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高中数学竞赛知识拓展


高中数学竞赛知识拓展
高斯函数,又称为取整函数,常用的性质有: x-1<[x]≤x<[x]+1 [x+n]=n+[x] {n+x}={x}(n∈Z) [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 等 与函数有关的几个重要结论 结论 1 设函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数 (1)若 f(x)在 R 上为单调函数,则|f(x1)|<|f(x2)

|<=>|x1|<|x2| (2)若 f(x)在 R 上为增函数,则|f(x1)|<f(x2)<=>|x1|<x2 (3)若 f(x)在 R 上为减函数,则|f(x1)|<f(x2)<=>|x1|<-x2 结论 2 设函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数 (1)若 f(x)在[0,+∞)上为增函数,则 f(x1)<f(x2)<=>|x1|<|x2| (2)若 f(x)在[0,+∞)上为减函数,则 f(x1)<f(x2)<=>|x1|>|x2| 奇、偶函数的概念可以推广: 定义 1 对于函数 f(x)(x∈R), 若存在常数 a, 使得其函数定义域内任意一个 x,都有 f(a-x)=f(a+x) 或 f(2a-x)=f(x) 则称 f(x)为广义(1)型偶函数。显然,当 a=0 时,f(x)为一般的偶函数。 对于函数 f(x)(x∈R),若存在常数 a,使得其函数定义域内任意一个 x,都有 f(a-x)=-f(a+x)或 f(2a-x)=-f(x) 则称 f(x)为广义(1)型奇函数。显然,当 a=0 时,f(x)为一般的奇函数。 定义 2 对于函数 f(x)(x ∈ R) ,若存在常数 a,b ,使得其函数定义域内任意一个 x ,都有 f(a-x)=f(b+x) 则称 f(x)为广义(2)型偶函数。显然,当 a=b 时,f(x)为广义(1)型偶函数;当 a=b=0 时, f(x)为一般的偶函数。 对于函数 f(x)(x∈R),若存在常数 a,b,使得其函数定义域内任意一个 x,都有 f(a-x)=-f(b+x) 则称 f(x)为广义(2)型奇函数。显然,当 a=b 时,f(x)为广义(1)型奇函数;当 a=b=0 时, f(x)为一般的奇函数 。 定义 3 对于函数 f(x)(x∈R),若存在常数 a,b,m,n(m>0,n>0),使得其定义域内任意一个 x,都 有 f(a-mx)=f(b+nx) 则称 f(x)为广义(3)型偶函数。显然,当 m=n=1 时,f(x)为广义(2)型偶函数;当 a=b=0, 且 m=n 时,f(x)为一般的偶函数。 对于函数 f(x)(x ∈ R) ,若存在常数 a,b,m,n(m>0,n>0) ,使得其定义域内任意一个 x ,都有 f(a-mx)=-f(b+nx) 则称 f(x)为广义(3)型奇函数。显然,当 m=n=1 时,f(x)为广义(2)型奇函数;当 a=b=0, 且 m=n 时,f(x)为一般的奇函数。

结论 3 设 f(x)为定义在 R 上的广义(2)型偶函数 (1)若 f(x)在[(a+b)/2,+∞)上为增函数,则 f(x1)<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2| (2)若 f(x)在[(a+b)/2,+∞)上为减函数,则 f(x1)<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|>|x2-(a+b)/2| 结论 4 设 f(x)为定义在 R 上的广义(2)型奇函数 (1)若 f(x)在 R 上为单调函数,则 |f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2| (2)若 f(x)在 R 上为增函数,则 |f(x1)|<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|<x2-(a+b)/2 (3)若 f(x)在 R 上为减函数,则 |f(x1)|<f(x2)<=>|x1-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2 结论 5 设 a,b 是两个相异的实数,则 (1)当 f(x)关于 a,b 均为广义(1)型偶函数时,f(x)为周期函数,且 2|b-a|为其一个正周期 (2)当 f(x)关于 a,b 均为广义(1)型奇函数时,f(x)为周期函数,且 2|b-a|为其一个正周期 (1)当 f(x)关于 a,b,一个为广义(1)型奇函数,一个为广义(1)型偶函数时,f(x)为周期 函数,且 4|b-a|为其一个正周期 结论 6 设 f(x)为定义在 R 上的函数,对任意 x∈R,恒有 (1)f(a-x)=f(b-x)(或 f(a+x)=f(b+x))(a≠b)成立,则 f(x)为周期函数,且|b-a|为其一正周期 (2)f(a+x)=-f(b+x)(或 f(a-x)=-f(b-x))(a≠b)成立,则 f(x)为周期函数,且 2|b-a|为其一正周期 (3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)(a≠0)成立,则 f(x)为周期函数,且 6|a|为其一正周期 结论 7 对于实数 ai,bi,mi,ni(n=1,2),且 m1m2=n1n2,m1(a2-b1)≠n1(a1-b2),若对于定义在 R 上 的函数 f(x),且对于任意 x∈R,有 (1)f(ai-mix)=f(bi+nxi)(i=1,2),则 f(x)为周期函数,且|(a2-b1)+m2(b2-a1)/n2|为其一正周期 (2)f(ai-mix)=-f(bi+nxi)(i=1,2),则 f(x)为周期函数,且|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|为其一正周期 (3)f(a1-m1x)=f(b1+n1x),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),则 f(x)为周期函数,且 2|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1| 为其一正周期 结论 8 设 T 为非零常数,若对于函数定义域内的任意 x,恒有 f(x+T)=M[f(x)],其中 M(x)满足 M[M(x)]=x,且 M(x)≠x,则 f(x)为周期函数,且 2T 为其一个周期。 以上结论 3~8 均由周期函数的定义即可推证 我们知道,对于奇函数,其图像关于原点(0,0)成中心对称;对于偶函数,其图像关于 y 轴(x=0)成轴对称。一般地,我们有 结论 9 函数 f(x)定义在 R 上,对于定义域内任意一实数 x,都有 f(a+x)+f(b-x)=c 成立的充要条件是函数 f(x)的图像关于点((a+b)/2,c/2)成中心对称。

结论 10 函数 f(x)定义在 R 上,对于定义域内任一实数 x,都有 f(a+x)-f(b-x)=0 成立的充要条件是函数 f(x)的图像关于直线 x=(a+b)/2 成轴对称。 ※※第一讲 函数 练习※※ 1.求函数 y=x+√(x^2-3x+2)的值域。[1,3/2)∪[2,+∞) 2.f(x)和 g(x)的定义域都是 R, f(x)是偶函数, g(x)是奇函数, 且 f(x)+g(x)=1/(x^-x+1), 那么 f(x)/g(x) 的取值范围为?x>0 时,f(x)/g(x)≥2;x<0 时,f(x)/g(x)≤-2 3.(1)已知定义在实数集上的奇函数 f(x)始终满足 f(x+2)=-f(x),且当 0≤x≤1 时,f(x)=x,求 f(15/2)的值。-1/2 (2)函数 f(x)=(9^x-1)/3^(x+1)-√(1-x^2)/(|x+2|-2)+1,已知 f(a)=√3,求 f(-a)的值(|a|<1)。 2-√3 4.f(x)是定义在 R 上的函数, 对任意实数 x, 都有 f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2, 若 f(998)=1002, 求 f(2000)的值。2004 5.已知二次函数 f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)。 (1) f(-1)=0,(2)对任意 x∈R,x≤f(x)≤(x^2+1)/2, 那么 a=?b=?c=?1/4,1/2,1/4 6.若函数 f(x)=-x^2/2+13/2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]。[1,3]或[-2-√ 17,13/4] 7.已知 1/3≤a≤1, 若 f(x)=ax^2-2x+1 在[1,3]上最大值为 M(a), 最小值为 N(a), 令 g(a)=M(a)-N(a)。 (1)求 g(a)的函数表达式 g(a)=a+1/a-2,a∈[1/3,1/2]或 g(a)=9a+1/a-6,a∈(1/2,1](2)判断函 数 g(a)的单调性,并求出 g(a)的最小值 [1/3,1/2]上单减,[1/2,1]上单增,g(a)min=1/2 8.对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点,已知函数 f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)。 (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点 (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围 (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)的图像上 A,B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且 A,B 两 点关于直线 y=kx+1/(2a^2+1)对称,求 b 的最小值 9.函数 f(x)定义在实数域上, 且满足下列条件: 对任何实数 x, 有 f(2+x)=f(2-x), 且 f(7+x)=f(7-x)。 若 x=0 是方程 f(x)=0 的一个根,问方程 f(x)=0 在区间-1000≤x≤1000 中至少应有几个根? 10.设函数 f(x)对所有 x>0 有定义,且满足: (1)函数 f(x)在(0,+∞)上严格递增;(2)对所有 x>0 均有 f(x)>-1/x; (3)对所有 x>0 均有 f(x)?f[f(x)+1/x]=1,求函数值 f(1)。 11.已知实数 x 不是整数,且 x+99/x=[x]+99/[x],求 x 的值 12. 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 与任意的 a ∈ [0, π /2] 恒有 (x+3+2sin α cos

α )^2+(x+asinα +acosα )^2≤1/8 13.求函数 f(x)=x(1-x)/(x+1)(x+2)(2x+1),x∈(0,1]的最大值。 14.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a,b∈R,满足 f(ab)=af(b)+bf(a)。 (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)奇偶性,并证明; (3)f(2)=2,an=f[2^(-n)]/n (n∈N*),求 数列{an}的前 n 项和 Sn。 15.设函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称,对任意 x1,x2∈[0,1/2] 都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且 f(1)=a>0。 (1)求 f(1/2),f(1/4); (2)求证 f(x)是周期函数; (3) 记 an=f(2n+1/2n),求 lim(n→∞)(lnan)。 16.实数 a,b,c 和正数λ 使得 f(x)=x^3+ax^2+bx+c 有三个实数根 x1,x2,x3,且满足(1)x2-x1= λ ; (2)x3>(x1+x2)/2。求(2a^3+27c-9ab)/λ ^3 的最大值。 ※※第一讲 函数※※ 结束 ※※第二讲 方程(组)※※ 在处理方程(组)问题中,常常应用到如下结论: 结论 1 (韦达定理)若复系数一元 n 次方程 anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0=0(an≠0)的 n 个 复数根是 x1,x2,...,xn,则 x1+x2+...+xn=-a(n-1)/an x1x2+...+x1xn+x2x3+...+x2xn+...+x(n-1)xn=(-1)^2?a(n-2)/an ... x1x2...xn=(-1)^n?a0/an 结论 2 设实系数一元二次方程为 ax^2+bx+c=0(a≠0).若Δ =b^2-4ac<0,则方程无实根;若Δ =b^2-4ac=0,则方程有相同两实根;若Δ =b^2-4ac>0,则方程有两相异实根。 结论 3 设函数 f(x)是严格单调的, (1)且 x∈R,a,b 为实常数,则方程 f(x)=f(ax+b)与 ax+b=x(a≠0)同解; (2)且 x∈R,a,b,c 为实常数,则方程 f(x)=f(ax^2+bx+c)与 ax^2+(b-1)x+c=0(a≠0)同解; (3)且 x∈R,g(x)和 h(x)是实值函数,则方程 f[g(x)]=f[h(x)]与 g(x)=h(x)同解; (4)且 x∈R,g(x)是实值函数,则方程 f[g(x)]=f(x)与 g(x)=x 同解. ※※第二讲 方程(组)※※ 结束 ※※第三讲 数列与数学归纳法※※ 特殊数列求和主要应掌握以下几种方法: (1)直接求和法:直接运用等差数列或等比数列的前 n 项和的公式来求和 (2)转化求和法:对于既非等差,又非等比数列的求和,经常通过拆、并、减、倒序相加、 错位相减等方法,将非等差(比)数列转化为等差(比)数列来求前 n 项的和 (3)拆项求和法:如果一个数列的每一项都可化为几项的差,而前一项的减数与后一项的

被减数相同,或前一项的被减数与后一项的减数相同,则相加时,中间项全部抵消为零,即 可求出前 n 项的和 (4)递推求和法:利用二项式定理及前 n 个正整数的较低次幂的和的公式来求数列前 n 项 的和 在求数列的前 n 项和的时候,应熟记以下公式: ∑i=n(n+1)/2 ∑i^2=n(n+1)(2n+1)/6 ∑i^3=[n(n+1)/2]^2 C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n C(m,m)+C(m+1,m)+...+C(n,m)=C(n+1,m+1) (n≥m,n,m∈N*) 递归数列的基础知识 (1)数列{an}的相邻若干项的关系成为递推关系,由递推关系和初始值所确定的数列叫做 递归数列 等差数列和等比数列可以看作特殊的递推数列: an=a(n-1)+d(n≥2),an=a(n-1)?q(n≥2) 对于一个递归数列,如果我们知道了它的通项,那么就可以从整体上认识和把握该数列,因 此,求递归数列的通项公式是递归数列的基本问题。 (2)由递推关系求通项公式 由于递归数列的种类繁多, 多数情况下没有求解通项公式的现成方法。 求一般递归数列的通 项公式,基本思想仍是通过变形、代换等手段把问题转化为求等差、等比数列的通项公式, 或者通过试验猜想出一个通项公式, 然后证明其正确性。 由递推关系求通项公式的常用方法 有:累加法,迭代法,代换法,代入法,不动点法,特征方程法等。 数学归纳法 (1)数学归纳法的基本形式 第一数学归纳法:设 P(n)是一个与正整数 n 有关的命题,如果①当 n=n0(n0∈N*)时,P(n)成 立;②假设 n=k(k≥n0,k∈N*)成立,由此推得 n=k+1 时,P(n)也成立,那么,根据①②对一 切正整数 n≥n0 时,P(n)成立。 第二数学归纳法:设 P(n)是一个与正整数 n 有关的命题,如果①当 n=n0(n0∈N*)时,P(n)成 立;②假设 n≤k(k≥n0,k∈N*)成立,由此推得 n=k+1 时,P(n)也成立,那么,根据①②对一 切正整数 n≤n0 时,P(n)成立。 跳跃数学归纳法:①当 n=1,2,3,...,l 时,P(1),P(2),...,P(l)成立。②假设 n=k 时,P(n)成立,由此 推得 n=k+l 时,P(n)也成立,那么,根据①②对一切正整数 n≥1 时,P(n)成立。 反向数学归纳法:设 P(n)是一个与正整数 n 有关的命题,如果①P(n)对无限多个正整数 n 成 立;②假设 n=k 时,命题 P(n)成立,则当 n=k-l 时,命题 P(n)也成立,那么根据①②对一切 正整数 n≥1 时,P(n)成立。 (2)应用数学归纳法的技巧

起点前移:有些命题对一切大于等于 1 的正整数 n 都成立,但命题本身对 n=0 也成立,而 且验证起来比验证 n=1 时容易,因此用验证 n=0 成立代替验证 n=1;同理,其他起点也可以 前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以。因而为了便于起步,有意前移起点。 起点增多:有些命题在由 n=k 向 n=k+1 跨进时,需要经其他特殊情形作为基础,此时往往需 要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点。 加大跨度: 有些命题为了减少归纳中的困难, 适当可以改变跨度, 但注意起点也应相应增多。 选择合适的假设方式:归纳假设不一定要拘泥于“假设 n=k 时命题成立” ,而需要根据题意 采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用。 变换命题:有些命题在用数学归纳法证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者需要改 变命题(即将命题一般化或加强) ,才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明。 (3)归纳-猜想-证明 在数学中,通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的,这种由 个别事实得出一般性结论的不严格的推理方法称为不完全归纳法。 不完全归纳法是发现规律、 解决问题的极好方法。但不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其正确与否,必须进 一步检验或证明。我们经常采用数学归纳法来证明这种猜想。 ※※第三讲 数列与数学归纳法※※结束 ※※第四讲 不等式※※ 常见不等式的解法 (1)高次不等式 设 f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an),其中 a1<a2<...<an 当 n 为偶数时,f(x)>0 的解为(an,+∞)∪(a(n-2),a(n-1))∪(a(n-4),a(n-3))∪...∪(a2,a3)∪(-∞,a1), 而 f(x)<0 的解为(a(n-1),an)∪(a(n-3),a(n-2))∪...∪(a1,a2) 当 n 为奇数时,f(x)>0 的解为(an,+∞)∪(a(n-2),a(n-1))∪(a(n-4),a(n-3))∪...∪(a2,a1),而 f(x)<0 的解为(a(n-1),an)∪(a(n-3),a(n-2))∪...∪(-∞,a1) (2)分式不等式 f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0 f(x)/g(x)≤0<=>f(x)g(x)≤0,g(x)≠0 (3)无理不等式 √f(x)≥g(x)=f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)≥g(x)^2 或 f(x)≥0,g(x)≤0 √f(x)<g(x)<=>f(x)≥0,g(x)>0,f(x)<g(x)^2 (4)绝对值不等式 |f(x)|≤g(x)<=>-g(x)≤f(x)≤g(x) |f(x)|>g(x)<=>f(x)<-g(x)或 f(x)>g(x)

(5)指数、对数不等式 a>1 时,a^f(x)>a^g(x)<=>f(x)>g(x) 0<a<1 时,a^f(x)>a^g(x)<=>f(x)<g(x) a>1 时,logaf(x)>logag(x)<=>f(x)>g(x)>0 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)<=>0<f(x)<g(x) 几个重要的著名不等式 (1)平均值不等式 设 a1,a2,...,an 是 n 个 正 实 数 , 记 A=(a1+a2+...+an)/n,G=(a1a2...an)^(1/n),H=n/(1/a1+1/a2+...+1/an),Dr=[(a1^r+a2^r+...+an^r)/n]^( 1/r) (r≠0),(a1a2...an)^(1/n) (r=0) 它们分别称为这 n 个正数的算术平均、几何平均、调和平均及 r 次幂平均,则有下列平均值 不等式成立: (i)H≤G≤A,等号成立当且仅当 a1=a2=...=an (ii)当 s<r 时,Ds≤Dr,等号成立当且仅当 a1=a2=...=an 注意不等式(i)仅是(ii)的特殊情形:D(-1)≤D0≤D1 (2)柯西(Cauchy)不等式 设 a1,a2,...,an 及 b1,b2,...,bn 为实数,则(∑aibi)^2≤∑ai^2∑bi^2,等号成立当且仅当存在常 数λ ,μ (不全为零)使λ ai=μ bi(i=1,2,...,n)。当 ai,bi 都不为零时,等号成立的充要条件可 写为 a1/b1=a2/b2=...=an/bn (3)赫尔德(Holder)不等式 设 a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn 为正实数, p,q 为正实数且 1/p+1/q=1, 则得∑aibi≤(∑ai^p)^(1/p)(∑ bi^q)^(1/q) ①,等号成立当且仅当 a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=...=an^p/bn^q 在①中令 xi=abi,yi=bi^q(i=1,2,...,n),p=α +1(α ≥0),即α =p-1=p/q,则①可等价地写为:当α ≥ 0 时,有∑ [xi^( α +1)/yi^ α ] ≥ ( ∑ xi)^( α +1)/( ∑ yi)^ α ② 并且②中等号成立当且仅当 x1/y1=x2/y2=...=xn/yn 不等式①叫做赫尔德不等式,它的等价形式②我们称为权方和不等式 (4)排序不等式 给定实数 a1≤a2≤...≤an 和 b1≤b2≤...≤bn,设 i1,i2,...,in 是 1,2,...,n 的任意排列,则 a1bn+a2b(n-1)+...+anb1 ≤ a1bi1+a2bi2+...+anbin ≤ a1b2+a2b2+...+anbn, 等 号 成 立 当 且 仅 当 a1=a2=...=an 或 b1=b2=...=bn (5)切比雪夫不等式 若 a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn,则∑aibi≥1/n?(∑ai)(∑bi);若 a1≤a2≤...≤an,b1≤b2 ≤...≤bn,则∑aibi≤1/n?(∑ai)(∑bi),等号成立当且仅当 a1=a2=...=an 或 b1=b2=...=bn (6)伯努力(Bernoulli)不等式 设 x>-1,则当 0<α <1 时,有(1+x)^α ≤1+α x;当α <0 或α >1 时,有(1+x)^α ≥1+α x;等号称 里当且仅当 x=0 (7)凸函数不等式

(i)定义:设 f(x)是定义在区间 I 上的函数,故对任意 x1,x2∈I(x1≠x2)及任意实数α (0<α <1), 有 f(α x1+(1-α )x2)<(>)α 1f(x1)+α 2f(x2),则成 f(x)为区间 I 上的严格下(上)凸函数 (ii)凸函数的判定:如果对任意的 x∈I,有 f''(x)>0(<0),则 f(x)是区间 I 上的下(上)凸函数 (iii)琴生(Jensen)不等式:设 f(x)为区间 I 上的严格下(上)凸函数,则对任意 x1,x2,...,xn∈I 以及任意正实数α 1,α 2,...,α n(α 1+α 2+...+α n=1)有 f(∑aixi)≤(≥)∑aif(xi), 等号成立当且仅 当 x1=x2=...=xn ※※第四讲 不等式※※结束 ※※第五讲 三角函数※※ 三角函数的性质 (1)有界性 对任意角α ,都有|sinα |≤1,|cosα |≤1,这一性质称为正、余弦函数的有界性。竞赛解题 中还常常用到 1±sinα ≥0,|Asinα +Bcosα |≤√(A^2+B^2)等式子 (2)奇偶性与对称性 正弦函数、正切函数和余切函数都是奇函数,从而它们的图像关于原点对称,并且 y=sinx 的图像还关于 x=kπ +π /2,k∈Z 对称 (3)单调性 利用三角函数的图像可以写出三角函数的单调区间。例如,y=sinx 在区间[2kπ -π /2,2kπ + π /2]上单调递增,而在区间[2kπ +π /2,2kπ +3π /2](k∈Z)上单调递减;y=cosx 在[2kπ +π ,2k π +2π ]上单调递增,而在区间[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)上单调递减 三角函数的单调性是解决三角不等式、求三角函数最值的重要依据 (4)周期性 三角函数都是周期函数, 并且都有最小正周期。 对于一般表达式, y=Asin(ω x+φ ), y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 2π /|ω |;y=Atan(ω x+φ ),y=Acot(ω x+φ )的最小正周期为π /|ω | (5)其他性质 若 0<x<π /2,则 sinx<x<tanx; 这个性质揭示了锐角 x 的弧度数与 sinx,tanx 之间的关系, 利用它可以解决一些混合不等式问 题 y=sinx/x 在(0,π /2)上是减函数; y=tanx/x 在(0,π /2)上是增函数; 三角函数在其定义域内的不同的区间上呈现上凸或下凸的性质 三角变换 三角变换(或三角恒等变形)是重要的代表式变形,变形过程中,不仅需要熟练地掌握各种 三角公式的应用条件和把握应用时机, 还需要有一种驾驶和处理复杂三角式的化归意识与能 力。 常见的三角变换包括:角变换、函数名称变换、常数变换、公式变换及幂变换等等。 反三角函数与三角方程

(1)反三角函数式的三角运算 (2)三角函数式的反三角运算 (3)反三角函数式间的恒等式 (4)三角方程与三角不等式的解法 解三角方程与不等式,应始终抓住“将方程或不等式转化为最基本的三角方程或不等式”这 一想法,即转化为 sinx=α 或 sinx≤α ,cosx=α 或 cosx≤α 的形式。 在处理三角方程及反三角方程问题时,需要检验。 三角函数具有一系列优美的性质:有界性、奇偶性、周期性以及在一些区间上的单调性。因 而,三角内容有其特有的作用,它与其他相关知识有着密切的内在联系,它体现数学重要思 想方法的重要内容,也是解决相关问题或实际问题的重要工具(三角代换或三角法) 。 求解三角问题一般是通过三角函数 (或反三角函数) 恒等变形来完成, 这种方法是最基本的, 也是很重要的。有些三角问题,除了常规方法外,还可根据题目所提供的信息,通过观察、 联想,采用处理代数问题的各种技巧,如配凑、构造、代换等。 ※※第五讲 三角函数※※结束 ※※第六讲 向量※※ 向量的基础知识和有关性质,可以用来处理函数、不等式、三角、平面几何、立体几何、解 析几何等各学科的问题, 因而向量是中学数学中的一个重要工具。 利用向量知识及性质处理 问题的特点是数形结合,运算有法可循,因此,向量法既有综合法的灵巧,又有坐标法的方 便,能把综合法与坐标法有机地结合在一起。 为了便于应用向量方法,掌握下述结论是必要的。 结论 1(平面向量的基本定理)如果 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任意向量α ,有且只有一组实数λ 1,λ 2,使得α =λ 1e1+λ 2e2 特别地,若记 OA 向量=e1,OB 向量=e2,OC=α ,则有 OC 向量=λ 1OA 向量+λ 2OB 向量 结论 2 若 OC 向量=λ 1OA 向量+λ 2OB 向量(λ 1,λ 2∈R) ,则 A,B,C 三点共线的充要条件是 λ 1+λ 2=1 特别地,若记 OA 向量=a,OB 向量=b,OC 向量=c,则 A,B,C 三点共线的充要条件是:有不 全为 0 的实数 l,m,n,使得 la+mb+nc=0,且 l+m+n=0 若 A,B,C 三点共线,且 AC 向量=λ CB 向量,O 为任意一点,则有 OC 向量=(OA+λ OB)/(1+λ ) 结论 3 对于向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a‖b<=>a=λ b 或 a×b=0 或 x1y2-x2y1=0 (2)a⊥b<=>a?b=0 或|a×b|=|a|?|b|或 x1x2+y1y2=0 (3) a?b=|a|?|b|?cos(a,b),a?b=|a|?|b|?sin(a,b),其中(a,b)表示向量 a 和 b 之间正方向的夹角 结论 4 设 a,b 为两向量,则 a?b≤|a|?|b|,|a?b|≤|a|?|b| 结论 5 (空间向量的基本定理)如果 e1,e2,e3 是空间中三个不共面的向量,那么对于空间 中任一向量α ,有且只有一组实数λ 1,λ 2,λ 3,使得α =λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3 平面向量的结论 2,3,4 等均可以推广到空间向量中去 结论 6 平面上点 P 到直线 l 的距离

d(P,l)=|PA?n|/|n|,当 A∈l,n⊥l 时;|PA×v|/|v|,当 A∈l,v‖l 时;|PA×PB|/|AB|,当 A,B ∈l 时 ※※第六讲 向量※※结束 ※※第七讲 立体几何※※ 数学竞赛中的立体几何问题,主要涉及角(包括异面直线所成的角、线面角、面面角即二面 角) 、求距离(点点距、点线距、点面距、异面直线之间的距离、平行的线线距、平行的线 面距、平行的面面距) 、求面积(侧面、截面、全面积)与体积,以及位置关系的判定等。 高中联赛中主要以选择题、填空题以及求解角、距、积的形式出现。求解这些问题常常需要 熟悉一些特殊几何体(如正方体、四面体、平行六面体、球体、锥体、柱体,以及从正方体 或四面体截割下的某特殊几何体或补形成特殊几何体)的性质以及下述的一些结论: 结论 1 (1)两条异面直线分别与它们的公垂线所确定的两个平面所成的二面角等于这两条 异面直线所成的角。 (2)线段 AB 的两端在直二面角 M-CD-N 内,并且与两个面所成的角为α 和β ,异面直线 AB 与 CD 所成角为θ ,则(sinθ )^2=(sinα )^2+(sinβ )^2 结论 2 (1)若 A,B 是异面直线 a,b 上的两点,EF 是公垂线段,点 E 在 a 上,点 F 在 b 上, 且 AE=m,BF=n,则异面直线 a 和 b 所成的角θ 满足 cosθ =|(EF^2+m^2+n^2-AB^2)/2mn| (2)若 A,B 是异面直线 a,b 上的两点,EF 是公垂线段,则异面直线 AB 和 EF 所成的角ψ 满 足 cosψ =EF/AB 结论 3 (1)长度为 l 的线段与其射影线段的长 l0 有如下关系:l0=lcosθ ,其中θ 为线段与 其射影所成的夹角 (2) 长度为 l 的线段在其共面的两相互垂直的直线上的射影长分别为 l1,l2, 则 l^2=l1^2+l2^2 ( 3 )长度为 l 的线段,与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1,l2,l3 ,则 l^2=l1^2+l2^2+l3^2 结论 4 (1)面积为 S 的多边形与其射影面的面积 S0 有如下关系:S0=S?cosθ ,其中θ 为多 边形所在平面与其射影面所成二面角的大小 ( 2 )面积为 S 的多边形在三个两两互相垂直的平面上的射影面积分别为 S1,S2,S3 ,则 S^2=S1^2+S2^2+S3^2 (3)若台体各侧面与底面所成的二面角均为θ ,则 S 下-S 上=S 侧?cosθ 。特别地,当 S 上=0 时为锥体情形 结论 5 在三棱锥 V-ABC,VC⊥底面 ABC,设二面角 V-AB-C 的大小为ψ ,记∠VAC=θ 1(此三 棱锥可视为长方体中截得的几何体) (1)若∠ACB=90°,记∠VBC=θ 3,则(tanψ )^2=(tanθ 1)^2+(tanθ 3)^2 (2)若∠AVB=90°,记∠VBC=θ 3,则(sinψ )^2=(sinθ 1)^2+(sinθ 3)^2 (3)记∠VAB=θ ,则 sinψ =sinθ 1/sinθ (4) 记∠VAB=θ , ∠BAC=θ 2, 则 cosψ =tanθ 2/tanθ , 且有 cosθ =cosθ 1?cosθ 2,tanψ =tan θ 1/sinθ 2,还有 cosψ =(cosθ 1-cosθ ?cosθ 2)/sinθ ?sinθ 2 结论 6 在三棱锥 V-ABC 中,二面角 V-AB-C 的大小为ψ ,∠VAC=θ 1,∠BAC=θ 2,∠VAB=θ ,

则 cosψ =(cosθ 1-cosθ ?cosθ 2)/sinθ ?sinθ 2 ※※第七讲 立体几何※※ 结束 ※※第八讲 直线与圆的方程※※ 1.两点间的距离公式 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] 2.线段的定比分点坐标公式 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),点 P(x,y)分 P1P2 的比为 P1P/PP2=λ ,则 x=(x1+λ x2)/(1+λ ),y=(y1+λ y2)/(1+λ ) (λ ≠1) 3.直线方程的各种形式 (1)点斜式:y-y0=k(x-x0) (2)斜截式:y=kx+b (3)两点式:(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (4)截距式:x/a+y/b=1(a≠0,b≠0) (5)参数方程:x=x0+tcosα ,y=y0+tsinα (t 为参数,α 为倾斜角,|t|表示点(x,y)与(x0,y0)之 间的距离) (6)一般式:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0) 4.两直线的位置关系 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(或 l1:y=k1x+b,l2:y=k2x+b),则 (1)l1‖l2<=>A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0,B1C2-B2C1≠0(k1=k2 且 b1≠b2) (2)l1⊥l2<=>A1B2+A2B1=0(k1k2=-1) 5.两直线的夹角 设两直线的斜率为 k1,k2,夹角为θ ,则 tanθ =(k2-k1)/(1+k1k2) 6.点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) 7.过两直线交点的直线系方程 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 相交,那么过 l1 与 l2 的交点的直线系方程 为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线 l2) 8.圆的方程 (1)标准方程:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,其中(a,b)为圆心坐标,R 为圆半径 ( 2 )一般方程: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 ,其中 D^2+E^2-4F>0 ,圆心为 (-D/2,-E/2) ,半径为√ (D^2+E^2-4F)/2 9.圆的切线方程 过 圆 x^2+y^2=R^2(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0) 上 一 点 x0x+y0y=R^2(x0x+y0y+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0)/2]+F=0)

P0(x0,y0) 的 切 线 方 程 是

10.圆系方程 (1)两圆的根轴 设 圆 C1:x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0(D1^2+E1^2-4F1>0), 圆 C2:x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0(D2^2+E2^2-4F2>0),则直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 称为圆 C1 与 C2 的根轴。根轴与两圆的连心线垂直,且根轴上任意一点向两圆所引切线长相等。当两 圆相交(切)时,根轴必过两圆的交点(切点) 。 (2)与圆 C1 和 C2 同根轴的圆系方程 x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ (x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0,记为 C1+λ C2=0,λ 为待定系数(不包括圆 C2) 11.圆的参数方程 圆心为(a,b),半径为 R 的圆的参数方程为 x=a+Rcosθ ,y=b+Rsinθ (θ 为参数) 12.切点弦方程 从圆 C:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 外一点 P(m,n)向圆 C 引两条切线 PM1,PM2(M1,M2 为切点),则过 切点的弦 M1M2 的直线方程为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=R^2. 事实上设 Mi(xi,yi)(i=1,2),则过 Mi(xi,yi)的切线方程为(xi-a)(x-a)+(yi-b)(y-b)=R^2(i=1,2) 而 P(m,n)在切线上,故(xi-a)(m-a)+(yi-b)(n-b)=R^2(i=1,2),即点 M1(x1,y1),M2(x2,y2)的坐标满足 方程(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=R^2。这就是过 M1,M2 的切点弦方程。 ※※第八讲 直线与圆的方程※※ 结束 ※※第九讲 圆锥曲线※※ 1.椭圆 (1)椭圆的定义 第一定义:平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和为常数 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 其中 F1,F2 为椭圆的两个焦点,|F1F2|为焦距。 第二定义:平面内到一定点 F 和一条定直线 L 的距离之比为常数 e(0<e<1)的动点轨迹叫做椭 圆。其中定点 F 是椭圆的焦点,定直线 L 为相应准线。 (2)椭圆的标准方程 标准方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。根据标准方程可以清楚地了解椭圆的一系列数据及 信息:对称轴、对称中心、长轴、短轴、焦距、离心率、准线、方程、顶点坐标、焦点坐标 以及取值范围等。 (3)椭圆的参数方程 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的参数方程为 x=acosθ ,y=bsinθ (θ 为参数) 2.双曲线 (1)双曲线的定义 第一定义: 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线。其中 F1,F2 为双曲线的两个焦点,|F1F2|为焦距。 第二定义:平面内到一定点 F 和一条定直线 L 的距离之比为常数 e(e>1)的动点轨迹叫做双曲 线。其中定点 F 是双曲线的焦点,定直线 L 为相应准线。 (2)双曲线的标准方程

标准方程:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)。根据标准方程可以清楚地了解双曲线的各种数据及 信息:对称轴、虚轴、焦距、离心率、准线方程、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程、取值 范围等。 (3)双曲线的参数方程 双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的参数方程为 x=asecθ ,y=btanθ (θ 为参数) 3.抛物线 (1)抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。 其中定点 F 是抛物线 的焦点,定直线 L 为准线 (2)抛物线的标准方程 标准方程:y^2=2px(p>0)。根据标准方程可以清楚地了解抛物线的各种数据及信息:对称轴、 离心率、准线方程、顶点、焦点坐标、取值范围等。 (3)抛物线的参数方程 抛物线 y^2=2px(p>0)的参数方程为 x=2pt^2,y=2pt(t 为参数) 4.圆锥曲线 (1)椭圆、双曲线、抛物线的统一定义及极坐标方程 平面内到定点的距离到定直线距离之比为常数 e 的动点轨迹叫做圆锥曲线。 当 e>1 时, 轨迹 表示双曲线;当 e=1 时,轨迹表示抛物线;当 e<1 时,轨迹表示椭圆。定点是焦点,定直线 是一条准线,圆锥曲线的统一极坐标方程为ρ =ep/(1-ecosθ ),e 为离心率,p 为焦点到相应 准线的距离,极点是焦点,以焦点向准线作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系。 (2)共交点的二次曲线系 过两条已知二次曲线 Ci:Aix^2+Biy^2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2) 的交点的二次曲线系方程是 C1+ λ C2=0(不包括曲线 C2) ※※第九讲 圆锥曲线※※结束 ※※第十讲 导数※※ 1.导数的概念 如果函数 y=f(x)在 x0 处的增量Δ y 与自变量的增量Δ x 的比值Δ y/Δ x,当Δ x→0 时的极限 lim(Δ x→0)Δ y/Δ x=lim(Δ x→0)[f(x0+Δ x)-f(x0)]/Δ x 存在, 则称 f(x)在点 x0 处可导, 并称此极 限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,记为 f'(x0)或 y'|x=x0 2.导函数 函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点的导数都存在,就说 f(x)在区间(a,b)内可导,其导数也是(a,b) 内的函数,又叫 f(x)的导函数,记作 f'(x)或 y' 函数 f(x)的导函数 f'(x)在 x=x0 时的函数值 f'(x0),就是 f(x)在 x0 处的导数。 3.导数的几何意义 (1) 设函数 y=f(x)在点 x0 处可导, 那么它在该点点导数等于函数所表示曲线在相应点 M(x0,y0) 处切线的斜率 (2)设 s=s(t)是位移函数,则 s'(t0)表示物体在 t=t0 时刻的瞬时速度 (3)设 v=v(t)是速度函数,则 v'(t0)表示物体在 t=t0 时刻的加速度

4.几种常用的函数的导数 (1)c'=0(c 为常数) (2)(x^m)'=mx^(m-1)(m∈Q) (3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx (5)(e^x)'=e^x (6)(a^x)'=a^xlna (7)(lnx)'=1/x (8)(logax)'=1/xlna 5.两个函数的四则运算的导数 若 u(x),v(x)的导数都存在,则 (1)和(差)的导数(u±v)'=u'±v' (2)积的导数(uv)'=u'v+uv' (3)商的导数(u/v)'=[(u'v-uv')/v^2](v≠0) ※※第十讲 导数※※结束 ※※第十一讲 排列与组合※※ 1.加法原理和乘法原理 如果完成一件事情的方法可分为 n 个互不相交的类,且第一类中有 m1 种方法,第二类中有 m2 种方法,...,第 n 类中有 mn 中方法,那么完成这件事一共有 m1+m2+...+mn 种方法。这就 是加法原理,简称分类相加。 如果完成一件事情要分 n 步,且第一步有 m1 种方法,第二步有 m2 种方法,...,第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事一共有 m1m2...mn 种方法。这就是乘法原理,简称分步相乘。 2.无重复的排列与组合 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m( ≤ n) 个 不 同 元 素 排 成 一 列 , 其 排 列 数 为 A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n!/(n-m)!(约定 0!=1) 特别 m=n,就得到 n 个不同元素的全排列数公式 A(n,n)=n(n-1)(n-2)...1=n! 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m( ≤ n) 个 不 同 元 素 排 成 一 组 , 其 组 合 数 为 C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n(n-1)...(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)! 3.可重复的排列与组合 从 n 个不同元素中任取 m(≥1)个元素(可重复取相同元素)排成一列,其排列数为 n^m(选 第 1 位元素有 n 种方法,选定第一位元素后,选第 2 位元素仍有 n 种方法,...,最后选第 m 位元素也有 n 种方法,由乘法原理知一共有 n^m 种方法) 。 设 n 个元素由 k 个不同元素 a1,a2,...,ak 组成, 其中 a1 有 n1 个, a2 有 n2 个, ...,ak 有 nk 个, 那么这 n 个元素排成一列的方法数为 n!/n1!n2!...nk!。 事实上,若 n 个元素互不相同,则全排列数位 n!种,但其中 ni 个 ai 任意交换顺序(有 ni! 种交换顺序的方法)得到的是同一排列(i=1,2,...,k),故不同的排列个数为 n!/n1!n2!...nk!。

从 n 个不同元素中任取 m( ≥ 1) 个元素(可以取相同元素)并成一组,其不同组合数为 C(n+m-1,m)。 事实上不妨设 n 个不同元素为 1,2,...,n,取出的 m 个元素为(1≤)a1≤a2≤...≤am(≤n)(因 允许重复,符号可以成立) , 于 是 (1 ≤ )a1+0<a2+1<...<am+m-1( ≤ n) , 将 (a1,a2,...,am) 与 (a1+0,a2+1,...,am+m-1) 对应,这个对应是一一对应,故所求组合数等于从 1,2,...,n+m-1 这 n+m-1 个不同元素中取 m 个不同元素(a1+0,a2+1,...,am+m-1)的组合数,即 C(n+m-1,m)。 4.圆排列和项链数 从 n 个不同元素取 m 个不同元素排在一个圆周上,其圆排列数为 A(n,m)/m=n!/m?(n-m)!。 特别地,将 n 个不同元素排列在一个圆周上的圆排列数为 A(n,n)/n=(n-1)! 若将 n 粒不同的珍珠,用线串成一根项链的不同方法数记为 Dn,则 Dn=1 (n=1 或 2),(n-1)!/2 (n≥3) 因为 n≥3 时项链没有顺时针与逆时针的区别,而圆排列则有此区别,故 n≥3 时项链数只 有圆排列数的 1/2.而 n=1 或 2 时,两者都没有顺时针和逆时针的区别。

6.映射定理 定理 3 设 f 是从有限 jiheM 到有限**N 的一个映射 (1)若 f 是单射,即对任意 x1,x2∈M,当 x1≠x2 时有 f(x1)≠f(x2),则|M|≤|N| (2)若 f 是满射,即对任意 y∈N,都存在 x∈M,使 f(x)=y,则|M|≥|N| (3)若 f 为双射,又称 f 为 M 与 N 之间的一一对应(即 f 既为单射又为满射,则|M|=|N| 7.一类不定方程的非负整数解 定 理 4 不 定 方 程 x1+x2+x3+...+xk=n(k,n ∈ N*) 的 非 负 整 数 解 组 (x1,x2,...,xk) 的 组 数 为 C(n+k-1,k-1) 推论 不定方程 x1+x2+x3+...+xk=n(k,n∈N*,k≤n)的正整数解组(x1,x2,...,xk)的组数为 C(n-1,k-1) 8.抽屉原理 第一抽屉原理 若将 m 个物件放入 n 个抽屉内, 则其中必有一个抽屉内至少有[(m-1)/n]+1 个 物件 证明 如果结论不成立, 那么每个抽屉内至多有[(m-1)/n]个物件, n 个抽屉内一共有的物件数 至多为 n[(m-1)/n]≤n((m-1)/m)=m-1,此与已知一共有 m 个物件矛盾,故结论成立。 第二抽屉原理 若将 m 个物件放入 n 个抽屉内,则其中必有一个抽屉内至多有[m/n]个物件 证明 如果结论不成立,那么每个抽屉内至少有[m/n]+1>m/n 个物件,从而 n 个抽屉内一共 有的物件数至少为 n([m/n]+1)>n?m/n=m,此与已知一共有 m 个物件矛盾,故结论成立。

平均值原理 (1)设 a1,a2,...,an 为实数,A=(a1+a2+...+an)/n,则 a1,a2,...,an 中必有一个不小于 A,也有一个不大于 A。 (2)设 a1,a2,...,an 为正实数,G=(a1a2...an)^(1/n),则 a1,a2,...,an 中必有一个不小于 G,也有一 个不大于 G。 证明 令 ai0=min{a1,a2,...,an},aj0=max{a1,a2,...,an},则(1)ai0≤A≤aj0,(2)ai0≤G≤aj0 ※※第十一讲 排列与组合※※结束 ※※第十二讲 排列与组合※※ 高中数学引入概率统计的内容, 使教学内容增添了更多的变量数学, 拓展了学习和研究的领 域。概率的计算既要用到排列、组合的知识来解答,也要用到排列、组合的解题思路。 1.古典概型:若随机试验 E 的基本事件只有有限个且每一个基本事件出现的可能性相等,则 称实验 E 是古典概型。 古典概型中,事件 A 的概率计算公式:P(A)=A 中的基本事件数/E 中的基本事件总数 2.几何模型:若试验 E 的样本空间为可度量的几何区域Ω ,且Ω 中任意一子区域出现的可能 性大小与该子区域的几何度量成正比,而与它的位置、形状无关,则称试验 E 是几何概型。 几何概型中,事件 A 的概率计算公式:P(A)=A 的几何度量/Ω 的几何度量 3.若事件 A 和 B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B),其中 A+B 表示 A 和 B 中至少有一个发生。 若事件 A 和 B 未必互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A?B),其中 A?B 表示 A 和 B 同时发生。 4.若事件 A 和 B 是两个相互独立的事件,则 P(A?B)=P(A)?P(B). 5.条件概率:设 A,B 是两个事件,且 P(B)>0,则称 P(A|B)=P(A?B)/P(B)为在事件 B 发生的条件 下事件 A 发生的条件概率。在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质,易见,若 P(A|B)=P(A),则 A 与 B 相互独立。 两个相互未必独立事件同时发生的概率 P(A?B)=P(B)?P(A|B)。 6.设ξ i(i=1,2,...,n)为 n 个随机变量,则 E(ξ 1+ξ 2+...+ξ n)=Eξ 1+Eξ 2+...+Eξ n 7.设 X 是一个取有限个值的离散随机变量, 其分布列为 P(X=xk)=pi,k=1,2,...,n,则 E(X^2)≥E^2(X), 等式成立当且仅当 x1=x2=...=xn=EX。 事实上,由 E(X^2)-E^2(X)=DX=∑[xi-EX]^2≥0 即可推得。 ※※第十二讲 概率和统计※※结束


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