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解三角形应用举例


解三角形应用举例
一、选择题
1.( 2014 ·浙江高考文科·T 10)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处 进行射击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动,此 人为了准确瞄准目标点 P ,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小(仰角 ? 为直线 AP 与 平面 ABC 所成角)。若 AB ? 15m , AC ? 25m , ?BCM ? 30? 则 tan ? 的最大值(
30 A. 5 30 B . 10 4 3 C. 9 5 3 D. 9



【解析】 选 D. 由勾股定理可得,BC ? 20 , 过 P 作 PP? ? BC , 交 BC 于 P? , 连结 AP? ,



tan ? ?

PP? 3 PP? ? CP? tan 30 ? x AP? ,设 CP? ? x ,则 3

在 Rt △ ABC 中, AB=15m , AC=25m ,所以 BC=20m
cos?BCA ?

所以

4 4 AP? ? 625 ? x2 ? 2 ? 25x ? 5 5 ,所以

? x2 ? 40x ? 625 ,
3 3 x 3 3 ? ? 2 40 625 x ? 40x ? 625 1? ? 2 x x 3 3 25 42 9 ( ? ) ? x 5 25

tan? ?

所以

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3 3 ?5 3 25 4 125 3 9 ? x? tan ? x 5 4 5 当 ,即 时, 取得最大值为
2. ( 2014 ·四川高考文科·T 8 )如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的 俯角分别为 75 , 30 ,此时气球的高是 60cm ,则河流的宽度 BC 等于( )

A . 240( 3 ?1)m

B . 180( 2 ?1)m

C . 120( 3 ?1)m

D . 30( 3 ? 1)m
AC ? 120 m , 中, 在 ?ABC

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可. tA C ? D 【解析】 选 C. 记气球的高度为 AD , 交 CB 延长线于 D , 在R 中,由正弦定理知, BC ?

AC 120 60 ? 2 ? sin ?BAC ? ? sin 45 ? sin ?ABC sin 75 sin(30 ? 45 )

? 120( 3 ?1) m.

二、填空题:
3. ( 2014 ·浙江高考理科·T 17)如图,某人在垂直于水平地面 处进行射击训练 . 已知点 到墙面的距离为 人为了准确瞄准目标点 的墙面前的点 移动,此

,某目标点 沿墙面的射击线 观察点 的仰角

,需计算由点 则 的最大值

的大小.若

【解析】由勾股定理可得, BC ? 20 ,过 P 作 PP? ? BC ,交 BC 于 P? ,连结 AP? ,
tan ? ? PP? 3 PP? ? CP? tan 30 ? x AP? ,设 CP? ? x ,则 3



在 Rt △ ABC 中, AB=15m , AC=25m ,所以 BC=20m

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所以

cos?BCA ?

4 4 AP? ? 625 ? x2 ? 2 ? 25x ? 5 5 ,所以

? x2 ? 40x ? 625 ,
3 3 x 3 3 ? ? 2 40 625 x ? 40x ? 625 1? ? 2 x x 3 3 25 4 9 ( ? )2 ? x 5 25

tan? ?

所以

3 3 ?5 3 25 4 125 3 9 ? x? tan ? x 5 4 5 当 ,即 时, 取得最大值为
5 3 答案: 9
4. ( 2014 ·四川高考理科·T 13 )如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 67 ,30 ,此时气球的高度是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于 m.(用

四舍五入法将结果精确到个位 . 参考数据: sin 67 ? 0.92 , cos 67 ? 0.39 , sin 37 ? 0.60 ,
cos37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可. t? A C D 【解析】 记气球的高度为 AD , 交 CB 延长线于 D , 在R AC 92 92 BC ? ? sin?BAC ? ? sin 37 ? ? 0.60 ? 60 m. sin?ABC sin 67 0.92 答案: 60

中, AC ? 92 m , 在 ?ABC 中,

三 解答题
5. ( 2014 ·湖南高考文科·T 19 )(本小题满分 13 分) 如图 4 ,在平面四边形 ABCD 中, DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7 , EA ? 2, ?ADC ?
?BEC ?

?

2? , 3

3 ( 1 )求 sin ?CED 的值;
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( 2 )求 BE 的长

【解题提示】利用正余弦定理,和三角变换公式求解。 【解析】如图,设 ?CED ? ? (1) 在 ?CDE 中,由余弦定理,得 EC 2 ? CD 2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos?EDC 于是由题设知, 7 ? CD 2 ? 1 ? CD, 即CD 2 ? CD ? 6 ? 0 解得 CD ? 2 ( CD ? ?3 舍去 ) 在 ?CDE 中,由正弦定理,得
EC CD ? sin?EDC ?

于是, sin? ?

CD ?

2? 3 2? 3 ? 2 ? 21, 即sin?CED ? 21 EC 7 7 7

(2) 由题设知, 0 ? ? ?

?
3

,于是由( 1)知,

cos? ? 1 ? sin2 ? ? 1 ?
2? ? ? , 所以 3

21 2 7 ? 49 7

而 ?AEB ?

cos?AEB ? cos(

2? 2? 2? ? ? ) ? cos cos? ? sin sin ? 3 3 3 1 3 1 2 7 3 21 7 ? ? cos? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14
EA 2 EA 2 ? ? ?4 7. ,所以 cos ?AEB ? BE BE BE 7 14

在 Rt ?EAB 中, cos ?AEB ?

6. ( 2014 ·上海高考理科·T 21 )如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处 建造广告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上, 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? .

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( 1 )设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? ( 2 )施工完成后 . CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)?

【解题指南】
(1)在Rt ?ADC, Rt ?BDC中,根据边角关系可得 tan ? , tan ? , 根据? ? 2?,可得 tan ? ? tan 2? , 解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.

【解析】

(1)设CD的长为x米,则 tan ? ?

x x , tan ? ? 35 80 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? ? ? 2 ? ? 0,? tan ? ? tan 2 ? ,? tan ? ? 2

x 80 ? 160 x , 解得: 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 x2 6400 ? x 2 1? 6400 ? CD的长至多为28.28米. x ? ? 35 (2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=180 0 ? ? ? ? ? 123.430 则 a AB 115sin 38.120 ? , 解得a ? ? 85.06 sin ? sin ?ADB sin123.430 ? m ? 802 ? a 2 ? 160a cos18.450 ? 26.93 答:CD的长为26.93米.
7. ( 2014 ·上海高考文科·T 21 )如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处 建造广告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上, 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? . ( 3 )设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? ( 4 )施工完成后 . CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)?
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【解题指南】

(1)在Rt ?ADC, Rt ?BDC中,根据边角关系可得 tan ? , tan ? , 根据? ? 2?,可得 tan ? ? tan 2? , 解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.
【解析】

(1)设CD的长为x米,则 tan ? ?

x x , tan ? ? 35 80 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? ? ? 2 ? ? 0,? tan ? ? tan 2 ? ,? tan ? ? 2

x 80 ? 160 x , 解得: 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 x2 6400 ? x 2 1? 6400 ? CD的长至多为28.28米. x ? ? 35 (2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=180 0 ? ? ? ? ? 123.430 则 a AB 115sin 38.120 ? , 解得a ? ? 85.06 sin ? sin ?ADB sin123.430 ? m ? 802 ? a 2 ? 160a cos18.450 ? 26.93 答:CD的长为26.93米.
8. ( 2014 ·重庆高考文科·T 18 )在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且
a?b?c ?8 .

5 (1) 若 a ? 2, b ? , 求 cos C 的值 ; 2 9 B A (2) 若 sin A cos 2 ? sin B cos 2 ? 2sin C , 且 ?ABC 的面积 S ? sin C , 求 a 和 b 的值 . 2 2 2 【解题提示】 (1) 直接根据余弦定理即可求出 cos C 的值 .(2) 根据题设条件可以得到 关于 a 和 b 的关系式进而求出 a 和 b 的值 . 7 【解析】 (1) 由题意可知 : c ? 8 ? (a ? b) ? , 2

?5? ?7? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 a ?b ?c ? 2 ? ? 2? ? ? 1. ? 由余弦定理得 : cos C ? 5 2ab 5 2?2? 2
B A ? sin B cos 2 ? 2sin C 可得 : 2 2 1 ? cos B 1 ? cos A sin A ? ? sin B ? ? 2sin C , 2 2 化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B cos A ? 4sin C.

2

2

(2) 由 sin A cos 2

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因为 sin A cosB ? sinB cos A ? sin( A? B ? )

C . sin C 所以 , sin A ? sinB ? 3 sin

由正弦定理可知 : a ? b ? 3c. 又因为 a ? b ? c ? 8 , 故 a ? b ? 6. 1 9 由 S ? ab sin C ? sin C , 所以 ab ? 9, 从而 a 2 ? 6a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 3, b ? 3. 2 2

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