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必修4第一章三角函数单元测试卷(含详细解答)


必修 4 第一章三角函数单元测试卷
一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1.已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( ) C.第一或第三象限 B. 第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 ) C.﹣30° ,则 tanα=( C. ) C. =( B. C. ) D. D. ) D.1 D.390° D.第二或第四象限

A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 2.已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 C. 第三或第四象限角 3.下列各角中,与 30°的角终边相同的角是( A.60° B.120° 4.已知 A.﹣1 B.

5. tan(﹣1410°)的值为( A. B. 6.若 A.

7.既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x 8.设 A.a<b<c 9.函数 y=2sin( A. [0, ] , , B.a<c<b ,则( ) C.b<c<a ) , ]

D.y=cos2x

D.b<a<c

﹣2x) ,x∈[0,π])为增函数的区间是( B. [ , ] C. [

D. [

,π]

10.要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. D. 向左平移 个单位 向右平移 个单位 二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11.已知点 P(﹣3,4)在角 α 的终边上,则 sinα= _________ . 12.若 cosα=﹣ ,且 α∈(π, ) ,则 tanα= _________ .

13.已知 f(x)=

,则 f( )=

_________ .

14.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 _________ . 15.函数 编号) ①图象 C 关于直线 ②图象 C 关于点 对称; 对称; 的图象为 C,如下结论中正确的是 _________ . (写出所有正确结论的

③函数 f(x)在区间 ④由 y=3sin2x 的图角向右平移 三.解答题(共 6 小题) 16.已知扇形的周长是 8, (1)若圆心角 α=2,求弧长 l(注 (2)若弧长为 6,求扇形的面积 S.

内是增函数; 个单位长度可以得到图象 C.



17.已知 cosa=﹣ ,a 为第二象限角,求 sina,tana. 18.已知 (1)求 sinx﹣cosx 的值; (2)求 的值. .

19.已知函数 分别为( ,2) ( ,﹣2) .

在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标

(1)求 A 和 ω 的值; (2)已知 α∈(0, ) ,且 ,求 f(α)的值.

20.已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分如图所示: (1)求 f(x)的解析式; (2)写出 f(x)的单调区间.

21.如图是函数 (I)求 φ 的值及函数 f(x)的解析式; (II)求函数 的最值及零点.

的一段图象.

必修 4 第一章三角函数单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1. (5 分) (2005?陕西)已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 所在的象限是( ) D.第二或第四象限

C.第一或第三象限

考点: 象限角、轴线角;角的变换、收缩变换. 分析: α 为第三象限角,即 解答: 解:因为 α 为第三象限角,即 所以,

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k∈Z,表示出 k∈Z,

,然后再判断即可.

k∈Z 当 k 为奇数时它是第四象限,当 k 为偶数时它是第二象限的角.

故选 D. 点评: 本题考查象限角,角的变换,是基础题.可以推广到其它象限. 2. (5 分) (2007?北京)已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 考点: 专题: 分析: 解答: 象限角、轴线角. 计算题. 根据 cosθ?tanθ<0 和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角 θ 所在的象限. 解:∵cosθ?tanθ<0,∴角 θ 是第三或第四象限角, 故选 C. 点评: 本题的考点是三角函数值得符号判断,需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余 弦”对角的终边位置进行判断.
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3. (5 分) (2007?怀柔区模拟)下列各角中,与 30°的角终边相同的角是( A.60° B.120° C.﹣30°

) D.390°

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 根据终边相同的角之间相差周角的整数倍,我们可以表示出与 30°的角终边相同的角 α 的集合,分析题目中 的四个答案,找出是否存在满足条件的 k 值,即可得到答案. 解答: 解:∵与 30°的角终边相同的角 α 的集合为 {α|α=30°+k?360°,k∈Z} 当 k=1 时,α=390° 故选 D 点评: 本题考查的知识点是终边相同的角,其中根据终边相同的角之间相差周角的整数倍,表示出与 30°的角终边 相同的角 α 的集合,是解答本题的关键.
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4. (5 分) (2012?辽宁)已知

,则 tanα=(



A.﹣1

B.

C.

D.1

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 1﹣2sinαcosα=2,即 sin2α=﹣1,故 2α=
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,α=

,从而求得 tanα 的值. , α= ,

解答:

解: ∵已知 tanα=﹣1. 故选 A.

, ∴1﹣2sinαcosα=2, 即 sin2α=﹣1, 故 2α=

点评:

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,求得 α=

,是解题的关键,属于基础题.

5. (5 分) (2013?石家庄二模)tan(﹣1410°)的值为( ) A. B. C.

D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式把要求的式子化为 tan30°,从而求得结果. 解答: 解:tan(﹣1410°)=tan(﹣180°×8+30°)=tan30°= ,
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故选 A. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题.

6. (5 分) (2012?茂名一模)若 A. B. C. D.

=(



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简已知等式的左边,求出 cosα 的值,再由 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,再将所求式子中的角度变形后,利用诱导公式变形后,将 sinα 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵cos(π+α)=﹣cosα= ,
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∴cosα=﹣ ,又 π<α< π, ∴sinα=﹣ =﹣ , .

则 sin(5π﹣α)=sin[4π+(π﹣α)]=sin(π﹣α)=sinα=﹣

故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数间的基本关系,灵活变换角度,熟练掌握公式是解 本题的关键. 7. (5 分) (2013?上海)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x ) D.y=cos2x

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调性. 三角函数的图像与性质. 根据函数的奇偶性排除 A、C,再根据函数的单调性排除 D,经检验 B 中的函数满足条件,从而得出结论. 解:由于函数 y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数,故排除 A、C. 由于函数 y=cosx 是偶函数,周期等于 2π,且在(0,π)上是减函数,故满足条件.
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由于函数 y=cos2x 是偶函数,周期等于 π,在(0,

)上是减函数,在(

,π)上是增函数,故不满足

条件. 故选 B. 点评: 本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性,属于中档题.

8. (5 分) (2008?天津)设 A.a<b<c

, B.a<c<b



,则( C.b<c<a

) D.b<a<c

考点: 正弦函数的单调性;不等式比较大小;余弦函数的单调性;正切函数的单调性. 专题: 压轴题. 分析: 把 a,b 转化为同一类型的函数,再运用函数的单调性比较大小. 解答: 解:∵ ,b= . 而 所以 < ,sinx 在(0, )是递增的, ,

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故选 D. 点评: 此题考查了三角函数的单调性以及相互转换. ﹣2x) ,x∈[0,π])为增函数的区间是( ] C. [ , ]

9. (5 分) (2004?天津)函数 y=2sin( A. [0, ] B. [ ,

) D. [ ,π]

考点: 正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据诱导公式进行化简,再由复合函数的单调性可知 y=﹣2sin(2x﹣
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)的增区间可由 y=2sin(2x﹣



的减区间得到,再由正弦函数的单调性可求出 x 的范围,最后结合函数的定义域可求得答案. 解答: 解:由 y=2sin( 即 2kπ+ ∴kπ+ 令 k=0, ≤2x﹣ ≤x≤kπ+ ≤ x≤ ﹣2x)=﹣2sin(2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z. , ,k∈Z )其增区间可由 y=2sin(2x﹣ )的减区间得到,

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数诱导公式的应用和正弦函数的单调性.考查基础知识的综合应用和灵活能力,三角 函数的知识点比较多,内容比较琐碎,平时要注意积累基础知识.

10. (5 分) (2012?安徽)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. D. 向左平移 个单位 向右平移 个单位



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 化简函数 y=cos(2x+1) ,然后直接利用平移原则,推出平移的单位与方向即可. 解答: 解:因为函数 y=cos(2x+1)=cos[2(x+ )],
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所以要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位. 故选 C. 点评: 本题考查三角函数的图象的平移变换,注意平移时 x 的系数必须是“1”. 二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11. (5 分) (2012?顺义区二模)已知点 P(﹣3,4)在角 α 的终边上,则 sinα= .

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由于已知点 P(﹣3,4)在角 α 的终边上,可得 x=﹣3,y=4,r=|OP|=5,再由 sinα= ,求得结果.
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解答: 解:∵已知点 P(﹣3,4)在角 α 的终边上,∴x=﹣3,y=4,r=|OP|=5, 则 sinα= = , 故答案为. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 12. (5 分) (2011?重庆)若 cosα=﹣ ,且 α∈(π,

) ,则 tanα=



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据 α∈(π, ) ,cosα=﹣ ,求出 sinα,然后求出 tanα,即可.
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解答: 解:因为 α∈(π, ) ,cosα=﹣ ,所以 sinα=﹣ ,所以 tanα= =

故答案为: 点评: 本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,注意角所在的象限,三角函数值的符号,是本题解答的关 键.

13. (5 分) (2012?宿州三模)已知 f(x)=

,则 f( )= ﹣



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 f( )=f(﹣ )=sin(﹣
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) ,利用诱导公式求出结果.

解答: 解:∵已知 f(x)= ,则 f( )=f(﹣ )=sin(﹣ )=﹣sin =﹣ ,

故答案为﹣



点评: 本题主要考查利用诱导公式求三角函数值,属于基础题. 14. (5 分) (2005?上海)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 (1,3) . 考点: 正弦函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据 sinx≥0 和 sinx<0 对应的 x 的范围,去掉绝对值化简函数解析式,再由解析式画出函数的图象,由图象 求出 k 的取值范围. 解答: 解:由题意知, ,
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在坐标系中画出函数图象: 由其图象可知当直线 y=k,k∈(1,3)时, 与 f(x)=sinx+2|sinx|, x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点. 故答案为: (1,3) .

点评: 本题的考点是正弦函数的图象应用,即根据 x 的范围化简函数解析式,根据正弦函数的图象画出原函数的 图象,再由图象求解,考查了数形结合思想和作图能力.

15. (5 分) (2007?安徽)函数 所有正确结论的编号) ①图象 C 关于直线 对称;

的图象为 C,如下结论中正确的是 ①②③ . (写出

②图象 C 关于点 ③函数 f(x)在区间 ④由 y=3sin2x 的图角向右平移

对称; 内是增函数; 个单位长度可以得到图象 C.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 综合题;压轴题;整体思想. 分析: 把 代入 求值,只要是 的奇数倍,则①正确,把横坐标代入
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求值,只要是 π 的

倍数,则②对;同理由 x 的范围求出 平移故把 x=x﹣ 解答: 解:①、把 ②、把 x= ③、当 ④、有条件得, 故答案为:①②③. 点评: 代入 代入 代入 得, 时,求得

的范围,根据正弦函数的单调区间判断③是否对,因为向右

进行化简,再比较判断④是否正确. 得, ,故①正确; ,故②正确; ,故③正确; ,故④不正确.

本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换,把 进行求解以及判断,考查了整体思想.

作为一个整体,根据条件和正弦函数的性质

三.解答题(共 6 小题) 16.已知扇形的周长是 8, (1)若圆心角 α=2,求弧长 l(注 (2)若弧长为 6,求扇形的面积 S. 考点: 扇形面积公式;弧长公式. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用 ,求出扇形的弧长.
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(2)求出扇形的半径,利用面积公式求出扇形的面积. 解答: 解:扇形的周长是 8, (1)若圆心角 α=2,弧长 l,所以 l=2r,l+2r=8,所以 l=4, ; (2)若弧长为 6,半径 r=1,所以扇形的面积 S= .

点评: 本题是基础题,考查扇形的周长与面积的计算问题,正确利用公式是解题的关键.

17.已知 cosa=﹣ ,a 为第二象限角,求 sina,tana.

考点: 同角三角函数间的基本关系;象限角、轴线角.

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专题: 计算题. 分析: 先根据 α 所在的象限,判断出 sinα 的正负,进而根据同角三角函数的基本关系,利用 cosα 的值求得 sinα, 进而求得 tanα 的值. 解答: 解:∵a 为第二象限角, ∴sinα>0 ∴sinα= tanα= =﹣ =

点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用.注意根据角的范围确定三角函数的正负号.

18.已知 (1)求 sinx﹣cosx 的值; (2)求



的值.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用同角三角函数基本关系式直接求出 sinx 和 cosx 的值,进而求出结果. 2 (2)先利用诱导公式化简所求的式子,将原式分子分母同除以 cos x,转化成 tanx 的表达式去解. 解答: 解:∵
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sinx=﹣2cosx,又 sin x+cos x=1,∴5cos x=1, ∴ (1)

2

2

2

(2)原式=

=

…(12 分)

点评: 本题考查同角三角函数基本关系式的应用和三角函数的诱导公式,计算要准确,属于中档题.

19. (2012?广州二模)已知函数 和最低点的坐标分别为( (1)求 A 和 ω 的值; (2)已知 α∈(0, ) ,且 ,求 f(α)的值. ,2) ( ,﹣2) .

在某一个周期内的图象的最高点

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅 A 值,相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期,即 可求得函数的周期,进而得 ω 的值
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(2)先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算 sin2α、cos2α 的值,再利用(1)中结论,将 f(α) 化简,代入 sin2α、cos2α 的值求值即可 解答: 解: (1)∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为( ∴A=2,T=2×( ∴ω= =2 ﹣ )= π ,2) ( ,﹣2) .

∴A=2,ω=2 (2)∵α∈(0, ∴sin2α= 由(1)知 ∴ =sin2α﹣ = = 点评: 本题主要考察了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,三角变换公式在三角化简和求值中的应用,属基础 题 20.已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分如图所示: (1)求 f(x)的解析式; (2)写出 f(x)的单调区间. + cos2α ) ,且
2

,∴cosα=

,cos2α=1﹣2sin α=﹣

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)由图象直接求出 A 和 T,可求 ω,根据特殊点( ,2)求出 φ,即可求函数 f(x)的解析式;
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(2)根据正弦函数的单调性直接求出函数的单调增区间和单调减区间即可. 解答: 解: (1)由图可知 A=2T=π∴ω=2 当 时 f(x)取最大值∴ ) (6 分) (9 分) (12 分) φ= ∴φ= 符合条件

∴f(x)=2sin(2x+

(2)f(x)的单调递增区间为 f(x)的单调递减区间为

点评: 本题考查三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及其解析式,三角函数的单调性,考查计算能力,是基础题.

21.如图是函数 (I)求 φ 的值及函数 f(x)的解析式; (II)求函数 的最值及零点.

的一段图象.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数的零点. 专题: 计算题. 分析: (I)利用三角函数的图象直接求出 A,推出函数的周期,利用周期公式求出 ω,图象过点
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结合 φ 的范围求 φ 的值,即可得到函数 f(x)的解析式; (II)通过函数 ,求出它的表达式,利用正弦函数的最值以及 x 的取值,求出函数的

最值,利用正弦函数的零点求出函数的零点. 解答: 解: (I)由图可知,A=2.…(2 分) 函数的周期 因为图象过点 所以 所以 (II)依题意, 当 当 因为 所以,函数 g(x)零点为 ,即 ,即 时,g(x)=0, .…(12 分) ,所以 .因为 .…(7 分) . 时,y 取得最大值,且最大值等于 2. 时,y 取得最小值,且最小值等于﹣2.…(10 分) ,所以 ,所以 .…(4 分) ,即 . .

点评: 本题是中档题,考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,正弦函数的基本知识,考查计算能力.


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