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高中数学高频考点


1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C 中 元 素
各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
1? ? (答: ??1,0, ?) 3 ? ?

3. 注意下列性质:

(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;

(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:

CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?,CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 ? 0的解集为M,若 3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

(∵ 3 ? M,∴

a· 3 ? 5 ?0 32 ? a a·5 ? 5 ?0 52 ? a

∵5 ? M,∴

5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (?),“且” (?) 和 “非”(?).

若p ? q为真,当且仅当p、q均为真

若p ? q为真,当且仅当p、q至少有一个为真

-1-

若?p为真,当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对 应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

(答: ?0, 2? ??2, 3? ??3,4?)
10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定 义 域 是

?

?

_。
(答: a, ? a )

?

?

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f (x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0
∴x ? t 2 ? 1

∴f (t) ? e t

2

?1

? t2 ?1

∴f (x) ? e x

2

?1

? x 2 ? 1 ?x ? 0?

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)
-2-

?1 ? x ? 如:求函数 f (x) ? ? 2 ? ?? x

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?

? ?x ? 1 ?x ? 1? (答:f ?1 (x) ? ? ) ? ?? ? x ?x ? 0?

13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ?A,b ?C,则f(a) = b ? f ?1 (b) ? a
? f ?1? f (a )? ? f ?1 ( b) ? a,f f ?1 ( b) ? f (a ) ? b
14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

?

?

(y ? f (u),u ? ?(x),则y ? f ??(x)? (外层) (内层)
当内、外层函数单调性相同时f ??(x)?为增函数,否则f ??(x)?为减函数。)
如:求 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的 单 调 区 间
2

?

?

(设u ? ?x 2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2
且 log 1 u ? ,u ? ?? x ? 1? ? 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ?(0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

∴??)
-3-

15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b?内,若总有f '(x) ? 0则f (x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ? 0呢?

如:已知a ? 0,函数f (x) ? x3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3? x ? ??x ? ? ?0 3?? 3? ?

则x ? ?

a a 或x ? 3 3
a ? 1,即a ? 3 3

由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则
∴a 的最大值为 3)

16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称

若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
如:若f ( x) ? a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0
即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1

-4-

又如:f ( x) 为定义在( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ?

2x , 4x ? 1

求f (x)在??1,1?上的解析式。
(令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ? 2?x 4?x ? 1

2?x 2x 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ? ? x ?? 4 ?1 1 ? 4x

? 2x ?? x ? 4 ?1 又f (0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1
17. 你熟悉周期函数的定义吗?

x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1?



(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则
(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)

又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x ? a,x ? b ???
即f (a ? x) ? f (a ? x) ,f ( b ? x) ? f ( b ? x)

则f ( x) 是周期函数,2 a ? b 为一个周期
如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

-5-

f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称
f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称

f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称

f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称
左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a)

上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
注意如下“翻折”变换:

f ( x) ? ?? f ( x) f ( x) ? ?? f (| x|)

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?

作出y ? log2 ?x ? 1? 及y ? log2 x ? 1 的图象
y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

-6-

(k<0) y

(k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?
( 2 )反比例函数:y ? k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O' (a,b) 的双曲线。 x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? (3)二次函数y ? ax 2 ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a ? 0,向上,函数y min ? 4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ? 0 ? ? b 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k 2 a ? ? ?f ( k ) ? 0

-7-

y

(a>0)

O

k x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0

(4)指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1? (5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定! )
y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=log ax(a>1)

(0<a<1)
( 6)“对勾函数” y ? x ? k ?k ? 0? x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

y

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ?

1 (a ? 0) ap

-8-

m

a n ? n a m (a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: loga M·N ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?
log a M 1 n ?log M ? log a M?log a N, l o g a a M N n

对数恒等式:a loga x ? x
对数换底公式: log a b ?
21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

log c b n ? log a m b n ? log a b log c a m

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??)
(2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。

(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )
∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法) ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调 性法,导数法等。 ) 如求下列函数的最值:

?

?

(1)y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x
(2 )y ? 2 x ?4 x ?3
2x 2 x?3

(3)x ? 3,y ?

-9-

(4 )y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 设x ? 3 cos ?,? ??0,??
(5)y ? 4 x ? 9 ,x ? (0,1] x

?

?

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式 吗?

(l ? ? ·R,S 扇 ?

1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2

R 1 弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sin ? ? MP, c o s ? ? OM, t a n ? ? AT
y B P α O M A x S T

如:若 ?

? ? ? ? 0,则 sin ?, cos ?, tan ?的大小顺序是 8

?? ? 又如:求函数y ? 1 ? 2 cos? ? x? 的定义域和值域。 ?2 ?
?? ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ?
∴ sin x ? 2 ,如图: 2

- 10 -

∴ 2 k? ?

5? ? ? x ? 2 k? ? ? k ? Z?, 0 ? y ? 1 ? 2 4 4

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、 对称轴吗?

sin x ? 1, c o s x ?1
y

y? tgx

?

?
2

O

?
2

?

x

? ? ? 对称点为? k ,0? ,k ? Z ? 2 ?
? ?? ? y?sin x的增区间为 ?2k? ? ,2k? ? ? ?k ? Z? 2 2? ?
? 3? ? ? 减区间为 ?2k? ? ,2k? ? ? ?k ? Z? 2 2? ?
- 11 -

图象的对称点为? k?,0?,对称轴为 x ? k? ?
y?cos x的增区间为?2 k?, 2 k? ? ?? ? k ? Z?

? ?k ? Z? 2

减区间为?2 k? ? ?, 2 k? ? 2 ?? ? k ? Z?
? ? ? 图象的对称点为? k? ? ,0? ,对称轴为 x ? k? ?k ? Z? ? ? 2

? ?? ? y? tan x的增区间为? k? ? ,k? ? ? k ? Z ? 2 2?

26. 正弦型函数y = Asin??x + ??的图象和性质要熟记。?或y ? A cos??x ? ???
(1)振幅| A| ,周期T ? 2? | ?|

若f ?x 0 ? ? ?A,则x ? x 0 为对称轴。

若f ?x0 ? ? 0,则?x0 ,0?为对称点,反之也对。
( 2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0, ? 3? ,?, , 2 ? ,求出x与y,依点 (x,y)作 2 2

图象。
(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

?? ( x 1 ) ? ? ? 0 ? 如图列出 ? ? ?( x 2 ) ? ? ? ? 2 ?
解条件组求?、?值
?正切型函数 y ? A tan??x ? ??,T ? ? | ?|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角 的范围。

- 12 -

?? 2 3? ? ? ? 如: cos? x ? ? ? ? ,x ? ??, ? ,求x值。 ? 6? 2 2? ?
(∵? ? x ? 3? 7? ? 5? ? 5? 13 ,∴ ? x? ? ,∴x ? ? ,∴x ? ?) 2 6 6 3 6 4 12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

如:函数y ? sin x ? sin| x| 的值域是 (x ? 0时,y ? 2 sin x ???2,2?,x ? 0时,y ? 0,∴y ???2,2?)
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:

? ?x' ? x ? h a ?( h,k) (1)点P(x,y) ????? ?? P' (x' ,y' ),则? 平移至 ?y' ? y ? k
(2 )曲线f ( x,y) ? 0沿向量 a ? ( h,k ) 平移后的方程为f ( x ? h,y ? k ) ? 0
?

?? ? 如:函数 y ? 2 sin? 2x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的 图象? ? 4?

?? ? ? 1 ? ?? ? 2倍 (y ? 2 sin? 2x ? ? ? 1 ?横坐标伸长到原来的 ???????? ?? y ? 2 sin?2? x? ? ? ? 1 ? 4? ? ?2 ? 4?
? 左平移 个单位 ?? ? 1个单位 4 ? 2 sin? x ? ? ? 1 ? ????? ?? y ? 2 sin x ? 1 ?上平移 ????? ?? y ? 2 sin x ? 4?

1 2 ? y ? sin x) ??????????
纵坐标缩短到原来的 倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? tan ?· cot ? ? cos ?· sec ? ? tan ? sin ? ? cos 0 ? ??称为1的代换。 2

? 4

“ k·

? 、 “偶” ? ?”化为 ? 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, “奇” 2

指 k 取奇、偶数。
如: cos 9? ? 7? ? ? tan? ? ? ? sin?21?? ? ? 6? 4

- 13 -

又如:函数y ?
A. 正值或负值

sin ? ? tan ? ,则y的值为 cos ? ? cot ?
B. 负值 C. 非负值 D. 正值

sin ? sin 2 ??cos ? ? 1? cos ? (y ? ? ? 0,∵? ? 0) cos ? cos2 ??sin ? ? 1? cos ? ? sin ? sin ? ?
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系:

令??? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?? ?? sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?? ? ?? ? s i n
令? ?? 2 c o? s? ? ?? ? c o s ?c o ? s ?sin ?s i n ? ? ?? ?? c o s 2? ? c o 2 s? ? s i n ? tan ?? ? ?? ? tan ??tan ? 1? t a n ?· t a n ?
2 ? 2c o 2 s? ?1 ? 1? 2s i n ??

2t a n ? tan 2? ? 2 1? t a n ?

1? c o s 2? 2 1 ? c os 2? 2 sin ?? 2 c o2 s? ?

as i n ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin?? ? ??, tan ? ?

b a

?? ? sin ??cos ? ? 2sin ?? ? ? ? 4? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2 sin? ? ? ? ?? ? 3?

应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含 三角函数,能求值,尽可能求值。 ) 具体方法:
(1)角的变换:如? ? ?? ? ?? ? ?, ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2 2 2

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

如:已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan?? ? ?? ? ? ,求 tan?? ? 2? ?的值。 1 ? cos 2? 3

- 14 -

(由已知得:

sin ? cos ? cos ? 1 ? ? 1,∴ tan ? ? 2 2 sin ? 2 2 sin ?

又 tan?? ? ? ? ?

2 3
tan ? ?? ? ?? ? t a n

2 1 ? 3 2 ? 1) ∴tan ? ?? ? 2?? ? t a n ??? ? ?? ? ?? ? 1 ? t a n 2 ? 1? · 1 8 ?? ? ??· t a n 3 2
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

b2 ? c2 ? a 2 余弦定理:a ? b ? c ? 2 bc cos A ? cos A ? 2 bc
2 2 2

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。 )

?a ? 2 R sin A a b c ? 正弦定理: ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?

S? ?

1 a· b s i n C 2

∵A ? B ? C ? ?,∴A ? B ? ? ? C
A?B C ∴s i n C, s i n ? cos ?A ? B? ? s i n 2 2 A?B 如?ABC中, 2 sin 2 ? cos 2C ? 1 2
(1)求角C;

c2 (2 )若a ? b ? ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2
2 2

((1)由已知式得:1 ? cos?A ? B? ? 2 cos2 C ? 1 ? 1

又A ? B ? ? ? C,∴2 cos2 C ? cos C ? 1 ? 0
1 或 cos C ? ?1(舍) 2 ? 又 0 ? C ? ?,∴C ? 3 ∴ cos C ?
( 2 )由正弦定理及a 2 ? b 2 ? 1 2 c 得: 2

2 2 2 2 2s i n A ? 2s i n B?sin C?sin

? 3 ? 3 4

1? c o s 2A ? 1 ? c o s 2B ?

3 4
- 15 -

3 ∴ cos 2A ? cos 2 B ? ? ) 4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

?? ? ? 反正弦: arcsin x ? ?? , ? ,x ?? ?1,1? 2? ? 2

反余弦: arccosx ??0,??,x ???1,1?
?? ? ? 反正切: arctan x ? ? ? , ? ,?x ? R? ? 2 2?

34. 不等式的性质有哪些?

(1)a ? b,

c ? 0 ? ac ? bc c ? 0 ? ac ? bc

(2)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (3)a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd
( 4 )a ? b ? 0 ? 1 1 1 1 ? ,a ? b ? 0 ? ? a b a b

(5)a ? b ? 0 ? a n ? b n ,n a ? n b
(6)| x| ? a ?a ? 0? ? ?a ? x ? a,| x| ? a ? x ? ?a或x ? a
如:若 1 1 ? ? 0,则下列结论不正确的是( a b )

A. a 2 ? b 2
C. | a|?| b| ?| a ? b|
答案:C 35. 利用均值不等式:

B. ab ? b 2
D. a b ? ?2 b a

? a ? b? a 2 ? b 2 ? 2ab a,b ? R ? ;a ? b ? 2 ab;ab ? ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?

?

?

2

意到“a,b ? R ? ”且“等号成立”时的条件,积(ab) 或和(a ? b) 其中之一为定 值?(一正、

二定、三相等) 注意如下结论:

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? a,b ? R ? 2 2 a?b

?

?

- 16 -

当且仅当a ? b时等号成立。

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ?a,b ? R?
当且仅当a ? b ? c时取等号。 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则
b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b
如:若x ? 0, 2 ? 3x ? 4 的最大值为 x

4? ? (设y ? 2 ? ? 3x ? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ? x?
当且仅当3x ? 4 2 3 ,又x ? 0,∴x ? 时,y max ? 2 ? 4 3) x 3

又如:x ? 2y ? 1,则2 x ? 4 y 的最小值为
(∵2 x ? 2 2 y ? 2 2 x?2 y ? 2 21 ,∴最小值为2 2)
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ?2 2 2 3 n

(1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 1? 2 2 ? 3 2 3 n ?n ? 1?n

? 1?1? ? 2?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n ?1 n

1 ? 2) n
f ( x) ? a ?a ? 0?的一般步骤是什么? g( x)

37. 解分式不等式

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

- 17 -

如:?x ? 1??x ? 1? ?x ? 2? ? 0
2 3

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a ? 1或0 ? a ? 1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )

例如:解不等式| x ? 3|? x ? 1 ? 1

1? ? (解集为 ?x| x ? ?) 2? ?

41. 会用不等式| a|?| b| ?| a ? b| ?| a|?| b| 证明较简单的不等问题
如:设f ( x) ? x 2 ? x ? 13,实数a满足| x ? a| ? 1

求证: f ( x) ? f (a) ? 2(| a|?1)
证明: | f ( x) ? f (a)| ?|( x ? x ? 13) ? (a ? a ? 13)|
2 2

?|( x ? a)( x ? a ? 1)| (?| x ? a| ? 1) ?| x ? a|| x ? a ? 1| ?| x ? a ? 1| ?| x|?| a|?1
又| x|?| a| ?| x ? a| ? 1,∴| x| ?| a|?1

∴ f ( x) ? f (a) ? 2| a|?2 ? 2?| a|?1?
(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值
a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值

例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是

- 18 -

(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2和3距离之和

u m i n? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5

或者: x ? 3 ? x ? 2 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 5,∴a ? 5)
43. 等差数列的定义与性质

定义:a n?1 ? a n ? d (d为常数) ,a n ? a1 ? ?n ? 1?d

等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A ? x ? y
前n项和S n ?

?a 1 ? a n ?n ? na
2

1

?

n?n ? 1? 2

d

性质:?a n ?是等差数列

(1)若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q ;
(2)数列?a 2 n?1?,?a 2 n ?,?ka n ? b?仍为等差数列;

S n ,S2 n ? S n ,S3n ? S2 n ??仍为等差数列;
(3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a ? d;

(4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则

a m S 2 m?1 ? ; b m T2 m?1

(5)?a n ?为等差数列 ? Sn ? an 2 ? bn(a,b为常数,是关于n的常数项为 0 的二
次函数)

Sn 的最值可求二次函数Sn ? an2 ? bn的最值;或者求出?a n ?中的正、负分界 项,即:

?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,解不等式组? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n?1 ? 0
?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,由? 可得S n 达到最小值时的n值。 ?a n?1 ? 0

如:等差数列?a n ?,S n ? 18,a n ? a n?1 ? a n?2 ? 3,S3 ? 1,则n ?

(由a n ? a n?1 ? a n?2 ? 3 ? 3a n?1 ? 3,∴a n?1 ? 1

- 19 -

又S3 ?

?a1 ? a 3 ? ·3 ? 3a
2

2

? 1,∴a 2 ?

1 3

?1 ? ? ? 1? n a 1 ? a n ?n ?a 2 ? a n ?1 ?·n ? 3 ? ? ∴S n ? ? ? ? 18 2 2 2

? n ? 27)
44. 等比数列的定义与性质

定义:

a n?1 ? q(q为常数,q ? 0),a n ? a 1q n?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G2 ? xy,或G ? ? xy
?na 1 (q ? 1) ? 前n项和:S n ? ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) (q ? 1) ? ? 1? q

?

?

性质:?a n ?是等比数列

(1)若m ? n ? p ? q,则a m ·a n ? a p ·a q
(2)Sn ,S2 n ? Sn ,S3n ? S2 n ??仍为等比数列
45. 由S n 求a n 时应注意什么?

(n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2时,a n ? S n ? Sn?1 )
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如: (1)求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2
解: n ? 1时,

?1?

1 a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2
?2?

1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n ?1 a n ?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2

? 1 ? ? ? 2 ? 得:

1 an ? 2 2n

∴a n ? 2 n?1

- 20 -

?14 ( n ? 1) ∴ a n ? ? n ?1 ( n ? 2) ?2
[练习]

数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ?

(注意到a n?1

5 a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3 S ? S n ?1 ? S n 代入得: n?1 ? 4 Sn

又S1 ? 4,∴?Sn ?是等比数列,Sn ? 4 n

n ? 2时,a n ? Sn ? Sn?1 ? ?? ? 3·4 n?1
(2)叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,
解:

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 ?? n ? · ?? ,∴ n ? a1 a2 a n?1 2 3 n a1 n
3 n

又a 1 ? 3,∴a n ?

(3)等差型递推公式

由a n ? a n?1 ? f ( n) ,a1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法
n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: ?? ?? ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?

a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)
[练习]

数列?a n ?,a1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n

(a n ?

1 n 3 ?1 ) 2

?

?

(4)等比型递推公式
a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n?1 ? x?

- 21 -

? a n ? ca n?1 ? ?c ? 1?x
令 (c ? 1) x ? d, ∴ x? d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ?

∴a n ?

d d ? ? n ?1 ? ? a1 ? ? ·c ? ? c ?1 c ?1

d ? n ?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? c ? 1? c ?1
[练习]

数列?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n
? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?
(5)倒数法
n ?1

? 1)

例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?
由已知得:

2a n ,求a n an ? 2

a ?2 1 1 1 ? n ? ? a n ?1 2a n 2 an



1 a n ?1

?

1 1 ? an 2

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a a 2 1 ? n?

?

1 1 1 ? 1 ? ?n ? 1?· ? ?n ? 1? an 2 2
2 n ?1

∴a n ?

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如: (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求?

1 k ?1 a k a k ?1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?
- 22 -

∴?

n 1 1? 1 1 ? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

求和:1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n

(a n ? ?? ? ??,S n ? 2 ?
(2)错位相减法:

1 ) n ?1

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项

和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。

如:Sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nx n?1

?1?

x·Sn ? x ? 2x 2 ? 3x 3 ? 4x4 ? ?? ? ?n ? 1?x n?1 ? nx n ? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?Sn ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n?1 ? nx n
x ? 1时,S n

?2?

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

n?n ? 1? 2

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
? S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ? ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? ?? ? ?a1 ? a n ???
[练习]

已知f ( x) ?

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x

- 23 -

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2

2

? 1? ? ? ? x?

2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 2 ? ? 3 ? ? ?

?

1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n?n ? 1? ? ? S n ? p?1 ? r ? ? p?1 ? 2 r ? ? ?? ? p?1 ? nr ? ? p ?n ? r ? ??等差问题 2 ? ?
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额 归还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利) ,那么每期应还 x 元,满足

p(1 ? r ) n ? x?1 ? r ?

n ?1

? x?1 ? r ?

n ?2

? ?? ? x?1 ? r ? ? x

?1 ? ?1 ? r ? n ? ?1 ? r ? n ? 1 ? x? ??x r ? ? 1 ? ?1 ? r ? ? ?
∴x ? pr ?1 ? r ?
n

?1 ? r ? n ? 1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N ? m1 ? m2 ? ?? ? mn
(mi 为各类办法中的方法数)
分步计数原理:N ? m1 ·m2 ??mn

(mi 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
- 24 -

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .

Am n ? n? n ? 1?? n ? 2???? n ? m ? 1? ?
规定:0! ? 1

n! ?m ? n? ?n ? m?!

(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .

Cm n ?

n?n ? 1????n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!?n ? m?! Am

规定:C 0 n ?1

(4)组合数性质:
n? m m?1 0 1 n n Cm ,C m ? Cm n ? Cn n ? Cn n?1 ,C n ? C n ? ?? ? C n ? 2

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少 问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

x i ? 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i ? 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 )

?

?

解析:可分成两类:
(1)中间两个分数不相等,

4 有C5 ? 5(种)

(2)中间两个分数相等

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。

- 25 -

∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
n 1 n?1 n ?2 2 n? r r n (a ? b) n ? C0 b ? C2 b ? ? ? Cr b ? ? ? Cn n a ? Cn a na na nb n? r r 二项展开式的通项公式:Tr ?1 ? C r b ( r ? 0,1??n) na

Cr n 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:
n? r (1)对称性:C r r ? 0,1, 2 ,??,n n ? Cn

?

?

1 n n (2)系数和:C0 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2

3 5 0 2 4 n?1 C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

?n ? 2 ;n为奇数时,( n ? 1) 为偶数,中间两项的二项式 ? ? 1? 项,二项式系数为C n ?2 ?
系数最大即第 n ?1 n ?1 项及第 ? 1项,其二项式系数为C n 2 ? C n 2 2 2
11

n

n ?1

n ?1

如:在二项式? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为

(用数字 表示)

(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第
r 11? r 由C11 x (?1) r ,∴取r ? 5即第6项系数为负值为最小:

12 ? 6或第 7 项 2

6 5 ?C11 ? ?C11 ? ?426

又如:?1 ? 2x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ?x ? R?,则

?a 0 ? a1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
(令x ? 0,得:a 0 ? 1
令x ? 1,得:a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1

(用数字作答)

∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 )
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

?

?

- 26 -

(1)必然事件?,P??) ? 1,不可能事件?,P(?) ? 0
(2)包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

(3)事件的和(并):A ? B或A ? B“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的 和
(并) 。

(4)事件的积(交):A·B或A ? B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件) : “A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A·B ? ?

(6)对立事件(互逆事件) :

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A A ? A ? ?,A ? A ? ?

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独 立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法:
- 27 -

分清所求的是: (1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
P( A ) ? A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

(2)若A、B互斥,则P?A ? B? ? P(A) ? P(B)
( 3)若A、B相互独立,则P A·B ? P?A ?·P? B?

?

?

(4)P(A) ? 1 ? P(A)
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k次的概率:Pn ( k) ? C k n p ?1 ? p? n? k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? ? P1 ? 24 ? ? C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件) ,∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
2 1 3 ∴m ? C2 3 ·4 6 ? 4

∴P3 ?

2 3 C2 44 3 ·4 ·6 ? 4 ? 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
5 2 3 ∴n ? A10 ,m ? C2 4 A5 A 6
2 3 C2 10 4A5 A 6 ? 5 21 A 10

∴P4 ?

分清(1) 、 (2)是组合问题, (3)是可重复排列问题, (4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时, 它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡

- 28 -

成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中 有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等 性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和 方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差?x max ? x min ?;
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 ? 小长方形的面积 ? 组距×
样本平均值:x ? 1 x 1 ? x 2 ? ?? ? x n n

频率 组距

?

?

样本方差:S 2 ?

1 ?x1 ? x?2 ? ?x 2 ? x?2 ? ?? ? ?x n ? x?2 n

?

?

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组 成此参赛队的概率为____________。
4 2 C10 C5 ( 6 ) C15

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |
(3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ?
? ?

?

?

?

?

a

| a|
(4 )零向量 0 ,| 0| ? 0

?

- 29 -

?长度相等 ? ? (5)相等的向量 ? ? a?b ?方向相同

在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
?

b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a

?

?

?

?

?

(7)向量的加、减法如图:

? ? ? OA ? OB ? OC ? ? ? OA ? OB ? BA
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
?

e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一
? ? ? ? ?

?

?

实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。 (9)向量的坐标表示

?

i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
? ? ? ?

?

?

a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标

- 30 -

表示。

设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1 ,x 2 ? y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ?
? ? ?

?

?

若A?x1,y1 ?,B?x 2 ,y 2 ?
? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ? | AB| ?

?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式
? ? ? ? ?

57. 平面向量的数量积

(1) a · b ?| a | ·| b|cos ?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。

?

?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,??
? b ?
B

?

?

O

? a
D A

数量积的几何意义:
?

a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos ?的乘积。

?

?

?

?

(2)数量积的运算法则

①a ·b ? b·a
? ? ? ?

?

?

?

?

②( a ? b ) c ? a · c ? b · c
? ?

?

?

?

③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2
注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ? a · ( b · c )
(3)重要性质:设 a ? ? x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ?
? ?

?

?

?

?

?

?

① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y1 ·y 2 ? 0
② a ∥ b ? a · b ?| a | ·| b| 或 a · b ? ?| a | ·| b|
? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定)
- 31 ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b| ?2 ? ? ? ? ?

?

④c o s ??
[练习]

a·b

? ?

| a | ·| b|

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x ? y1 · x2 2 ? y2 2 1

? ? ? ? ? ? (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则

| a ? b ? c| ?
答案: 2 2

?

?

?

(2)若向量 a ? ?x,1?, b ? ?4,x?,当x ?
答案:2

?

?

时 a 与 b 共线且方向相同

?

?

(3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么| a ? 3 b| ?
答案: 13 58. 线段的定比分点

?

?

?

?

设P1 ?x1,y1 ?,P2 ?x2 ,y2 ?,分点P?x,y?,设P1、P2 是直线 l 上两点,P点在
? ? l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 ?,使 P1 P ? ? PP2 ,则 ? 叫做P分有向线段

? P1 P2 所成的比(? ? 0,P在线段P1 P2 内,? ? 0,P在P1 P2 外),且

x ? ?x 2 x ? x2 ? ? x? 1 x? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? y ? ? y y ? 2 ?y ? 1 ?y ? 1 y 2 ? ? 1? ? 2 ? ?
如:?ABC,A?x1,y1 ?,B?x2 ,y2 ?,C?x3 ,y3 ?
y ? y2 ? y3 ? ? x ? x2 ? x3 则?ABC重心G的坐标是? 1 , 1 ? ? ? 3 3
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

- 32 -

线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面

线面平行的判定:

a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?

a b

??
线面平行的性质:

?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b
三垂线定理(及逆定理) :

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a ? 面?,则

a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
P

??
O a
线面垂直:

a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b ? c ? O ? a⊥?
a

α

b

O c

面面垂直:

a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥?

面?⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?

- 33 -

α

a

l
β

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b
面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?

a

b

??
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°

?=0o 时,b∥?或b ? ?

(3)二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?,0o ? ? ? 180o

- 34 -

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l, ∴∠AOB 为所求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。 [练习] (1)如图,OA 为α 的斜线 OB 为其在α 内射影,OC 为α 内过 O 点任一直线。

证明: cos ? ? cos ?· cos?
A

α B β ????????????????????????C? D O θ

(?为线面成角,∠AOC = ?,∠BOC = ?)
(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成 的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。

- 35 -

D1 A1 B1

C1

H G D A B C

3 6 (① arcsin ;②60o ;③ arcsin ) 4 3
(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。
P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC, P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点, 作 PF∥AB, 则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线??) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理 法,或者用等积转化法) 。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。

- 36 -

D A B

C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?

S 正棱锥侧 ?
V锥 ?

1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r ? R 2 ? d 2
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ 为纬度角,它是线面成角;α 为经度角,它是面面成角。

- 37 -

( 4 )S 球 ? 4 ?R 2 ,V球 ?

4 ?R 3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为 2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面 积 为
( )

A. 3?
答案:A

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

64. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k?
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)
斜截式:y ? kx ? b
截距式: x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)

(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?
(4 )l1 到l2 的到角公式: tan ? ? k 2 ? k1 1 ? k 1k 2

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

- 38 -

A 1 B2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1 C 2 ? A 2 C1 ?

k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立)

A1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2

k 1·k 2 ? ?1 ? l1⊥l2
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理” 。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? 相切;? ? 0 ? 相离
68. 分清圆锥曲线的定义
?椭圆 ? PF1 ? PF2 ? 2a, 2a ? 2c ? F1 F2 ? ? 第一定义 ?双曲线 ? PF1 ? PF2 ? 2a, 2a ? 2c ? F1 F2 ? ? ?抛物线 ? PF ? PK

第二定义:e ?

PF PK

?

c a

0 ? e ? 1 ? 椭圆;e ? 1 ? 双曲线;e ? 1 ? 抛物线

y b O F1 F2 a x

x?

a2 c

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a 2 b2

?a

2

? b2 ? c2

?

- 39 -

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0,b ? 0? a 2 b2

?c

2

? a 2 ? b2

?
e>1 P F k e=1 0<e<1

69. 与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有相同焦点的双曲线系为 ? ? ? ?? ? 0? a 2 b2 a 2 b2

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零? △≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。 )
弦长公式 P1 P2 ?

?1 ? k ???x
2

1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ?y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y 2 ? k ?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如:

?

?

- 40 -

y P(x0,y0) K

F1

O

F2

x

l
x2 y2 ? ?1 a 2 b2

PF2

? a2 ? ? e, PF2 ? e? x 0 ? ? ? ex 0 ? a PK c? ?

PF1 ? ex 0 ? a
y A P2

O P1

F

x

B

y 2 ? 2px?p ? 0?
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法” 。
如:椭圆mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连
线的斜率为 2 m ,则 的值为 2 n

答案:

m 2 ? n 2

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲 线 C 上任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。
(由a ? x ? x' y ? y' ,b ? ? x' ? 2a ? x,y' ? 2 b ? y) 2 2

- 41 -

只要证明A' ?2a ? x,2b ? y?也在曲线C上,即f (x') ? y'

?AA ' ⊥l (2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?AA ' 中点在 l 上
?k AA' ·k l ? ?1 ?? ?AA ' 中点坐标满足 l 方程

?x ? r cos ? 74. 圆x 2 ? y 2 ? r 2 的参数方程为? (?为参数) ?y ? r sin ?

椭圆

?x ? a cos ? x2 y2 ? 2 ? 1的参数方程为? (?为参数) 2 a b ?y ? b sin ?

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直 线,求出目标函数的最值。

- 42 -


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