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上海市金山区华东师大三附中2013-2014学年第二学期期末考试高二数学(文科)试题


华东师大三附中 2014 学年第二学期期末考试 高二数学(文科)试题
时间:120 分钟 满分:150 分
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. i ? i ? i ? ? ? i
2 3 2015

=________

__________.

2. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

a = b



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 3. 若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 则 x 2 ? y 2 的最大值为 ?y ? 0 ?

.

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、 圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是 5. 由若干个棱长为 1 的正方体组成的几何体的 三视图如右图所示,则该几何体的体积为 .
主视图 左视图



6. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每

俯视图

3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率 是 7. 已知正四棱柱的一条对角线长为 2 2 ,底面边长为 1,则此正四棱柱的表面积为__.



? x ? 2 y ? 10 ? 8. 设 D 是不等式组 ? 2 x ? y ? 4 表示的平面区域,则 D 中的点 P( x, y ) 到直线 x ? y ? 10 的 ? 0? x?3 ?
距离的最大值是
2

.

9. 设函数 y ? 1 ? x 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________.

?x ? 0 ? (n ? N * ) 所表示的平面区域 Dn 的整点(即横坐标和纵坐标均 10. 设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?nx ? 4n ?
为整数的点)个数为 an , 则

1 (a2 ? a4 ? ? ? a2010 ) ? 2010

.

11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则

b 的取值范围是 a



?BAC ? 12. 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, 底面 ABC 为直角三角形,

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 .

已知G与E分别为 A1B1 和 CC1 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端 点). 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的最小值为 .

13. 正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四面体

EFGH 的表面积为 T ,则

T 等于___________. S

14. 对于曲线 C 所在平面上的定点 P 若存在以点 P 使得 ? ? ?AP 0 B 对于曲 0, 0 为顶点的角 ? , 线 C 上的任意两个不同的点 A, B 恒成立,则称角 ? 为曲线 C 相对于点 P 0 的“界角”,并
2 ? ? x ? 1( x ? 0) 称其中最小的 “界角” 为曲线 C 相对于点 P “确界角” . 曲线 C : y ? ? 0的 2 ? ?2 ? 1 ? x ( x ? 0)

相对于坐标原点 O 的“确界角”的大小是



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人.为 了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为 A. 84 B. 78 C. 81 D. 96 ( )

16. 教室内有一把直尺,无论这把直尺怎样放置,在教室的地面上总能画出一条直线,使这条 直线与直尺 A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交 ( )

17. 如图, P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的中心,△ PAC 在该正方体各个面上的射影可能 是
D1 A1 P D A B C B1 C1





(1)

(2)

(3)

(4)

A. (1)、(2)、(3)、(4) 18. 给出下列四个命题:

B.(1)、(3)

C.(1)、(4)

D.(2)、(4)

(1) 异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线;

(2) 若直线 l 上有两点到平面 ? 的距离相等,则 l // ? ; (3) 若直线 m 与平面 ? 内无穷多条直线都垂直,则 m ? ? ; (4) 两条异面直线中的一条垂直于平面?,则另一条必定不垂直于平面?. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( )

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB ? 6 , AD ? 8 ,异面直 线 PB 与 CD 所成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的体积.
P

A
O

D

B

C

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图:三棱锥 P ? ABC 中, PA ?底面 ABC ,若底面 ABC 是 边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 是 BC 的中点,求: (1)三棱锥 P ? ABC 的体积;

P

? .若 M 3

A PM (2)异面直线 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). B

C
M

21.(本题满分 14 分) 如图,在北纬 60° 线上,有 A、B 两地,它们分别在东经 20° 和 140° 线上,设地球半径为 R,求 A、B 两地的球面距离.

22.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一 点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1)求证: CC1 ? MN ;
B1 B P

A C M

A1 C1

N

(2)在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间, 类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的 关系式,并予以证明.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点.已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

??? ? ??? ? (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的 A、 B 两点,求 OA ? OB 的值;
(3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0 ,求 ON 的取值范围.

???? ? ???? ?

????

华东师大三附中 2014 学年第二学期期末考试 高二数学(文科)试题答案
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? 1 2. 1 3. 4 4.

5 ? 4

5. 5

6.

1 3

7.

2?4 6
5 5

8.

9 2 2
14.

9. 4?

10. 3018

1 11. ( , ??) 2
二. 15. B

12. 16. B

13.

1 9
17. C

5? 12
18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. 解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 AC , 由矩形 ABCD 内接于圆 O ,可知 AC 是圆 O 的直径, 于是 2r ? AC ? 62 ? 82 ? 10 ,得 r ? 5 , (2 分) (4 分)
A
O

P

由 AB ∥ CD ,可知 ?PBA 就是异面直线 PB 与 CD 所成的角, 即 ?PBA ? arctan 2 ,故 tan ?PBA ? 2 (7 分) 在直角三角形 PAB 中, PA ? AB tan ?PBA ? 12 , (9 分) 故圆柱的体积 V ? ?r 2 ? PA ? ?? 52 ? 12 ? 300? 20. ( 12 分)

D

B

C

P

(1)因为 PA ? 底面 ABC , PB 与底面 ABC 所成的角为 所以 ?PBA ?

? 3

A B
( 4 分) (7 分)

C
M

?
3

………2 分

因为 AB ? 2 ,所以 PB ? 2 3

1 1 3 VP ? ABC ? S ?ABC ? PA ? ? ?4?2 3 ? 2 3 3 4 (2)连接 PM ,取 AB 的中点,记为 N ,连接 MN ,则 MN // AC 所以 ?PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角
计算可得: PN ? 13 , MN ? 1 , PM ? 15

(9)分 (11)分 (13 分)

cos?PMN ?

1 ? 15 ? 13 2 15

?

15 10

异面直线 PM 与 AC 所成的角为 arccos 21.(本题满分 14 分)

15 10

(14 分)

解:设纬线圈半径为 r,据题意,∠AO1B=1400-200=1200. 1 ? r ? R cos ?OAO1 ? R cos600 ? R(? ?OAO1 ? ?AOC ? 600 ) , 2 在△AO1B 中, AB 2 ? r 2 ? r 2 ? 2r 2 ? cos120 0 ? 3r 3 ? AB ? 3r ?
1 3 3 ? ?AOB ? 2arcsin 又在 ΔAOB 中, sin ?AOB ? 2 4 4 3 R 2

(2 分) (5 分) (8 分) (11 分) (14 分)

∴A、B 两地的球面距离 AB ? 2 R arcsin

?

3 4

22. (1)证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ;(6 分)
2 2 2 (2)解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? , 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

其中 ? 为平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角.
? CC1 ? 平面PMN , ? 上述的二面角为 ?MNP ,

(10 分)

在 ?PMN 中, PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN cos ?MNP
2 2 2 ? PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B1 ? PN ? CC , S ACC1A1 ? MN ? CC , S ABB1A1 ? PM ? BB1 ,
1 1

2 2 2 ? 有 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? . 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

(16 分) 到定点 F (1, 0)的距离
C

23. (1)依题意知,动点 P 等于 P 到直线 x ? ?1 的距 顶点, F (1, 0) 为焦点的抛 ∵
B P

A

离,曲线 C 是以原点为 物线

M

p ?1 ∴ p ?2 2
B1

A1 C1

N



曲线 C 方程是

y2 ? 4x

(4 分)

(2)当 l 平行于 y 轴时,其方程为 x ? 1 ,由 ?

??? ? ??? ? 此时 OA ? OB=1 ? 4= ? 3 当 l 不平行于 y 轴时,设其斜率为 k ,
则由 ?

? x ?1 解得 A(1, 2) 、 B(1, ?2) 2 ? y ? 4x
(6 分)

? y ? k ( x ? 1) 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 k2
(8 分)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? 1 , x1 +x2 ?

∴ OA ? OB=x1 x2 ? y1 y2 =x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

??? ? ??? ?

2k 2 ? 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ? ?3 (10 分) 2 k 2 2 ???? ? ???? ? y12 y2 y12 y2 ? y12 , y2 ? y1 ) (3)设 M ( , y1 ), N ( , y2 ) ∴ OM ? ( , y1 ), MN ? ( 4 4 4 4 ???? ? ???? ? y 2 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∵ OM ? MN ? 0 ∴ 1 2 16 16 ∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 y 2 ? ?( y1 ? ) (12 分) y1 =1+k 2 ? k 2 ?
∴ y 2 ? y1 ?
2 2 2

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12 256 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y12

(14 分)

当且仅当 y1 ?

2 ???? y2 1 2 2 2 ∵ | ON |? ( )2 ? y2 (16 分) ? ( y2 ? 8)2 ? 64,又 ? y2 ? 64 4 4 ???? ???? 2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8, | ON |min ? 8 5,故 | ON | 的取值范围是 [8 5,??) (18 分)


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