数的极值点; ③若 f(x)在区间(a,b)内有极值点,那么 f(x)在区间(a,b)上一定不单调; ④f(x)在区间[a,b]上的最大值,一定是 f(x)在区间(a,b)上的极大值. 8. 设函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是 ________. 9. 已知 f(x)=sin x+2x,x∈R,且 f(1-a)+f(2a)<0,则实数 a 的取值范围是________. 1 1 10. (2011· 东莞模拟)在 R 上的可导函数 f(x)= x3+ ax2+2bx+c,当 x∈(0,1)时 f(x)取得极 3 2 b-2 大值,当 x∈(1,2)时 f(x)取得极小值,则 的取值范围是________. a-1 11. (2011· 山东兖州高三第一次模拟考试)已知函数 f(x)=x3-3ax2-bx,其中 a,b 为实数. (1)若 f(x)在 x=1 处取得的极值为 2,求 a,b 的值; (2)若 f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且 b=9a,求 a 的取值范围.

1 12. 设函数 f(x)=(a-2)ln(-x)+ +2ax(a∈R). x (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a≠0 时,求 f(x)的单调区间.

第十三节

导数的应用(2)
)

π 0, ?上取得最大值时,x 的值为( 1. (2010· 山东烟台模拟)函数 y=x+2cos x 在? ? 2? A. 0 B.

π π π C. D. 6 3 2 2. (2011· 山东滨州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且 在 x=± 1 处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于 0.其中正确的结论有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 π? 3. 函数 f(x)=exsin x 在区间? ) ?0,2?上的值域为( π π π π A. [0,e ] B. (0,e ) C. [0,e ) D. (0,e ] 2 2 2 2 1 4 4. 已知函数 f(x)= x -2x3+3m(x∈R),若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2 ( ) 3 3 ?-∞,3? ?-∞,3? ,+∞? B. ? ,+∞? A. ? C. D. 2? 2? ?2 ? ?2 ? ? ? 1 2 5. 当 x≥2 时,ln x 与 x- x 的关系为( ) 2 1 1 A. ln x>x- x2 B. ln x<x- x2 2 2 1 2 C. ln x=x- x D. 大小关系不确定 2 6. (2010· 汕头模拟)某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成 本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, R=R(x)=?

? ?80 000,x>400,

则总利润最大时,每年生产的产品是( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 300 7. 函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 54 8. 函数 y=x2- (x<0)的最小值为________. x 9. (2010· 江苏连云港高考调研)对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则 下列说法中正确的是________. ①f(0)+f(2)<2f(1);②f(0)+f(2)≤2f(1);③f(0)+f(2)≥2f(1);④f(0)+f(2)>2f(1). 10. (2010· 山东济南模拟)将长为 52 cm 的铁丝剪成两段,各围成一个长与宽之比为 2∶1 及 3∶2 的矩形,那么面积之和的最小值为________ cm2. ln x 11. (2010· 东北四校联考)已知函数 f(x)= -x,求函数 f(x)的最大值. x 12. (2010· 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 k 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= 3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的 能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

第十四节
1. 下列式子正确的是( ) A. ?bf(x)dx=f(b)-f(a)+c

定积分与微积分基本定理
B. ?bf′(x)dx=f(b)-f(a) ?

?a
a

C. ?bf(x)dx=f(x)+c ? 2. (2010· 山东潍坊模拟)?1-1|x|dx 等于(

? f?x?dx?′=f(x) D. ? ??a ?
b

a

?

)

A. ?1-1xdx ?

B. ?1-1(-x)dx ? )

C. ?0-1(-x)dx+?10xdx D. ?0-1xdx+?10(-x)dx ? ? ? ?

3. 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1,则?2f(-x)dx 的值等于(

5 1 2 1 B. C. D. 6 2 3 6 4. (改编题)已知自由落体的运动速度 v=gt(g 为常数),则当 t∈[1,2]时,物体下落的距离 为( ) 1 3 A. g B. g C. g D. 2g 2 2 A. 1 2x+ ?dx=3+ln 2,则 a 的值为( 5. 若?a? x? ? )

?1

?1

A. 6

B. 4 C. 3 π π 6. ∫ - (1+cos x)dx 等于( 2 2 A. π B. 2 C. π-2

D. 2 ) D. π+2

7. (2010· 陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的 概率为________. 8. 设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若?1f(x)dx=f(x0)(0≤x0≤1),则 x0 的值为________.

?0

?10, 0≤x≤2, ? 9. 一物体在力 F(x)=? (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? ?3x+4,x>2 =0 处运动到 x=4 处,则力 F(x)做的功为________.

10. (改编题)由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的 面积的最小值为______.

参考答案
第二单元 第一节 考点演练 1. D 解析:A、C 的定义域不同,B 的解析式不同,D 中 f(x)=g(x)=1(x≠0),故为同一 函数. 2. D 解析: 根据映射的定义,对集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中有唯一的元素 与之对应.当 x=0,2 时,y=0,1 故 D 中构成从集合 A 到集合 B 的映射. [0,4), [4,+∞), 3. D 解析: 该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1], 而 3∈[0,4), 2 所以 f(x)=x =3,解得 x=± 3,而-1<x<2,所以 x= 3. 3 1 1 3 1 4. B 解析: 令 2x+3=6,得 x= ,则 m= x-1= × -1=- ,故选 B. 2 2 2 2 4 5. B 6. C 解析:由已知条件得到 1+x 1+ 1-x 1+f1?x? f2(x)=f[f1(x)]= = = 1-f1?x? 1+x 1- 1-x x-1 1 1+ 1- x+1 x x-1 1+f2?x? 1+f3?x? 1 - ,f3(x)=f[f2(x)]= = = ,f4(x)=f[f3(x)]= = =x,f5(x)= x 1 x+1 1-f2?x? 1-f3?x? x-1 1+ 1 - x x+1 1+x f[f4(x)]= ,易知 fn(x)是以 4 为周期的函数,而 2008=502×4,所以 f2 008(x)=f4(x)=x. 1-x 7. 1 解析:(1)由 x≥2 且 x≤1,知 x∈?,故 f(x)无意义;(2)函数是特殊的映射;(3)该图 像是由离散的点组成的;(4)其图像是两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线. 8. 11 解析:f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11. 1 1 1 9. 解析:A 中元素 1 在 B 中的象为 2×1-1=1,而 1 在 C 中的象为 = . 3 2×1+1 3 1 1 1 1 1 ? ? ? ?2? ?1?2=15. 10. 15 解析:令 g(x)= ,即 1-2x= ,所以 x= ,则 f? ?2?=?1-?4? ?÷ ?4? 2 2 4 2 11. (1)因为 f(x+1)=x -3x+2 所以 f(2)=f(1+1)=12-3×1+2=0 f(a)=f[(a-1)+1]=(a-1)2-3×(a-1)+2=a2-5a+6. (2)令 x+1=t,则 x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,故 f(x)=x2-5x+6. 所以 f(x-1)=(x-1)2-5(x-1)+6=x2-7x+12. 7? ? 7 ? ?7? 12. (1)f1? ?16?=?4×16?=?4?=1, 7 ? 7 ?7? 7 3 g? ?16?=4-?4?=4-1=4. 7? ? ? 7 ?? ?3? ? 3? 则 f2? ?16?=f1?g?16??=f1?4?=?4×4?=[3]=3. (2)由 f1(x)=[4x]=1,得 g(x)=4x-1.则 f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3, ?1≤4x<2, ? 7 1? 7 1 所以? 解得 ≤x< ,所以 x 的取值范围是? ?16,2?. 16 2 ? ?3≤16x-4<4, 第二单元 第二节 考点演练
? ?2x+1≥0, 1. D 解析:由? 2 得 ?2x -x-1≠0 ?

?x≥-2, ? 1 ?x≠-2且x≠1,

1

1 ? ∴x∈? ?-2,1?∪(1,+∞).

2. B 解析:因为 1+x2≥1,所以原函数的值域是(0,1],故选 B. 3. C 解析:作出图像,也可以分段求出部分值域,再求其并集. 当 x∈[0,3]时,f(x)=2x-x2∈[-3,1]; 当 x∈[-2,0]时,f(x)=x2+6x∈[-8,0], 综上,其值域为[-8,1]. 4. A 解析:因为-2≤x≤3, 所以-1≤x+1≤4, 即 f(x)的定义域为[-1,4], 所以-1≤2x 5 -1≤4,即 0≤x≤ . 2

5. C 解析:函数 f(x)的图像如图所示, 因为 f(g(x))的值域是[0,+∞),故 g(x)可取(-∞,-1]∪[0,+∞),又 g(x)是二次函数, 故 g(x)不可能同时取(-∞,-1]和[0,+∞).结合选项只能选 C. - a x ax 1 1 6. C 解析:因为 f(x)= =1- ,所以 f(-x)= , - = 1+ax 1+ax 1+a x 1+ax 1 ? ? 1 1 1? ? 1? ?1 - - ? ∴? ?f?x?-2?+?f?-x?-2?=?2 1+ax?+?1+ax 2?, 当 x=0 时,值为 0;当 x≠0 时,值为-1; 故所求值域为{-1,0}. 7. A 解析:因为 3x+1>1,所以 f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 8. {-2} 解析:当 a=2 时,f(x)=-4,其值域为{-4}≠(-∞,0],不合题意,舍去. 当 a≠2 时,f(x)≤0, ?a-2<0, ? 则? 2 ? ?Δ=4?a-2? +16?a-2?=0, 所以 a=-2. ?-1≤2x-1≤3 ? 9. [0,1)∪(1,2] 解析:因为 f(x)的定义域为[-1,3],由题意得? , ?x-1≠0, ? 故 0≤x≤2 且 x≠1. 10? 10. ? ?2, 3 ? 解析:F(x)可以视为以 f(x)为变量的函数,令 t=f(x), 12 则 F(t)=t+ ( ≤t≤3), t 3 2 1 t -1 ?t+1??t-1? F′(t)=1- 2= 2 = ,所以 t t t2 1 2 ? 10 ,1 上是减函数,在[1,3]上是增函数,故 F(x)的最大值是 ,最小值是 2. F(t)=t+ 在? t ?3 ? 3 a-x a-x 3?a-x? 11. (1)坡长为 ,高为 ×sin 60° = , 2 2 4 a-x a+x 下底为 x+2× ×cos 60° = , 2 2

a+x +x 2 3?a-x? 3 ∴面积 y= × = (-3x2+2ax+a2), 2 4 16 定义域为(0,a). 2a a2 4a2 3 x2- x+ ?+ ? (2)y= ?-3? 3 9? 3 ? 16 ? ? 2 a 3?4a ?2? -3? = ?x-3? ?. 16 ? 3 a a ∵ ≤x≤ ,∴由二次函数的图像可知 4 2 a 3 当 x= 时,ymax= a2; 3 12 a 5 3 2 当 x= 时,ymin= a. 2 64 7 7 7 12. (1)因为函数的对称轴为 x= ,所以 b=- a,所以 f(x)=ax2- ax+a. 4 2 2 7 7 2 2 ? ? ? 又方程 ax -? ?2a+7?x=0 有两个相等的实数根,则 Δ=?2a+7? -4×a×0=0,所以 a= -2. 故 f(x)=-2x2+7x-2. 7?2 33 (2)f(x)=-2? ?x-4? + 8 ,x∈[1,3]. 7 33 当 x= 时,f(x)max= ; 4 8 当 x=3 时,f(x)min=1. 33 所以 f(x)在[1,3]上的值域为[1, ]. 8 (3)存在这样的 m 满足题意. 7 当 <m<3 时,f(x)在[m,3]上为减函数, 4 所以 3m=-2m2+7m-2,解得 m=1(舍去). 7 33 当 m≤ 时,f(x)在[m,3]上的最大值为 . 4 8 11 ? 33 11 11 ? 33? 所以 =3m,m= ,此时定义域为? ? 8 ,3?,f(3)=1,值域为?1, 8 ?,所以 m= 8 . 8 8 第二单元 第三节 考点演练 1 1. A 解析:y=3-x 在 R 上递减,y= 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4 在(0,+∞)上递 x 减,y=|x|在(0,+∞)上递增. 2. C 解析: 由 4x-x2>0 得 0<x<4,又由 u=4x-x2=-(x-2)2+4 知函数 u 在(2,4)上是 减函数,根据复合函数的单调性知函数 f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是(2,4). 3. D 解析:A 中函数在(-∞,0)上无意义,A 的定义域为 x>0,B 中的函数对称轴为 x =-1,即单调递减区间为(-∞,-1).C 为增函数,只有 D 正确. 4. D 解析: 函数 y=loga|x-1|可看作由 y=logau 与 u=|x-1|复合而成,∵u=|x-1| 在(0,1)上为减函数,由复合函数单调性知,y=logau 也为减函数,故 0<a<1,又因为是充分 不必要条件,故应选 D. 5. D 解析:依题意,应将函数 f(x)向右平移得到 f(x+t)的图像,为了使得在[1,m]上 f(x +t)的图像都在直线 y=x 的下方,并且让 m 取得最大,则应取 t=-3,这时 m 取得最大值 4. a2+b2 a2+b2 a2+b2 a2+b2 1 6. A 解析:因为 = ≥ ,故 的下确界为 . 2 ?a+b?2 a2+b2+2ab ?a2+b2?+?a2+b2? ?a+b?2 7. a>0 且 b≤0 解析:画出图像,由 f(x)在[0,+∞)上为增函数 α,可知 a>0 且 b≤0.

8. 32 解析:f′(x)=3x2-12=3(x2-4), ∴f(x)在[-3,-2],[2,3]上递增,在[-2,2]上递减.f(-2)=24,f(2)=-8,f(-3)=17, f(3)=-1,则 M=24,m=-8,M-m=32. 9. (-1, 2-1) 解析: 当 2x<0 时, 1-x2>0, 得-1<x<0, 当 2x≥0 时, 1-x2>2x, 得 0≤x< 2 -1, 综上,-1<x< 2-1. 10. (-∞,-1) 解析:由题意可知 f(x)在[1,+∞)上为增函数且 m≠0. 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意. 1 m 1 1 1 若 m<0 时,则有 mx- +mx- <0?2mx-(m+ )·<0?1+ 2<2x2. mx x m x m 1 因为 y=2x2 在 x∈[1,+∞)上的最小值为 2,所以 1+ 2<2,即 m2>1,解得 m<-1. m 11. (1)令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0+0)?f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1,x2∈R,且 x1>x2, 则 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0. f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0, ∴f(x)在 R 上为减函数. (3)由(2)知,函数的最大值为 f(-3),最小值为 f(6). f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-3f(1)=2,f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4. 12. (1)由 f(0)=2 可知 c=2. 又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的两实根, b , ?1+2=1- a ∴? c ?2=a,
?a=1, ? 解得? ?b=-2, ?

∴f(x)=x2-2x+2,x∈[-2,2]. 当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1,即 m=1. 当 x=-2 时,f(x)max=f(-2)=10, 即 M=10. (2)由题意知,方程 ax2+(b-1)x+c=0 有两相等实根 x=2, b , ?2+2=1- a ∴? c ?4=a,
? ?b=1-4a, 即? ?c=4a, ?

∴f(x)=ax2+(1-4a)x+4a,x∈[-2,2], 4a-1 1 其对称轴方程为 x= =2- , 2a 2a 1 ?3 ? 又 a≥1,∴2- ∈?2,2?, 2a ∴M=f(-2)=16a-2, 4a-1? 8a-1 m=f? ? 2a ?= 4a , 1 ∴g(a)=M+m=16a- . 4a 又 g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, 63 ∴当 a=1 时,g(a)min=g(1)= . 4 第二单元 第四节

考点演练 1. C 解析:由已知得函数 y=x2+(1-a)x-a 是偶函数,因此 1-a=0,∴a=1. 2. D 解析:当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=x(-x-2). ? ?x?x-2?,x≥0, 所以 f(x)=? ?x?-x-2?,x<0, ? 即 f(x)=x(|x|-2). 3. B 解析:因为 f(x)-1=x3+sin x 为奇函数,又 f(a)=2,所以 f(a)-1=1, 故 f(-a)-1=-f(a)+1=-2+1=-1,即 f(-a)=0. 4. A 解析: 因为 f(x)=x+x3 是 R 上的单调递增函数且是奇函数,所以 f(x1)>f(-x2)= -f(x2),f(x2)>f(-x3)=-f(x3),f(x3)>f(-x1)=-f(x1), 所以 f(x1)+f(x2)+f(x3)>0. + 5. B 解析:当 x∈(-6,-3)时,x+6∈(0,3),所以 f(x+6)=2x 6,又因为 f(3+x)=f(3 + + -x),所以 f(x+6)=-f(x)=2x 6,故 f(x)=-2x 6. 6. B 解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,又 f(x)以 2 为周期,所以 f(4)=f(2+2)=f(0) =0,f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=f(-1)=-f(1),所以 f(1)+f(4)+f(7)=f(1)+0-f(1)=0. 7. -3 解析:因为 y=f(x)是奇函数, f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3, 所以-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3, 所以 f(1)+f(2)=-3. 8. -x2-|x|+1 解析:设 x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1, 因为 f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+|x|-1,即 f(x)=-x2-|x|+1. π ? ?π ? 9. f(x)=cos 4x 解析:对任意 x∈R,都有 f? ?4-x?=f?4+x?,说明函数 f(x)的图像关于直 π 线 x= 对称. 4 10. ①②③ 解析:f(x)是奇函数,图像关于原点对称,f(x-1)的图像可看成 f(x)的图像向 右平移一个单位而形成的,故关于(1,0)对称,故①正确;若函数 f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称, 则 f(x)关于直线 x=0 对称, 为偶函数, 故②正确; f(x-2)=f[(x-1)-1]=-f(x-1)=f(x), 所以 2 是 f(x)的周期,③正确;函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图像关于直线 x=1 对称,故④ 错误. 11. (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x∈R 且 x≠0), 所以 f(-x)=f(x),即 f(x)是偶函数. 当 a≠0 时,因为 f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0, 所以 f(-1)≠± f(1),即 f(x)是非奇非偶函数. 3 a 2x -a (2)依题意,f′(x)=2x- 2= 2 ≥0 在 x∈[2,+∞)上恒成立, x x 即 2x3-a≥0 在 x∈[2,+∞)上恒成立, 所以只要(2x3-a)min=16-a≥0,所以 a≤16. 所以 a 的取值范围是(-∞,16]. ?x-a,x≥a, ? 12. (1)由函数 f(x)=? 可知函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称; ? ?-x+a,x<a, 当 a=0 时,函数 f(x)=|x|是一个偶函数; 当 a≠0 时,取特值, f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0, 故函数 f(x)=|x-a|是非奇非偶函数. (2)由题意得 x2|x-2|=x,得 x=0 或 x|x-2|=1,解得 x=0 或 x=1 或 x=1+ 2, 故所求的集合为{0,1,1+ 2}. ? ??a+1?x-a,0<x<a. (3)对于 a>0,F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|=? ??a-1?x+a,x≥a. ?

若 a>1,F(x)在区间(0,a),[a,+∞)上递增,无最大值. ?2x-1,x<1, ? 若 a=1,F(x)=? 有最大值 1. ? ?1,x≥1 若 0<a<1,F(x)在区间(0,a)上递增,在[a,+∞)上递减,F(x)有最大值 F(a)=a2. 综上所述,当 0<a≤1 时,F(x)有最大值. 第二单元 第五节 考点演练 1?1-x x-1 1. B 解析:y=? ?4? 可以变为 y=4 , - x-1 可以取到所有实数,所以 y=4x 1>0. 2. B 解析:结合图像可知 a<b<1. 3. A 解析:由题意得 1+a=3,解得 a=2, 当 x=1 时,ymax=6. 1 - 4. D 解析: 由 2 x-1>1 得 x<-1,或 x >1,得 x>1. 2

1 1 1 5. C 解析: 由题意知, x∈(-1,1)时, ax>x2- , 结合 y=ax 与 y=x2- 的图像可得 ≤a<1 2 2 2 或 1<a≤2. 6. B 解析:函数 y=ax(ax-3a2-1)(a>0 且 a≠1)可以看作是关于 ax 的二次函数,若 a>1, 3a2+1 则 y=ax 是增函数,原函数在区间[0,+∞)上是增函数,而 ≤1 无解.若 0<a<1,则 y 2 =ax 是减函数,原函数在区间[0,+∞)上是增函数,则要求当 t=ax(0<t<1)时,y=t2-(3a2+ 3a2+1 1 3 1)t 在 t∈(0,1)上为减函数,即 ≥1,∴a2≥ ,∴实数 a 的取值范围是? ,1?. 2 3 ?3 ? 1 1 1 ?0 ?-2 ? 7. 14 解析:? ?4? +?6 2? -273=16+1-3=14. 8. (0,1) 解析:f(x)的定义域为(1,2),由已知,1<2x<2,解得 0<x<1.

9. (0,1]

x ? ?3 ,x≥0, ? 解析:根据新定义,有 f(x)= x 作出函数 f(x)的图像,如图,由图可 ?3 ,x<0, ?


知 f(x)∈(0,1]. 10. ①③④ 解析:①显然正确;②显然不成立;③由 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)异号,即 f(x) x1+x2? f?x1?+f?x2? - - =2 x 是减函数, 显然正确; 对于④, 函数 f(x)=2 x 是减函数, 借助于图像知 f? 2 ? 2 ?< 正确. 1 1 1 1 1 x -y ?x -y ?2 x+y-2?xy? 2 2 2 2 2 11. (1) = = .① 1 1 1 1 1 1 x-y x +y ?x +y ??x -y ? 2 2 2 2 2 2 ∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 又 x<y,∴x-y=-6 3.③

将②、③式代入①式得 1 1 1 x -y 12-2×9 2 2 2 3 = =- . 1 1 3 -6 3 x +y 2 2 12. (1)因为 f(a+2)=18,f(x)=3x, + 所以 3a 2=18?3a=2, 所以 g(x)=(3a)x-4x=2x-4x,x∈[-1,1]. 1?2 1 x (2)g(x)=-(2x)2+2x=-? ?2 -2? +4. 1 ? x 2 ? 1?2 1 当 x∈[-1,1]时,2x∈? ?2,2?,令 t=2 ,所以 y=-t +t=-?t-2? +4. 1 ? 故当 t∈? ?2,2?时, 1 1 t- ?2+ 是减函数, y=-t2+t=-? 2 ? ? 4 又 t=2x 在[-1,1]上是增函数, 所以 g(x)在[-1,1]上是减函数. (3)因为方程 g(x)=m 有解,即 m=2x-4x 在[-1,1]内有解. 由(2)知 g(x)=2x-4x 在[-1,1]上是减函数, 1 所以-2≤m≤ , 4 1? 故 m 的取值范围是? ?-2,4?. 第二单元 第六节 考点演练 3 1. A 解析:由 log0.5(4x-3)>0 且 4x-3>0,得 <x<1. 4 2. C 解析: 因为 f(3)=a3>0,所以 g(3)=loga3<0,所以 0<a<1,故选 C. 3. A 解析:由已知得 b>a>c,因为 y=2x 在定义域内是单调递增的,所以 2b>2a>2c. 1 4. B 解析: 由题知 g(x)=ln x,f(x)=ln(-x),则 ln(-m)=-1,解得 m=- . e 1 1 1 1 5. A 解析: 方法一: 由 2a=5b=m, 则 a=log2m, b=log5m, 代入 + =2 得 + a b log2m log5m lg 2+lg 5 lg 2 lg 5 1 =2,则 + =2,即 =2,即 lg m= ,则 m= 10. lg m lg m lg m 2 1 1 方法二: + =logm2+logm5=logm10=2, a b 2 ∴m =10,又∵m>0,∴m= 10. 1 1 1 1 1 1 6. D 解析:画出图形,由图形知若 f(log x)<0,则 log x> 或 log x<- ,解得 0<x< 或 4 4 2 4 2 2 x>2. -lg 3 lg 6 lg x 1 1 1 1 7. 解析:log5 · log36· log6x= × × =2,lg x=lg ,∴x= . 25 3 lg 5 lg 3 lg 6 25 25 4 4 8. 5 解析:log2(x-1)=2-log2(x+1)?log2(x-1)=log2 ,即 x-1= ,解得 x x+1 x+1 =± 5(负值舍去),所以 x= 5. 3 9. (-∞,-1)∪(0, 3) a>0, a<0, ? ? ? ? 解析:? 或? a 1 1 log3a< , ? ? 3 ? ?3 <3,

3 解得 0<a< 3或 a<-1.

10. 2 008 解析:因为 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233, 所以 f(x)=4log2x+233, 所以 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)= 8×233+4(log22+2log22+3log22+?+8log22)=1 864+144=2 008. 1 1 11. 由 2x≤256 和 log2x≥ 得, ≤log2x≤3. 2 2 f(x)=(log2x-1)· (log2x-2) 3?2 1 =? ?log2x-2? -4. 3 1 当 log2x= 时,f(x)min=- , 2 4 当 log2x=3 时,f(x)max=2. 12. (1)由图 1 得,二次函数 f(x)的顶点坐标为(1,2),故可设函数 f(x)=a(x-1)2+2,又函数 f(x)的图像过点(0,0),故 a=-2,整理得 f(x)=-2x2+4x. 由图 2 得,函数 g(x)=loga(x+b)的图像过点(0,0)和(1,1), ? ? ?logab=0, ?a=2, 故有? 解得? ?loga?1+b?=1, ?b=1, ? ? 所以 g(x)=log2(x+1). (2)y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1), ?2- 6 2+ 6?. 因为函数 y=log2(-2x2+4x+1)的定义域为? ? ? 2 , 2 ? ? 2+ 6?. 所以函数 y=log2(-2x2+4x+1)的单调递减区间为?1, ? 2 ? ? 又因为 y=log2(-2x2+4x+1)在区间[1,m)上单调递减, 2+ 6 所以 1<m≤ , 2 ? 2+ 6?. 故 m 的取值范围为?1, ? 2 ? ? 第二单元 第七节 考点演练 1. B 解析:因为是偶函数,排除 A、D,又当 x∈(1,+∞)时,图像在直线 y=x 下方, - 故 y=x 2 适合. 3 3 3 2. A 解析:因为 >0,所以 y=x 在[0,1]上是增函数,显然 y=x 是奇函数,又奇函数在 5 5 5 3 关于原点对称的区间上的单调性一致,故函数 y=x 在[-1,1]上是增函数且是奇函数. 5 3. A 解析:由于 a⊥b,则 f(x)=(xa+b)· (xb-a)=x(b2-a2),而|a|≠|b|,则 b2-a2≠0,故 函数 f(x)是一次函数,且为奇函数. 4. C 解析: 在指数函数 y=ax 中,当 0<a<1 时,为 R 上的减函数, ∵0<a<b<1,∴aa>ab,ba>bb. ∴A、B 都是错误的. 在幂函数 y=xα 中,当 α>0 时,在(0,1)上是增函数, ∵0<a<b<1,∴aa<ba. x1+x2 4 5. A 解 析 : 大 致 画 出 f(x) = x 的 图 像 , 其 中 是 x1 、 x2 的 中 点 , 由 图 像 知 5 2 x1+x2? f?x1?+f?x2? f? . 2 ? 2 ?> b? b ?b? 6. D 解析:ax2+bx=ax? ?x+a?,在 A、B、D 选项中,0<?a?<1,此时 y=log|a|x 应为单 b? 调递减函数,因此,A、B 选项错误,D 选项正确,C 选项中,? ?a?>1,而对数函数单调递减,

所以,C 选项错误.因此选 D. 1 ? 1 在区间? ?2,2?上单调递减,当 x=2时,ymax=4. 1? 1 1 α 1 1 8. 解析:因为 y=f(x)的图像过点? ?9,3?,所以3=9 ,所以 α=-2,故 y=x-2,所以 5 1 1 f(25)=25- = . 2 5 1 9. 3 解析:取值验证,α=1,y=x0 不满足;当 α=2,y=x- 在(0,+∞)上是减函数, 3 2 因其为奇函数,则在(-∞,0)上也是减函数,不合题意;当 α=3,y=x- 满足题意. 3 5 2 2 ? ? 1?2 10. ? ?1,4? 解析:曲线 y=x -|x|+a 关于 y 轴对称,当 x≥0,y=x -x+a=?x-2? +a 7. 4 解析:函数 y=x
-2

a>1, ? ? 1 2 - ,结合图像要使直线 y=1 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点,需? 1 4 ? ?a-4<1,

5 解得 1<a< . 4

5? 故 a 的取值范围是? ?1,4?. 7 11. (1)∵f(4)=- , 2 2 7 ∴ -4m=- ,∴m=1. 4 2 2 (2)f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减, x 证明如下: 任取 0<x1<x2,则 2 ? ?2 ? ? 2 ? f(x1)-f(x2)=? ?x1-x1?-?x2-x2?=(x2-x1)?x1x2+1?. 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0, +1>0. x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 2 即 f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减. x 12. (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a], ?f?1?=a, ?1-2a+5=a, ? ? ∴? 即? 2 解得 a=2. 2 ?f?a?=1, ?a -2a +5=1, ? ? (2)若 a≥2,又 x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a, f(x)min=f(a)=5-a2. ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4, 即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,

又 a≥2,∴2≤a≤3. 若 1<a<2,f(x)max=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2, f(x)max-f(x)min≤4 显然成立. 综上,1<a≤3. 第二单元 第八节 考点演练 1. B 解析:在 B 中,乌龟到达终点时,兔子在同一时间的路程比乌龟短. x,x≥1, ? ? 2. C 解析:f(x)=2|log2x|=?1 结合解析式,易知 C 正确. ,0<x<1. ? ?x 3. B 解析: 本题考查了函数的图像, 利用函数的奇偶性与函数值的正负进行排除. 由 f(x) 不是奇函数,从而排除 A、C 选项,当 x>0 时,f(x)>0 恒成立,排除 D 选项,故选 B. - + - - - 4. C 解析: g(x)=2 x 1=2 (x 1)的图像是由 y=2 x 的图像右平移 1 个单位而得. 5. C 解析:可得 x=a,x=b 为 y=(x-a)2· (x-b)=0 的两个零解. 当 x<a 时,则 x<b,∴f(x)<0; 当 a<x<b 时,则 f(x)<0; 当 x>b 时,则 f(x)>0.故选 C. 6. D 解析:因为 f(x+1)为奇函数,所以 y=f(x)的图像关于点(1,0)对称, 又当 x>1 时,f(x) =2x2-12x+16,根据对称性可求得 x<1 时,f(x)=-2x2-4x.结合函数图像(如图所示),该函 数图像与直线 y=2 有三个交点,x1=-1,x2+x3=6,则横坐标之和为 5.故选 D.

1 7. 2 解析:∵f(3)=1,∴ =1, f?3? 1 ∴f?f?3??=f(1)=2. ? ? 8. (2) 解析:由甲、乙两图知甲的进水速度为 1,乙的出水速度为 2,由丙图知 0 到 3 点 这段时间内两个进水口都开着,3 到 4 点一个进水口和一个出水口同时开着,4 点到 6 点可能 是不进水不出水,也可能是两个进水口和一个出水口三个都开着.故(3)不一定正确,从而一 定不正确的论断是(2). x 1 9. ③ 解析:由 y= =1+ 知函数在(-∞,1),(1,+∞)上为减函数,故命题③ x-1 x-1 是错误的. 10. y=x-1 解析:由①②知 f(x)关于(1,0)成中心对称且当 x∈R 时,f(x)单调递增,这样 的函数不唯一,例如 y=x-1,y=(x-1)3. 11. (1)证明:∵f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即 f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数.

(2)当 0≤x≤3 时, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2; 当-3≤x<0 时,f(x)=(x+1)2-2.

2 ? ??x-1? -2,0≤x≤3, 即 f(x)=? 2 ??x+1? -2,-3≤x<0. ?

由二次函数的作图方法可得函数 f(x)的图像如图所示. 12. 设左侧的射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ?k+b=1, ?k=-1, ? ? ∴? ?? ?b=2 ?b=2. ? ? 则左侧射线对应的函数的解析式为 y=-x+2(x≤1). 同理,当 x≥3 时,y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0). ∵点(1,1)在抛物线上, ∴a+2=1,∴a=-1. 则抛物线对应的函数解析式为 y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2(1≤x≤3). 综上所述,函数的解析式为 -x+2, x≤1, ? ? 2 y=?-x +4x-2, 1≤x≤3, ? ?x-2, x≥3. 第二单元 第九节 考点演练 1. B 解析:由题意知 y = f(x) 在区间 (a , b) 上至少存在一个实根,由于 f(a)· f(x0)<0 , f(a)· f(b)<0,知 f(x0),f(b)同号,所以取有根区间(a,x0),故选 B. 2. B 解析:通过分析以上四个选项中的图像可知,它们在特定区间上都是连续的,但对 于选项 B,二次方程存在重根,对于包含重根的区间(a,b)两端的函数值并不反号,即得不到 f(a)· f(b)<0,选 B. x-1 3. D 解析:因为 f(x)= , x 4x-1 所以 f(4x)-x= -x. 4x 1 令 f(4x)-x=0 得 4x2-4x+1=0,解得 x= ,这是方程 g(x)=0 的根,也就是函数 g(x)的 2 零点,故选 D. - - 4. B 解析: 令 f(x)=x3-22 x,则函数 y=x3 与 y=22 x 的图像的交点横坐标 x0 即为函 3 数 f(x)的零点, 因为 f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2 -1=7>0,故选 B. 5. B 解析:因为 α,β 是 f(x)的两个零点,所以 f(α)=f(β)=0,将 f(x)的图像向上平移 2 个单位,就得到 f(x)+2=(x-b)(x-c)的图像,所以 b、c 为函数 g(x)=f(x)+2 的两个零点,结 合图像易知 α<b<c<β.

? ?f?-1?<0, 6. B 解析:令 f(x)=x2+(2m-1)x+m-2 则由题意知? ?f?1?<0, ?

? ? ? ?m>0, ? ∴ 即? 2 ?3m-2<0, ? ?m< , ?
3

m>0,

2 解得 0<m< . 3

1 1 7. 0,- 解析:∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),即零点为 0 和- . 2 2 8. (2,3) 解析:f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(2)<0,f(3)>0,由 f(2)· f(3)<0,知方程 f(x)= 0 在区间(2,3)内有解. 9. 0 解析:因为 y=f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,所以 0 是 f(x)的零点,又 f(x)是 R 上的奇函数,所以除 0 外的 2 006 个零点关于 y 轴对称,所以 x1+x2+?+x2 007=0. 7 ? 2 10. ? ?4,2? 解析:因为 f(x)=x -x+2-a 的零点为正数, Δ≥0, ? ? 所以?x1+x2>0, ? x2>0, ?x1·

? ? ?a≥ , ?1-4?2-a?≥0, ? 所以 解得? 4 ?2-a>0, ? ? ?a<2,

7

7 所以 ≤a<2. 4

7 ? 所以实数 a 的取值范围是? ?4,2?. 11. (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-x-3, 由题意可知 x=x2-x-3,得 x1=-1,x2=3, 故当 a=1,b=-2 时,f(x)的不动点为-1,3. (2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个不动点, ∴x=ax2+(b+1)x+b-1,即 ax2+bx+b-1=0 恒有两相异实根, ∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立,于是 Δ′=(4a)2-16a<0,解得 0<a<1, 故当 b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,a 的取值范围是 0<a<1. e2 12. (1)方法一:∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 等号成立的条件是 x=e,故 g(x)的值域是[2e,+∞). 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有解.

e2 方法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的图像如图: x 可知若使 g(x)=m 有解,则只需 m≥2e. 方法三:解方程 g(x)=m,得 x2-mx+e2=0(x>0). m ? ? 2 >0, 此方程有大于零的根,故?

? ?Δ=m2-4e2≥0,

?m>0, ? 等价于? 故 m≥2e. ? ?m≥2e或m≤-2e, (2)

若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x)的图像有两个不同的交点.

e2 作出 g(x)=x+ (x>0)的图像如图. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2, 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 第二单元 第十节 考点演练 1. D 解析:设成本费为 x 元,则月初售出时利润为(100+x)(1+2.4%)=102.4+1.024x, 月末售出时利润为 x+120-5=x+115,要比较 102.4+1.024x 与 x+115 的大小需由 x 来 决定,故要由成本费的大小来确定. 2. D 解析:2008 年 1 月产量为 1, 则到 2009 年 8 月有(1+x)20=4. 3. A 解析: 设期中考试数学、 英语成绩分别为 a 与 b, 则有 a· (1-10%)2=m, b· (1+10%)2 m m m m =m,得 a= ,b= 于是有 a+b= + ≈2.06m>2m,所以总成绩降低了. 0.81 1.21 0.81 1.21 4. B 解析: 设 t 分钟后水箱内的水量为 y 升,则由题设知, 17 289 t- ?2+200- (t>0), y=200-34t+2t2=2? ? 2? 2 17 289 29 当 t= =8.5 时,y 取最小值,此时共放浴用水 34×8.5=289 升,而 =4 ,故一次至 2 65 65 多可供 4 人洗浴. 5. B 解析:买购票利润 a=(18.96-17.25)×10 000=17 100. 存银行利润:b=17.25×10 000×(1+0.008)12=172 500×1.100 34>17 100. 6. C 解析:设“碳 14” 每年的衰减率为 m,依题意,有(1-m)5 730=0.5,两边取常用 对数,得 5 730lg(1-m)=lg 0.5.① 又设这件文物距现在约有 x 年,则有 (1-m)x=0.41,两边取常用对数, 得 xlg(1-m)=lg 0.41,② x lg 0.41 由②÷ ①得 = , 5 730 lg 0.5 lg 4.1-1 0.613-1 lg 0.41 所以 x=5 730× =5 730× =5 730× ≈7 400(年). lg 0.5 -lg 2 -0.3 010 3?x 3 ?3?x 7. y=384×? ?4? ,(x∈N) 3 解析:每次降价 25%,即按原价的4销售,故 y=384×?4? , 3?x ?3?x 27 (x∈N);令 384×? ?4? =162,即?4? =64,解得 x=3. 8. 14 解析:设每个涨价 x 元,则实际销售价为(10+x)元,销售的个数为(100-10x),则 利润为 y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x≤10,x∈N*). 因此 x=4,即售价定为每个 14 元时,利润最大. 9. 546.6 元 解析:依题意,价值为 x 元商品和实际付款数之间的函数关系式为 f(x)= x,0≤x≤200, ? ? ?0.9x,200<x≤500, ? ?100+0.7x,x>500. 当 f(x)=168 时,由 168÷ 0.9≈187<200,故此时 x=168;当 f(x)=423 时,由 423÷ 0.9=470 ∈(200,500],故此时 x=470. 所以此人两次共购得价值为 470+168=638 元的商品,因为 500×0.9+(638-500)×0.7 =100+0.7×638=546.6(元), 即若一次性购买上述产品,应付款额为 546.6 元.

10. 解析:依题意得,ae

-5n

=a-ae

-5n

,所以 e

-5n

1 = , 2

a 设经过 t 分钟,水桶 A 中的水只有 , 8 1 1 - ?3=(e-5n)3=e-15n, 因为 e nt= =? 8 ?2? 所以 t=15. a 所以再过 15-5=10 分钟时,水桶 A 中的水中只有 . 8 11. 设树木最初的栽植量为 a,甲方案在 10 年后树木产量为 y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4a. 乙方案在 10 年后树木产量为 y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a. 因为 y1-y2=4a-4.98a<0, 因此乙方案能获得更多的木材. 12. (1)由题意知,需加工 G 型装置 4 000 个,加工 H 型装置 3 000 个,所用工人分别为 x 人,216-x 人. 4 000 3 000 ∴g(x)= ,h(x)= , 6x ?216-x?· 3 2 000 1 000 即 g(x)= ,h(x)= (0<x<216,x∈N*). 3x 216-x ?432-5x? 2 000 1 000 1 000· (2)g(x)-h(x)= - = . 3x 216-x 3x?216-x? ∵0<x<216,∴216-x>0. 当 0<x≤86 时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0,即 g(x)>h(x); 当 87≤x<216 时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,即 g(x)<h(x). 2 000 ,0<x≤86,x∈N*, 3x ∴f(x)= 1 000 ,87≤x<216,x∈N*. 216-x

? ? ?

(3)完成总任务所用时间最少,即求 f(x)的最小值. 当 0<x≤86 时,f(x)递减, 2 000 1 000 ∴f(x)≥f(86)= = , 3×86 129 ∴f(x)min=f(86),此时 216-x=130, 当 87≤x<216 时,f(x)递增, 1 000 1 000 ∴f(x)≥f(87)= = , 216-87 129 ∴f(x)min=f(87),此时 216-x=129, 1 000 ∴f(x)min=f(86)=f(87)= , 129 ∴加工 G 型装置,H 型装置的人数分别为 86,130 或 87,129. 第二单元 第十一节 考点演练 1. A 解析:k=f′(1)=(3x2-2)|x=1=1,由点斜式得直线方程为 y=x-1,故选 A. 2. B 解析:y′=(xcos x-sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,故选 B. 3. C 解析:S′=(1-t+t2)′=-1+2t, ∴S′(3)=-1+2×3=5. 4. B 解析:因为 f0(x)=sin x, f1(x)=f′0(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=f′1(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=f′2(x)=(-sin x)′=-cos x,

f4(x)=f′3(x)=(-cos x)′=sin x, 所以 4 为最小正周期,所以 f2 010(x)=f2(x)=-sin x. 5. C 解析:函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1· a2· ?· a8=(a1· a8)4=84=212, 12 而 f′(0)=a1· a2· ?· a8=2 ,故选 C. 1 6. C 解析:∵f(x)= x3-f′(-1)x2+x+5, 3 ∴f′(x)=x2-2f′(-1)x+1, ∴f′(-1)=(-1)2-2f′(-1)(-1)+1, 解得 f′(-1)=-2, ∴f′(x)=x2+4x+1,∴f′(1)=6. 1 1 7. 2 解析:对 y=ln(x+a)求导得 y′= ,设切点为(m,n),则切线斜率为 =1, x+a m+a m+a=1,n=ln(m+a)=ln 1=0. 再由(m,n)在直线 y=x+1 上得 m=-1,从而得 a=2. 8. 2 解析:图像在 M(1,f(1))处的切线为 y-f(1)=f′(1)(x-1), ∴y=f′(1)x+f(1)-f′(1), 1 ∴f′(1)x+f(1)-f′(1)= x+1 恒成立. 2 1 3 ∴f′(1)= ,f(1)= , 2 2 ∴f(1)+f′(1)=2. 9. (-2,15) 解析:∵y=x3-10x+3,∴y′=3x2-10.由题意,设切点 P 的横坐标为 x0, 且 x0<0,3x2 0-10=2, 2 ∴x0 =4,∴x0=-2,∴y0=x3 0-10x0+3=15,∴点 P 的坐标为(-2,15). 1 10. (-∞,0) 解析:f′(x)=2ax+ ,x∈(0,+∞). x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)=0 有解,即 2ax+ =0 有解, x 1 ∴a=- 2,∴a∈(-∞,0). 2x 11. (1)y′=(x4)′-(3x2)′-(5x)′+6′ =4x3-6x-5. (2)y′=(x)′sin x+x(sin x)′=sin x+xcos x. ?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ (3)y′= ?x+1?2 ?x+1?-?x-1? 2 = = . 2 ?x+1? ?x+1?2 1 a 12. (1)由 f(x)= x3- x2+bx+c 得: 3 2 f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b,f′(0)=b. 又由曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,得 f(0)=1,f′(0)=0. 故 b=0,c=1. 1 a (2)由(1)知 f(x)= x3- x2+1, 3 2 2 f′(x)=x -ax. 由于点(t,f(t))处的切线方程为 y-f(t)=f′(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以 2-f(t)= 2 a 2 a f′(t)(-t),化简得 t3- t2+1=0,即 t 满足的方程为 t3- t2+1=0. 3 2 3 2 23 a2 所以过点(0,2)可作 y=f(x)的三条切线,等价于方程 t - t +1=0 有三个相异的实根.设 3 2

a? 2 a g(t)= t3- t2+1,则 g′(t)=2t2-at=2t? ?t-2?. 3 2 当 t 变化时,g′(t)的变化情况如下表: t g′(t) g(t) 值1 a3 1- 24 (-∞,0) + 0 0 极大 极小值

?0,a? ? 2?


a 2 0

?a,+∞? ?2 ?


a3 3 由 g(t)的单调性知,要使 g(t)=0 有三个相异实根,当且仅当 1- <0,即 a>2 3. 24 3 所以实数 a 的取值范围是(2 3,+∞). 第二单元 第十二节 考点演练 1. B 解析:由 y=f(x)为 R 上的增函数得不出 f′(x)>0,因为 f′(x)也有可能等于 0; 而由 f′(x)>0 可得出 y=f(x)为增函数.所以,y=f(x)为 R 上的增函数是 f′(x)>0 的必要不充 分条件. 2. C 解析:y′=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令 y′=0,得 x=-1 或 x=3(舍去).当 -2<x<-1 时,y′>0;当-1<x<2 时,y′<0.所以当 x=-1 时,函数 y 有极大值,且极大值 为 5;无极小值. 3. A 解析: 由 f′(x)=3x2-3b=0 有两个不等零点知 b>0 且 x1=- b,x2= b, 又 f(x) 在(0,1)内有极值,故 b∈(0,1),∴0<b<1. 4. D 解析:∵f(x)=(x-3)· ex, f′(x)=ex(x-2)>0,∴x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞),故选 D. π π π - , ?时, 5. D 解析: 由 f(x)=f(π-x), 得函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 又当 x∈? 2 2? ? 2 π π? f′(x)=1+cos x>0 恒成立,所以 f(x)在? ?-2,2?上为单调增函数.f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), π 且 0<π-3<1<π-2< ,所以 f(π-3)<f(1)<f(π-2),即 f(3)<f(1)<f(2),故选 D. 2 6. A 解析:f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).当 x<-1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时, f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0.所以当 x=-1 时函数 f(x)有极大值,当 x=1 时函数 f(x)有极小 ?f?-1?>0, ? 值,要使函数 f(x)有 3 个不同的零点,只需满足? 解之,得-2<a<2. ?f?1?<0. ? 7. ②③ 解析: 对于②, 由 y=x3 在 x=0 处有 y′=0, 但 x=0 不是它的极值点, 故②对. 对 于③,由极值点的定义知,极值点左右侧的导数符号不一致,故③对.①④显然错误. 8. {a|a<-1 或 a>2} 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若 f(x)既有极大值又有极小值, 则 f′(x)=0 有两个不等的实根, 即 Δ=36a2-36(a+2)>0,a2-a-2>0,解得 a>2 或 a<-1. 9. a<-1 解析:∵f(x)=sin x+2x,x∈R. ∴f′(x)=cos x+2>0 恒成立, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ∵f(1-a)+f(2a)<0,∴f(1-a)<-f(2a). 又∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)<f(-2a), ∴1-a<-2a,∴a<-1. 1 ? 1 3 1 2 2 10. ? ?4,1? 解析:∵f(x)=3x +2ax +2bx+c,∴f′(x)=x +ax+2b,

f′?0?=2b>0, ? ? 由题意得?f′?1?=1+a+2b<0, ? ?f′?2?=4+2a+2b>0, 画出可行域:

b-2 于是 即为点 P(1,2)与可行域内(不包含边界)任意一点的连线的斜率. a-1 b-2 1 b-2 ∴kPC< <k ,即 < <1. 4 a-1 a-1 PA 11. (1)由题设可知:f′(1)=0 且 f(1)=2, 4 ? ? ?a=3, ?3-6a-b=0, ? 即 解得? ?1-3a-b=2, ? ?b=-5. ? (2)∵当 a≠0 时,f′(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a,又 f(x)在[-1,2]上为减函数, ∴f′(x)≤0 对 x∈[-1,2]恒成立, 即 3x2-6ax-9a≤0 对 x∈[-1,2]恒成立, ∴f′(-1)≤0 且 f′(2)≤0, a≥1, ? ?3+6a-9a≤0, ? ? 即? ?? 4 ?a≥1. ?12-12a-9a≤0 a≥ ? ? ? 7 12. (1)依题意,知 f(x)的定义域为(-∞,0). -2 1 -?2x+1? 1 1 当 a=0 时,f(x)=-2ln(-x)+ ,f′(x)= - 2= ,令 f′(x)=0,解得 x=- . x x x x2 2 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: 1 ?-∞,-1? ?-1,0? x - 2? 2 ? ? 2 ? 0 f′(x) + - f(x) 极大值 1 由上表可知,当 x<- 时,f′(x)>0; 2 1 当- <x<0 时,f′(x)<0. 2 1 故当 x=- 时,f(x)取得极大值为 2ln 2-2,无极小值. 2 a-2 1 (2)当 a≠0 时,f′(x)= - 2+2a x x ?x-1? ?a-2?x-1+2ax2 a?2x+1?? a? = = . x2 x2 1 若 a>0,令 f′(x)>0,解得 x<- ; 2 1 令 f′(x)<0,解得- <x<0. 2

1 1 若 a<0,①当-2<a<0 时,- > , 2 a 1 1 令 f′(x)>0,解得 <x<- ; a 2 1 1 令 f′(x)<0,解得 x< 或- <x<0. a 2 -?2x+1?2 1 1 ②当 a=-2 时,- = ,f′(x)= ≤0. 2 a x2 1 1 1 1 1 1 ③当 a<-2 时,- < ,令 f′(x)>0,解得- <x< ;令 f′(x)<0,解得 x<- 或 <x<0. 2 a 2 a 2 a 1? ? 1 ? 综上,当 a>0 时,f(x)的单调增区间为? ?-∞,-2?,单调减区间为?-2,0?; 1 1? 1? ? 1 ? ? 当-2<a<0 时,f(x)的单调增区间为? ?a,-2?,单调减区间为?-∞,a?和?-2,0?; 当 a=-2 时,f(x)的单调减区间为(-∞,0),无单调增区间; 1 1? 1? ?1 ? ? 当 a<-2 时,f(x)的单调增区间为? ?-2,a?,单调减区间为?-∞,-2?和?a,0?. 第二单元 第十三节 考点演练 1. B 解析:y′=(x+2cos x)′=1-2sin x. π? π 令 1-2sin x=0,且 x∈? ?0,2?,解得 x=6. π? 当 x∈? ?0,6?时,f′(x)≥0,f(x)单调递增; π π? 当 x∈? ?6,2?时,f′(x)≤0,f(x)单调递减. π? ∴f(x)max=f? ?6?. 2. C 解析:∵f(0)=0,∴c=0,∴f′(x)=3x2+2ax+b, ? ? ?f′?1?=-1, ?3+2a+b=-1, ∴? 即? ?f′?-1?=-1, ?3-2a+b=-1. ? ? ∴a=0,b=-4,∴f(x)=x3-4x, ∴f′(x)=3x2-4. 2 令 f′(x)=0 得 x=± 3∈[-2,2], 3 ∴极值点有两个. ∵f(x)为奇函数,∴f(x)max+f(x)min=0. ∴①③正确,故选 C. 3. A 解析:f′(x)=ex(sin x+cos x). π? ∵x∈? ?0,2?,∴f′(x)>0, π 0, ?上是单调递增函数, ∴f(x)在? ? 2? π? π ∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f? ?2?=e2. 1 4. A 解析:因为函数 f(x)= x4-2x3+3m, 2 3 2 所以 f′(x)=2x -6x .令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=3. 经检验知 x=3 是函数的一个最小值点, 27 所以函数 f(x)的最小值为 f(3)=3m- , 2 不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立,

27 3 所以 3m- ≥-9,解得 m≥ . 2 2 1 5. A 解析:构造函数 F(x)=ln x+ x2-x, 2 2 x -x+1 1 则 F′(x)= +x-1= . x x ∵x≥2,∴F′(x)>0,∴F(x)在[2,+∞)上为增函数. 又∵F(2)=ln 2+2-2=ln 2>0, ∴F(x)>0 在[2,+∞)上恒成立, 1 1 即 ln x+ x2-x>0,∴ln x>x- x2. 2 2 6. D 解析:当 0≤x≤400 时, 1 总利润 w=400x- x2-20 000-100x 2 1 2 =300x- x -20 000, 2 ∴w′=300-x,令 w′=0,则 x=300. 此时 w 有最大值,w=25 000. 当 x>400 时, 总利润 w=80 000-20 000-100x =60 000-100x<20 000. 故当 x=300 时,总利润 w 有最大值,故选 D. 2 7. 8 解析:y′=6x2-4x=2x(3x-2),令 y′=0,得 x1=0,x2= . 3 2 8 ? ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f? ?3?=-27,f(2)=8, ∴最大值为 8. 54 8. 27 解析:∵y=x2- (x<0), x 3 54 2?x +27? ∴y′=2x+ 2 = . x x2 令 y′=0,则 x=-3, 在 x=-3 附近,y′左负右正,y 取极小值, ∵只有一个极值点, ∴当 x=-3 时,y 最小. 54 ∴ymin=(-3)2- =27. -3 9. ③ 解析: 当 x≥1 时, f′(x)≥0, 函数 f(x)在[1, +∞)上是增函数; 当 x<1 时, f′(x)≤0, f(x)在(-∞,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),得 f(0) +f(2)≥2f(1). 10. 78 解析:设剪成的两段中其中一段为 x,另一段为 52-x. x 2x 3?52-x? 2?52-x? 1 2 3 由题意知,面积之和为 S= · + · = x + (52-x)2, 6 6 10 10 18 50 1 3 S′= x- (52-x). 9 25 令 S′=0,则 x=27,另一段为 52-27=25.此时 Smin=78(cm2). 1-ln x 11. ∵f′(x)= -1, x2 令 f′(x)=0 得 x2=1-ln x. 显然 x=1 是方程的解. 令 g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),

1 则 g′(x)=2x+ >0, x ∴函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴x=1 是方程 f′(x)=0 的唯一解. 1-ln x ∵当 0<x<1 时,f′(x)= -1>0, x2 当 x>1 时,f′(x)<0. ∴函数 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴当 x=1 时函数有最大值 f(x)max=f(1)=-1. 12. k (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= ,再由 C(0)= 3x+5

π ? π π π π 6. D 解析:∫ - (1+cos x)dx=2∫ 0(1+cos x)dx=2(x+sin x) 0=2? ?2+1?=π+2. 2 2 2 2 1 1 7. 解析: 阴影部分的面积为 S=?13x2dx=x3|1 所以点 M 落在阴影区域的概率为 . 0=1, 3 3 ?
0

3 8. 3

1 3 1 2 ax +cx??1 解析:∵?1f(x)dx= ? 0= a+c=ax0+c, 3 ? ? ? 3 ?
0

1 ∴ax2 0= a,∴x0= 3

3 3 或 x0=- (舍去). 3 3

3 2 4 x +4x??2 9. 46 解析:W=?4F(x)dx=?210dx+?4(3x+4)dx=10x|20+ ? 2 ? ?? =46. ? ? ?
0 0 2

1 10. 4

4 1 解析: 由题图知, S=?t (t -x )dx+?1(x2-t2)dx= t3-t2+ , S′=4t2-2t, 令 S′ 3 3 ? ?
2 2 0 t

1 1 1 4 1 1 0, ?上单调递减,在? ,1?上单调递增,当 t= 时,S =0,得 t=0 或 t= ,S= t3-t2+ 在? 2 2 ? ? ? ? 2 3 3 2 1 取得最小值 . 4


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