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苏州市高三数学二轮复习示范课教案--6.数列中的一类存在性问题(罗建宇).doc


苏州市 2013 届高考数学第二轮复习研讨会

2013 年 4 月

吴江高级中学

数列中的一类存在性问题
执教者:罗建宇(江苏省张家港市暨阳高级中学)
题组一 1.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; an (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ,问:是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t
(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

【解析】 (1) an ? 2n ?1, Sn ? n2

2n ? 1 ,要使得 b1 , b2 , bm 成等差数列,则 2b2 ? b1 ? bm 2n ? 1 ? t 3 1 2m ? 1 4 ? ? 即: 2 即: m ? 3 ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1
(2) bn ? ∵ m, t ? N ? ,∴ t 只能取 2,3,5 当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ;当 t ? 5 时,

m?4.
【注】 “存在”则等价于方程有解,本例利用整除性质解决. 2. (09 年江苏卷 17)设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; a22 ? a32 ? a 42 ? a 52, S 7? 7 . a a (2)试求所有的正整数 m ,使得 m m ?1 为数列 ?an ? 中的项.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m am ? 2 【 解 析 】( 1 ) 设 公 差 为

2 2 2 2 , a2 ? a5? a4 a3 由 性 质 得 ? ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为 d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 , 7?6 又由 S7 ? 7 得 7a1 ? d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 , d ? 2 ,所以 ?an ? 的通项公式为 2

d

, 则

an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n . (2m ? 7)(2m ? 5) (2m ? 7)(2m ? 5) a a ? 2n ? 7 , (2) m m ?1 = ,若其是 ?an ? 中的项,则 2m ? 3 2m ? 3 am ? 2 (t ? 4)(t ? 2) 8 a a ? t ? ? 6 ? 2n ? 7 , 令 t ? 2m ? 3 ,则 m m ?1 = t t am ? 2 8 即: 2n ? t ? ? 1 所以 t 为 8 的约数. 因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 , t 当 t ? 1 ,即 m ? 2 时, n ? 5 ;当 t ? ?1 ,即 m ? 1 时, n ? ?4 (舍去) . 所以满足条件的正整数 m ? 2 .
【注】不仅可以利用整除性质解决,也可利用奇偶性分析.

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3. (南通市 2013 届高三期末) 已知数列{an}中, 2=1, n 项和为 Sn, Sn ? a 前 且 (1)求 a1;

n(an ? a1 ) . 2

(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; an ?1 (3)设 lg bn ? n ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列? 3 若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 1(a ? a ) 【解析】 (1)令 n=1,则 a1=S1= 1 1 =0. 2 n(an ? a1 ) na (2)由 Sn ? ,即 Sn ? n , ① 2 2 (n ? 1)an ?1 得 Sn ?1 ? . ② 2 ②-①,得 (n ? 1)an ?1 ? nan . ③ 于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 . ④ ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. (3)解法 1:假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 2p q 成等差数列,于是, p ? 1 ? q . 3 3 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }( p ? 2 )为递减数列, p ? 2 时, p ?1 3 3 3 3 q ?1 q 1 ? 2q q q ? 3 时, ( 1 ? q ?1 ) ? ( 1 ? q ) ? q ?1 <0,故数列{ 1 ? q }( q ? 3 )为递减数列, 3 3 3 3 3 3 3 2p q 2p 1 q ( p )max ? 4 , ( 1 ? q )max ? 4 ,即 p ? 2, q ? 3 时, p ? ? q 9 3 3 9 3 3 3 3 2p 2?3 2 1 2p 1 q ? ? ,故无正整数 q 使得 p ? ? q 成立. 又当 p ? 3 时, p ? 27 9 3 3 3 3 3 2p 1 q 1 2p 解法 2:同上有, p ? ? q ? ,且数列{ p }( p ? 2 )为递减数列, 3 3 3 3 3 2p 4 1 2p 2?3 2 1 ? ? , 当 p ? 2 时, p ? ? 成立;当 p ? 3 时, p ? 9 3 27 9 3 3 3 2p 1 因此,由 p ? 得, p ? 2 ,此时 q ? 3 3 3 【注】在利用“范围”控制正整数的值时,常用求值域的方法:单调性.本例蕴含分类讨 论思想. 题组二 1.已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ? 项,使其成等差数列?说明理由. 【解析】由 an ? 0, 0 ? q ?

1 .在数列 {an } 中是否存在三 2

1 知,数列 {an } 是递减数列, 2

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假 设 存 在 ak , am , an 成 等 差 数 列 , 不 妨 设 k ? m ? n , 则 2am ? ak? an, 即
m ?1 2a1 q ?1 ? a k ?1? 1a nq 即 2qm?k ? 1 ? qn?k 1 q 而 2q m?k ? 2q ? 1, 1 ? q n?k ? 1 ,故矛盾. 因此在数列 {an } 中不存在三项成等差数列.

【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在. 2.2010 年湖北理) ( 已知数列 {an } 满足: 1 ? a
2 2 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an (n ? 1) .

1 3(1 ? an?1 ) 2(1 ? an ) , n an?1 ? 0(n ? 1) , , ? a 2 1 ? an 1 ? an?1

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)证明:数列 {bn } 中的任意三项不可能成等差数列.

2 2 2 2 (1 ? an ) 令 cn ? 1 ? an ,则 cn ?1 ? cn 3 3 3 3 2 2 又 c1 ? 1 ? a1 ? ,则数列 ?cn ? 是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列,即 4 3 4
【解析】 (1)由题意可知, 1 ? an ?1 ?
2

3? 2? cn ? ? ? 4? 3?

n ?1

1 3 2 3?2? 2 ,故 1 ? a ? ( )n?1 ? an ? 1 ? ? ? ,又 a1 ? ? 0 , an an?1 ? 0 2 4 3 4?3?
2 n

n ?1

故 an ? (?1)

n ?1

1 2 3 2 1 ? ( )n?1 , bn ? ( ) n ?1 . 4 3 4 3

(2) 假设数列 ?bn ? 存在三项 br , bs , bt (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列, 由于数列 ?bn ? 是 首项为

1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 br ? bs ? bt ,则只有可能有 2bs ? br ? bt 成立 4 3
s ?1

1?2? ?2 ? ? ? 4? 3?
即: 2

1?2? ? ? ? 4? 3?

r ?1

1?2? ? ? ? 4? 3?

t ?1

?2? ? 2? ? 2? ,即 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ? 3? ? 3?

s

r

t

s ?1?t t ? s

3

? 3t ?r ? 2t ?r

由于 r ? s ? t ,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾. 因此数列 ?bn ? 中任意三项不可能成等差数列. 【注】此题为上例的补充,方法上有区别,在不便利用范围寻找矛盾时,如何考虑式子的 变形呢?首先考虑将分数整数化,然后利用奇偶性寻找矛盾. 3. (2007 福建理 22)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ;

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Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n ?a1 ? 2 ? 1, ? 【解析】 (1)由已知得 ? ,? d ? 2 , 3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ? ?
(2)设 bn ? 故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) .

Sn ? n? 2 . n 假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br p, q, r 互不相等) ( 成等比数列, bq ? bpbr . 则 2
(2)由(1)得 bn ? 即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0 ? p,q,r ?N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? 2 ?? ?? (p ? ? ? pr, ? r ) ? 0, p ? r . ? 2 ? ?2q ? p ? r ? 0, 与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.
2

【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾. 课堂小结 数列中的一类存在性问题 ? 不定方程的正整数解问题 存在 ? 有(正整数)解 (1)整除性 (2)奇偶性 (3)范围 课本溯源 (选修 2-2 教材 P84 第 9 题)证明:1, 2 ,3 不可能是一个等差数列中的三项. 选编说明 数列是高中数学的核心概念之一,在高考中占有重要的地位,其在历年高考解答题中 基本居压轴题位置.江苏省 08、09 年高考中数列解答题都考查了数列中一类存在性问题, 此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题,往往与数论、函数、方程、不等式等知 识集于一体,蕴含了丰富的数学思想,在近年省内各市模拟卷中常有出现.通过对数列中 一类存在性问题的研究,让学生加深对数列概念的理解,学会此类问题的常用处理策略, 提升分析、转化、解决问题的能力. 课后巩固: 1.(2011 高淳高级中学 19)公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ 2, S3=12+3 2. (1)求数列{an}的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn; 不存在 ? 无(正整数)解 (1)范围 (2)奇偶性 (3)有理数性质

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( 2 ) 记 bn = an - 2 , 若 自 然 数 ?1 ,? 2 , . . .? k , . . . 足 1 ? ?1 ? ?2 ? . . .? ?k ? . . ., 并 且 满 , ; b?1 , b? 2 , . . .b? , . . 成等比数列,其中?1 ? 1,?2 ? 3 ,求?k (用 k 表示) , .
k

Sn (3)记 cn= ,试问:在数列{cn}中是否存在三项 cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等 n 比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由. 【分析】子数列的问题,抓住同一项的双重性,建立等量关系. 【解答】 (1)? a1 ? 2 ? 2 , S3 ? 3a1 ? 3d ? 12 ? 3 2 ,? d ? 2 所以 an ? 2n ? 2 , S n ? n 2 ? ( 2 ? 1)n (2)由题意, bn ? 2n ,首项 b1 ? 2 ,又数列 b?1 , b? 2 ,...,b? ,...的公比 q ?
k

b3 ?3 b1

?b?k ? 2 ? 3k ?1 ,又 b? k ? 2?k ,??k ? 3k ?1
2 (3)易知 cn ? n ? 2 ? 1 ,假设存在三项 cr , cs , ct 成等比数列,则 cs ? cr ? ct ,

即[s ? ( 2 ? 1)]2 ? [r ? ( 2 ? 1)][t ? ( 2 ? 1)], 整理得(2s ? r ? t ) 2 ? rt ? r ? t ? s 2 ? 2s …12 分

2s ? r ? t ? 0 且 rt ? r ? t ? s 2 ? 2s ? 0 , ?

?

s 2 ? rt

?2s ? r ? t ? 0

,解得 r ? t ,这与 r ? t 矛盾.

综上所述,不存在满足题意的三项 cr , cs , ct 【反思】在反证法中利用有理数的性质,产生矛盾,也是数列问题中常见的方法. 2.(2008 江苏 19) (1)设 a1 , a2 ,?, an 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公 差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值.

(2)求证:对于给定的正整数 n ( n≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列

?, b1,b2, bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
【分析】从等差数列中抽取一些项,成为等比数列,应该用好基本量的方法,从方程 中看端倪. 【解答】 (1)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中 连续三项成等比数列,则推出 d=0. 若删去 a2 ,则 a3 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? 2d ) ? a ? (a ? 3d ) 化简得 a1 ? 4d ? 0 ,得 1 1
2 2

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a1 ? ?4 d
若删去 a3 ,则 a22 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 综上,得

a1 ?1 d

a1 a ? ?4 或 1 ? 1 . d d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项.
若删去 a3 ,则 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) 化简得 3d ? 0 ,
2

因为 d ? 0 ,所以 a3 不能删去; 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an ? a3 ? an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若 删去 an ?1 也有 a1 ? an ? a3 ? an? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;若删去 a3 ,?, an?2 中任意一个,则必有

a1 ? an ? a2 ? an?1 ,这与 d ? 0 矛盾.(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必
有连续的三项) 综上所述, n ? 4 . (2)假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... n ,其中 b

bx?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b2 y?1 ? bx?1 ? bz ?1 ,即
(b1 ? yd )2 ? (b ? xd) ? (b ? zd) ,化简得 ( y2 ? xz)d 2 ? ( x ? z ? 2 y)b1d 1 1
由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2 2 当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾.

(*)

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
b1 为有理 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 数. 于是,对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要 列. 例如n项数列1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,??, 1 ? (n ?1) 2 满足要求. 【反思】第3问要看懂题意,只要找到一个满足条件的数列即可.

b1 为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数 d

3. (2012 届苏北四市一模)设数列 {an } 的前n项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? pSn ? q( p, q 为常 数, n ? N ) ,且 a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? q ? 3 p
*

(1)求 p, q 的值;

(2)求数列 {an } 的通项公式;

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(3)是否存在正整数 m, n ,使

Sn ? m 2m 成立?若存在,求出所有符合条件的有 ? m Sn?1 ? m 2 ? 1

序实数对 (m, n) ;若不存在,说明理由.

1 ? ?S2 ? pa1 + q, ?3 ? 2 p + q, ?p ? , 解:⑴由题意,知 ? 即? 解之得 ? 2 ?S3 ? pS2 + q, ?3 + q ? 3 p ? 3 p + q, ?q ? 2 . ?

1 ⑵由⑴知, Sn?1 ? Sn ? 2 ,① 2 1 当 n ≥ 2 时, Sn ? Sn?1 ? 2 ,② 2 1 ① ? ②得, an?1 ? an ? n ≥ 2? , 2

1 1 1 又 a2 ? a1 ,所以 an?1 ? an ? n ?N* ? ,所以 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 的等比数列, 2 2 2
所以 an ?

1 2
n?2



⑶由⑵得, Sn ?

2(1 ?

1 ) m 2n ? 4(1 ? 1 ) ,由 Sn ? m ? 2 ,得 1 Sn ?1 ? m 2m ? 1 2n 1? 2

1 )?m 2n (4 ? m) ? 4 2m 2m 2n ? m ,即 n , ? m 1 2 (4 ? m) ? 2 2 ? 1 4(1 ? n +1 ) ? m 2 ? 1 2 4(1 ?

2 1 1 1 ? ? (常数分离) ,即 n ?1 ,因为 2m ? 1 ? 0 ,所 2 (4 ? m) ? 1 2 m ? 1 2n (4 ? m) ? 2 2m ? 1

以 2n?1 (4 ? m) ? 1 ,所以 m ? 4 ,且 0 ? 2n?1 (4 ? m) ? 1 ? 2m + 1 , (?) 因为 m ? N* ,所以 m ? 1 或 2 或 3 . 当 m ? 1 时,由 (?) 得, 0 ? 2n?1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ,所以 n ? 1 ; 当 m ? 2 时,由 (?) 得, 0 ? 2n ?1 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2n ? 6 ,所以 n ? 1 或 2 ; 当 m ? 3 时,由 (?) 得, 0 ? 2n?1 ? 1 ? 8 ? 1 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 , 综 上 可 知 , 存 在 符 合 条 件 的 所 有 有 序 实 数 对 ( m, n ) 为 :
( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 .2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) ,

4

. ( 2012

届 南 京 市 二 模 ) 已 知 数 列

{an } 满 足 :

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a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

???

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n

(常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,是否存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列?若存在, 给出 r , s , t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.若对任意 n ? N ? ,都有 (1 ? ? )Sn ? ?an ? 2? 恒成立, 求实数 ? 的取值范围.

【解析】 (1) a1 ? 3 当 n ? 2 时,由 a1 ? 得 a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

???

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n

① ②

a2

?

?

?

a3
2

?? ?

?

an ?1
n?2

? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)

①- ②得

?

an
n ?1

? 2n ? 1 ,所以 an ? (2n ? 1)? n?1 ( n ? 2 )
n ?1

因为 a1 ? 3 ,所以 an ? (2n ? 1)?

( n? N? )

(2)当 ? ? 4 时, an ? (2n ? 1)4

n?1

若存在 ar , as , at 成等比数列,则 (2r ? 1)(2t ? 1)4r ?t ?2 s ? (2s ? 1)2 由奇偶性知 r ? t ? 2 s ? 0 所以 (2r ? 1)(2t ? 1) ? (r ? t ? 1)2 ,即 r ? t ,这与 r ? t 矛盾. 故不存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列 (3) ? ? (0, ] 5. (连云港市 2013 届高三期末)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数),其前 n 项和 Sn 满 n(an-a1) 足 Sn= (n?N*). 2

3 2

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1 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4 (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为
第 3p-2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 1?(a1-a1) nan 解: (1)由已知,得 a1=S1= =0,?Sn= , 2 2 (n+1)an+1 则有 Sn+1= ,?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan, 2 即(n-1)an+1=nan,?nan+2=(n+1)an+1,两式相加,得 2an+1=an+2+an,n?N*, 即 an+1-an+1=an+1-an,n?N*,故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a. (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1).

1 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n2?n+11=(m?1)2,即 4(m?1)2-(2n?1)2=43, 4
?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43. ∵ 是质数,2m+2n?3>2m?2n?1,2m+2n?3>0, 43 ??

?2m ? 2n ? 1 ? 1, 解得 m=12,n=11. ?2m ? 2n ? 3 ? 43,

(3)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. p-b 若 a<0,则 n? +1,不合题意,舍去; a p-b 若 a>0,则 n? +1. a ∵ 不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, p-b ?3p-2? +1<3p-1, a 即 2a-b<(3a-1)p?3a-b 对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解得 a= , 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 1 2 故存在实数 a、b 满足条件,a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1. 3 3

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6. (徐州市 2013 届高三期末)已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且对任意正整 数 k , 当 a k ? b k ? 0 时 , a k ?1 ?

1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 a k ? bk ? 0 时 , 2 4 4

1 1 3 bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4
(1)求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2)若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列? 若存在,求出 a, b 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

解: (1)当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ? an ? bn 且 bn?1 ? bn ,

1 1 3 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) , 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) , 4 4 2 2 1 又 a ? b ? 0 ,故数列 ?an ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2
所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ?

?1? ?2?

n ?1


n ?1

(2)因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1

3 ?3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1



?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1



假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 为等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列.

苏州市 2013 届高考数学第二轮复习研讨会

2013 年 4 月

吴江高级中学

(3)因为 an + bn ? 0 ,所以 b2 n ? ? 又 b2 n ?

1 1 a 2 n ?1 ? b2 n ?1 . 4 2

3 3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2 n?1 ? ? a2 n?1 ? b2 n?1 ? b2 n?1 , 4 4 4 2 4 4 4
1 4

所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) .

3 4

?1? 由(1)知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2



b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ? ? (b2n?1 ? b2n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? 1? ? ? ? , ? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?
n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?


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