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磐安中学高二第二学期数学周练(12)试题


磐安中学高二第二学期数学周练(12)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知 i 为虚数单位,则 3 ? 2i ? A. 5 B. 7 C. 13 } , B ? {x | 2x ? 1} ,则 A ? (?R B) 为 2.已知 A ? {x | ?2 ? x ? 1 A. ( ?2,1) B. (??,1) C. (0,1) 3.若 ( x ? 1) ? 1 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a8 x ,则 a5 ? A.56 B.?56 C.35
8 2 8

D.3 D. (?2,0] D.?35

4.已知随机变量 ξ~B(3, ) ,则 E(ξ)=(



A.3

B.2

C.

D.

“x ≠ 1” “| x ? 3| ?| x ? 1| ? 2” 5. 已知 x ∈ R ,则 是 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的 6 个大小、质量相同的小球,某人从袋子中一 次任取 3 个球,若每个球被取到的机会均等,则取出的 3 个球编号之和大于 7 的概率为( A. B. C. D. )

7. 将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的 分配方案的种数为 A.50 B.80
*

C.120

D.140

8. 已知 a,b 为实常数, {ci}(i∈N )是公比不为 1 的等比数列, 直线 ax+by+ci=0 与抛物线 y2=2px(p>0) 均相交,所成弦的中点为 Mi(xi,yi),则下列说法错误的是 A.数列{xi}可能是等比数列 C. 数列{xi}可能是等差数列 B.数列{yi}是常数列 D.数列{xi+yi }可能是等比数列

9. 已知函数 f(x)= ax3+ ax2+x(a∈R) ,下列选项中不可能是函数 f(x)图象的

是(



A.

B.

1

C.

D.

10. 在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点,点 P 是△A1C1D 内 ? 的动点(不包括边界), 记直线 D1P 与 MN 所成角为?, 若?的最小值为 , 则点 P 的轨迹是 ( ) 3 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分. 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 表面积为

正视图 4 俯视图 (第 11 题图)



2

4

2 3 侧视图

12.以坐标原点 O 为圆心,且与直线 x+y+2=0 相切的 圆方程是 位置关系是 ,圆 O 与圆 x +y ﹣2y﹣3=0 的
2 2



13.设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 1 1 P a 2 5 则a= ;E(X)= . 14.已知函数 f(x)=x3+ax+b 的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 2x?y?5=0,则 a= ;b = .
? x ? 2 y ? 4 ≤0, ? 15.若不等式组 ?ax ? 3 y ? 4 ≥0, 表示的平面区域是等腰三角形区域,则实数 a 的值为 ? y ≥ 0, ?



16. 己知抛物线 y =4x 的焦点为 F, 过焦点的直线与抛物线交于 A, B 两点, 则直线的斜率为 |AF|+4|BF|取得最小值..

2

时,

17. 已知函数 f(x)=|x+ ﹣ax﹣b|(a,b∈R) ,当 x∈[ ,2]时,设 f(x)的最大

值为 M(a,b) ,则 M(a,b)的最小值为
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 为正三角形,E、F 分别为 PC、BD 的中点. (Ⅰ)求证: EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值;
2 D F A B P E C

(Ⅲ)求二面角 A?PD?B 的余弦值.

19. (本小题满分 15 分) 如图,AB=BE=BC=2AD=2,且 AB⊥BE,∠DAB=60?,AD∥BC ,BE⊥AD, (Ⅰ)求证: 面 ADE ⊥面 BDE; (Ⅱ)求直线 AD 与平面 DCE 所成角的正弦值..
D C

A

B

E (第 19 题图)

20.(本题满分 15 分) 4x ? t (? , f( ? )) 已知 f ( x) ? 2 的两个极值点为? , ? ,记 A(?, f (?)), B x ?1 ? . (Ⅰ)若函数 f ( x) 的零点为 ? ,证明:? ? ? ? 2
?t ? ?t ? ,0 ? ,是否存在实数 t,对任意 m>0,四边形 ACBD 均为平 (Ⅱ) 设点 C ? ? m,0 ?, D ? ? m ?4 ? ?4 ? 行四边形.若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由.

3

21.(本小题满分 15 分) x2 y 2 已知椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 的坐标为(1,0),P,Q 为椭圆上位于 y 轴右 a b 侧的两个动点,使 PF⊥QF,C 为 PQ 中点,线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴,y 轴于点 A, B (线段 PQ 不垂直 x 轴) ,当 Q 运动到椭圆的右顶点时, |PF |? (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ)若 S△ ABO : S△BCF ? 3: 5 ,求直线 PQ 的方程.
2 . 2
y

P C A O B F Q x

(第 20 题图)

22. (本小题满分 15 分) 已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (Ⅰ) 证明: (Ⅱ) 证明: 2

1 (n ∈N? ) , n

an ? 2 a ? n ; n n ?1

?

n ?1 ?1 ≤

?

1 1 1 ? ??? ≤n. 2a3 3 a4 ( n ?1) an ?2

4

磐安中学高二第二学期数学周练(12)答题卷 班级 姓名 学号

一.选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. 12.

13. 15. 17.

14. 16.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.18.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且△PAD 为正三角形,E、F 分别为 PC、BD 的中点. (Ⅰ)求证: EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求二面角 A?PD?B 的余弦值.
D F A B P E C

5

19. (本小题满分 15 分) 如图,AB=BE=BC=2AD=2,且 AB⊥BE,∠DAB=60?,AD∥BC ,BE⊥AD, (Ⅰ)求证: 面 ADE ⊥面 BDE; (Ⅱ)求直线 AD 与平面 DCE 所成角的正弦值..
D C

A

B

E (第 19 题图)

20.(本题满分 15 分) 4x ? t (? , f( ? )) 已知 f ( x) ? 2 的两个极值点为? , ? ,记 A(?, f (?)), B x ?1 ? . (Ⅰ)若函数 f ( x) 的零点为 ? ,证明:? ? ? ? 2
?t ? ?t ? ,0 ? ,是否存在实数 t,对任意 m>0,四边形 ACBD 均为平 (Ⅱ) 设点 C ? ? m,0 ?, D ? ? m 4 4 ? ? ? ? 行四边形.若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由.

6

21.(本小题满分 15 分) x2 y 2 已知椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 的坐标为(1,0),P,Q 为椭圆上位于 y 轴右 a b 侧的两个动点,使 PF⊥QF,C 为 PQ 中点,线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴,y 轴于点 A, B (线段 PQ 不垂直 x 轴) ,当 Q 运动到椭圆的右顶点时, |PF |? (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ)若 S△ ABO : S△BCF ? 3: 5 ,求直线 PQ 的方程.
2 . 2
y

P C A O B F Q x

(第 20 题图)

7

22. (本小题满分 15 分) 已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (Ⅰ) 证明: (Ⅱ) 证明: 2

1 (n ∈N? ) , n

an ? 2 a ? n ; n n ?1

?

n ?1 ?1 ≤

?

1 1 1 ? ??? ≤n. 2a3 3 a4 ( n ?1) an ?2

8

参考答案
一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 D 5 A 6 B 7 B 8 C 9 D 10 B

二、填空题(多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. 40, 32 ? 16 13 ; 12.x +y =2, 相交 13.
2 2

3 9 , ; 10 5

14.?1,?3

15.4; 三. 解答题(74 分)

16.±2



17.

18.解: (Ⅰ)连接 AC,由于 E、F 分别为 PC、BD 的中点, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 EF 为三角形 CPA 的中位线,故有 EF∥PA. 再由 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD,可得 EF∥平面 PAD. (Ⅱ)设 AD 中点为 M,连 PM、BM, ∵△PAD 为正三角形,PM⊥AD, ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,PM?平面 PAD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PM ⊥平面 ABCD,∴MB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影, ∴?PBM 就是 PB 与平面 ABCD 所成角, ∵MB?平面 ABCD,∴PM⊥OB, 易求得 MP= 3 ,MB= 5 , ∴ tan ?PBM ?
PM 3 15 ? ? . BM 5 5
M A D F B P E C

(Ⅲ)设 AD 中点为 M,连 PM、BM, ∵△PAD 为正三角形,PM⊥AD, ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,PM?平面 PAD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PM⊥平面 ABCD, ∴以 AD 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 且平行于 PM 的直线为 z 轴,可建立如图的空间直角坐标系.
9 A x M D F B P E C y z

∴D(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(1,0, 3 ), ∵底面 ABCD 是正方形,∴CD⊥AD, ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD?平面 ABCD, ∴CD⊥平面 PAD,
???? ∴ DC =(0,2,0)是平面 PAD 的一个法向量,
???? ???? 设 n=(x,y,z)是平面 PBD 的一个法向量,∴ DB =(2,2,0), DP =(1,0, 3 ),

??? ? ??? ? ? y ? ?x ?n ? DB ? ? ? ?n ? DB ? 2 x ? 2 y ? 0 由? ,∴ ? 1 , ??? ? 得 ? ??? ? ? ?z ? ? 3 x ?n ? DP ? ?n ? DP ? x ? 3z ? 0 ?
∴n 的一个值为(? 3 , 3 ,1)

???? ???? DC ? n 2 3 21 ∴ cos DC, n ? ???? ? ? 7 DC ? n 2 ? 7
21 . 7 19.解:(Ⅰ)∵AB= 2AD,∠DAB=60?,∴AD⊥DB, 又 BE⊥AD,且 BD∩BE={B}, ∴AD⊥面 BDE,又 AD ?面 ADE,∴面 ADE ⊥面 BDE;

∴二面角 A-PD-B 的余弦值为

(Ⅱ)∵BE⊥AD,AB⊥BE ,∴BE⊥面 ABCD, ∴点 E 到面 ABCD 的距离就是线段 BE 的长为 2, 设 AD 与平面 DCE 所成角为? ,点 A 到面 DCE 的距离为 d , 30 1 1 由VA? DCE ? VE ? ADC 得: ? d ? S△CDE ? ? | BE | ?S△ ACD ,可解得 d ? , 10 3 3 d 30 ? 而 AD ? 1 ,则 sin ? ? , | AD | 10
30 . 10 4( x 2 ? 1) ? (4 x ? t )2 x ?4 x 2 ? 2tx ? 4 ? ?0 20. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

故直线 AD 与平面 DCE 所成角的正弦值为

即 ?4 x2 ? 2tx ? 4 ? 0,△? 4t 2 ? 64 ? 0 t ∴? ? ? ? ,? ? ? ? ?1 2 4x ? t t f ( x) ? 2 ? 0 ,即 4 x ? t ? 0 ,则零点 ? ? x ?1 4
10

t 得证. 2 ?t ? ?t ? , D? ? m ,0 ? 构成平行四边形, (Ⅱ) 要使 A, C ? ? m,0 ?, B ?4 ? ?4 ? t ?t ? ?t ? 由? ? ? ? ? ? ? m ? ? ? ? m ? 得,只需 f (?) ? f ( ?) ?0 2 ?4 ? ?4 ?
∴? ? ? ? 2? ? ∴ f (? ) ? f ( ? ) ?
?
? 4? ? t 4? ? t 4?? 2 ? 4? ? t ? 2 ? t ? 4? 2 ? ? 4? ? t? 2 ? t ? ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1)

4?? (? ? ? ) ? 4(? ? ? ) ? t ( ? 2 ? ? 2 ) ? 2t (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1)
?2t ? 2t ? t[( ? ? ? )2 ? 2?? ] ? 2t (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1)

t2 t3 t2 ? 2] ?4t ? ?t (4 ? ) 4 4 4 ? 2 ? ? ?0 (? ? 1)( ? 2 ? 1) (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1) (? 2 ? 1)( ? 2 ? 1) 所以 t ? 0 ?2t ? t[

21.解:(Ⅰ) 当 Q 运动到椭圆的右顶点时, PF ? x 轴,∴ |PF |?

b2 2 ? , a 2

又 c ? 1 ,∴ a ? 2, b ? 1 x2 椭圆 M 的标准方程为: ? y 2 ? 1 2 (Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 y ? kx ?b ,显然 k ? 0 ,联立椭圆方程得:
(2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2(b2 ? 1) ? 0 ,设点 P(x1, y1), Q( x 1, y 1) ,
? 2(b 2 ? 1) ? 0, (1) ? x1 x2 ? 2k 2 ? 1 ? ?4kb ? ? 0, (2) 由韦达定理: ? x1 +x2 ? 2 2k ? 1 ? ?△? 8(2k 2 ? b 2 ? 1) ? 0, (3) ? ? ??? ? ??? ? 由 PF ? QF ? 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 得:3b2?1+4kb=0
b ? ? ?2kb , 2 点C ? 2 ?, 2 k ? 1 2 k ?1? ?

(4)

∴线段 PQ 的中垂线 AB 方程: y ?

?kb 1? b ? ?? ?x? 2 ? 2 2k ? 1 k? 2k ? 1 ?

?b ? ? ?kb ? ? ,0 ? , B ? 0, 2 令 x ? 0, y ? 0 可得: A ? 2 ? ,则 A 为 BC 中点, ? 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 ?



? 1 ? S△BCF 2S△ ABF | AF | 2(1 ? xA ) = ?2 ? ? 2 ? ? 1? , S△ ABO S△ ABO | AO | xA ? xA ?

11

1 ? 3b2 ?kb 6b4 ? 2b2 ,则 xA ? 2 ? 4 2k ? 1 9b ? 2b2 ? 1 4b ? 1 ? 6b4 ? 8b2 ? 2 5 S△BCF =2 ? ? 1? = ? ,得: b 2 ? 3 4 2 S△ ABO x 6 b ? 2 b 3 ? A ? 2 3 2 3 ∴ b ? 3, k ? ? 或 b ? - 3, k ? , 3 3 经检验,满足条件(1)(2)(3) , 2 3 2 3 x? 3或y ? x? 3. 故直线 PQ 的方程为: y ? ? 3 3 1 1 22. 解:(Ⅰ) 证明:∵ an ?1 ? an ? ①,∴ an? 2 ? an?1 ? ② n n ?1 a ?a a n 由② ? ①得: n ? 2 n ?1 ? n ? 2 ? , an ?1 ? an an n ?1
由(4)式得: k ?

an ? 2 a ? n n n ?1 (Ⅱ) 证明:由(Ⅰ)得: (n ?1) an ? 2 ? nan 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ∴ 2a3 3a4 (n ? 1)an ? 2 a1 2a2 nan
∴ 令 bn ? nan ,则 bn ? bn?1 ? nan ? (n ? 1)an?1 ? ∴ bn?1 ? bn ? n ④ 由 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? 2 ,易得 bn ? 0 1 由③-④得: ? bn ?1 ? bn ?1 (n ≥ 2) bn ∴ b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 , b2 ? b4 ? ? ? b2n ,得 bn ≥ 1 根据 bn ? bn ?1 ? n ? 1 得: bn?1 ? n ? 1 ,∴1≤ bn ≤ n 1 1 1 1 1 1 ??? ? ? ??? ∴ ? a1 2a2 nan b1 b2 bn
1 ? (b3 ? b1 ) ? (b4 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ? 2 ) ? (bn ?1 ? bn ?1 ) b1 1 ? ? bn ? bn ?1 ? b1 ? b2 ? bn ? bn ?1 ? 2 b1 ?

n ? (n ? 1) ? n ?1 ③ n

一方面: bn ? bn?1 ? 2 ≥ 2 bnbn?1 ? 2 ? 2( n ? 1 ? 1) 另一方面:由1≤ bn ≤ n 可知:
bn ? bn ?1 ? 2 ? bn ? n ?1 n ?1 ? ? ? 2 ≤ min ?1 ? n ? 1 ? 2, n ? ? 2? ≤ n bn n ? ?

12


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