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厦门市2010-2011学年高一上学期期末质量检测数学试卷(含答案)


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参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.A 【解析】通过数轴易得答案.

2.C 【解析】A+B 表示“朝上一面的数有 2,4,5,6”,所以选择 C. 3.C 【解析】样本数据落在区间(10,40]的频数有 52,所以选择 C. 4.C 【解析】运行 7 次即得答案. 5.D 6.A 7.D 8.D 【解析】分类求零点,累加即得零点个数 3. 【解析】去掉一个最高分,一个最低分,从小到到大排序,容易得选项 A. 【解析】几何概型 【解析】画散点图,或逆推验证选择 D.

9.C 【解析】循环运算 3 次,输出 n ? 4 . 10.B 【解析】 f ( x1 x2 ? x2011 ) ? 8 ,即 loga ( x1 x2 ? x2011 ) ? 8 ,
2 2 ∴ f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x2011 ) = log a ( x12 x2 2 ? x20112 ) = 2loga ( x1 x2 ? x2011 ) ? 16 .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11.
5 2

【解析】由 2m ?1 ? 4 ,得 m ? 667 199 507 175

5 . 2

12.785 13.2 14.5

【解析】第 8 行第 7 列的数是 7,第一个三位数是 785

【解析】由图 f (3) ? 1, f (1) ? 2 ,所以 f [ f (3)] ? 2 . 【解析】画出函数 f ( x) 的图象,可求得函数的最大值是 2,最小值是 ?3 .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本题满分 10 分)
?x ?1 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 解: (Ⅰ)依题意,得 ? ?1 ? x ? 0

所以,函数 f ( x) 的定义域为 ? x ?1 ? x ? 1? .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x) 的定义域为 ? x ?1 ? x ? 1? , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 又∵ f (? x) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? f ( x) ,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分

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高一数学 ∴函数 f ( x) 为偶函数. 16. (本题满分 12 分) 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下:

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┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分

(红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红) 、 、 、 、 (黑、红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红) 、 、 , 事件 A 包含的基本事件数为 3, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P( A) ? .┈12 分 8

17. (本题满分 12 分) 解: (I)∵ f ( x) ? 1 ? 1 , 其定义域为 ?x x ? 0 ?, x ∴ f (x) 的增区间为 (??,0) 和 (0,??) . (Ⅱ) g ( x) ? ?( x ? 1) 2 . (不唯一) ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分

2x ? 1? 1 (Ⅲ) f (2 x ? 1) ? x , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分 2 ?1 2x ?1 1 ∵1 ? x ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 ? 1, 2 ?1



x f ( 2 ? 1? )

1 ,

∵ f (2 x ? 1) ? 3m ? 1对任意 x ? R 恒成立,∴ 3m ?1 ? 1 ,┈┈┈┈11 分 解得 m ?
2 , 3

? 2? ∴实数 m 的取值集合是 ? m m ? ? .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 3? ?

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B 卷(共 50 分)


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四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 18. 【解析】分别求平均数 x ? 3, y ? 5 ,代入回归方程即得.

19. 1 ? 20.
1 2

?
4

【解析】用几何概型公式易求得答案. 【解析】由偶函数条件得 b ? 0 ,由 a ? 1 ? ?a ? a ?
1 . 2

21. 0 ? a ?

9 9 9 【解析】由 ? ? 9 ? 8a ? 0 ? a ? ,又 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 8 8 8

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 0 ? t ? 0.1 时, y ? kt ,图像过点(0.1,1) ,┈┈┈┈┈┈┈1 分 ∴ 1 ? 0.1k ? k ? 10 , ∴ y ? 10t ; ┈┈┈┈┈┈┈2 分

1 1 当 t ? 0.1 时, y ? ( )t ? a ,图像过点(0.1,1) ,∴ 1 ? ( )0.1?a ? a ? 0.1 , 16 16 1 ∴ y ? ( )t ?0.1 ; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 16

综上,从药物投放开始,每立方米空气中含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关
0 ? t ? 0.1 ?10t , ? 系式为 y ? ? 1 t ?0.1 . ?(16 ) , t ? 0.1 ?

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(Ⅱ)药物释放完毕后,且达到一定标准,学生才能回到教室.
1 1 1 当 t ? 0.1,有 y ? ( )t ?0.1 ,由 y ? 0.25 得 ( )t ?0.1 ? ? t ? 0.6 ,┈┈9 分 16 16 4

答:从药物投放开始,至少需要经过 0.6 小时,学生才能回到教室. ┈10 分 23. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)茎叶图如图:

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┈┈┈┈┈┈┈┈┈1 分

25 ? 29 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分 ? 27 , 2 40 ? 10 ? 100 ? 120 平均数为 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分 ? 27 ; 10 27 ? 30 乙种树苗高度的中位数为 ? 28.5 , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 2 40 ? 30 ? 40 ? 30 ? 160 平均数为 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 ? 30 . 10

甲种树苗高度的中位数为

(Ⅱ) (Ⅰ) x ? 27 , 由 知 记事件 A 为“从 10 株乙种树苗中抽取 1 株,抽到的树苗高度超过 x ”, 则事件 A 的结果有 30,44,46,46,47 共 5 种,┈┈┈┈┈┈6 分 ∴ P( A) ?
5 1 ? , 10 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分
1 .┈┈8 分 2

答:从 10 株乙种树苗中抽取 1 株,抽到的树苗高度超过 x 的概率为 (Ⅲ)由框图可知:
S? 1 [(37 ? 27)2 ? (21 ? 27) 2 ? (31 ? 27) 2 ? (20 ? 27) 2 ? (29 ? 27) 2 10

?(19 ? 27)2 ? (32 ? 27)2 ? (23 ? 27)2 ? (25 ? 27)2 ? (33 ? 27)2 ]

?

1 (100 ? 36 ? 16 ? 49 ? 4 ? 64 ? 25 ? 16 ? 4 ? 36) ? 35 ,┈┈┈┈┈10 分 10

输出的 S 大小为 35,

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分

S 表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,S 值越小,表示长得越 整齐;S 值越大,表示长得越参差不齐. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 x ? 1 时, f ( x) 有最大值,所以 ?
b ? 1 ,即 b ? ?2a , ┈1 分 2a

因为函数 g ( x) = f ( x) - x 只有一个零点,所以 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 0 有等根. 所以 ? ? (2a ? 1)2 ? 0 , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分

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1 1 即 a ? ? , b ? 1 .所以 f ( x) ? ? x 2 ? x . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 2 2

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(Ⅱ)①当 m ? n ? 1 时, EMBED Equation.3
1 所以 m, n 是方程 ? x 2 ? x ? 3x 的两根. 2

[m, n] 上单调递增,所以 f (m) ? 3m, f (n) ? 3n,

解得 m ? ?4, n ? 0 ; ②当 m ? 1 ? n 时, 3n ?
1 1 ,解得 n ? , 2 6

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 不符合题意;┈┈┈┈┈9 分

③当 1 ? m ? n 时, EMBED Equation.3

[m, n] 上单调递减,所以 f (m) ? 3n, f (n) ? 3m,

1 1 即 ? m2 ? m ? 3n, ? n2 ? n ? 3m , 2 2 1 相减得 ? (m2 ? n2 ) ? (m ? n) ? 3(n ? m) , 2 1 因为 m ? n ,所以 ? (m ? n) ? 1 ? ?3 ,即 m ? n ? 8 , 2 1 将 n ? 8 ? m 代入 ? m2 ? m ? 3n, 2 1 得 ? m2 ? m ? 3(8 ? m), 但此方程无解, 2

┈┈┈┈┈┈11 分

所以 m ? ?4, n ? 0 时,义域为域是┈12 分





四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 18.7 19. 1 ? 【解析】分别求平均数 x ? 3, y ? 5 ,代入回归方程即得.
3 ? 【解析】用几何概型公式易求得答案. 6

20.2010

【解析】取 a ? 1, b ? 1 ,代入条件得 f (2) ? 4 ,以此类推分别求 f (3), f (4),? ,

发现规律,也可以构造函数 f ( x) ? 2 x .

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高一数学 21. 】由条件知,对任意的实数个相异的实数根.∴ , 即对任意实数.

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从而得五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分.

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 0 ? t ? 0.1 时, y 与 t 成正比,可设 y ? kt , ┈┈┈┈┈┈┈1 分

由图可知,当 x ? 0.1 时, y ? 1,∴ 1 ? 0.1k ? k ? 10 ,∴ y ? 10t ;┈2 分
1 1 当 t ? 0.1 时, y ? ( )t ? a ,图像过点(0.1,1) ,∴ 1 ? ( )0.1?a ? a ? 0.1 , 16 16 1 ∴ y ? ( )t ?0.1 ; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 16

综上,从药物投放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数
0 ? t ? 0.1 ?10t , ? 关系式为 y ? ? 1 t ?0.1 . ( ) , t ? 0.1 ? 16 ?

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(Ⅱ)药物投放后,当 0 ? t ? 0.1 时, y ? 10t , 由 y ? 0.25 得 10t ? 0.25 ,∴ t ? 0.025 ;
1 当 t ? 0.1,有 y ? ( )t ?0.1 , 16

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分

由 y ? 0.25 得 (

1 16

)t ?0.1 ?

1 4

? t ? 0.6 ,

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

答:从药物投放开始,0.025 小时至 0.6 小时这段时间,学生必须离开教室.┈10 分 23. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)茎叶图如图;

┈┈┈┈┈2 分 统计结论: ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(1)甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;

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高一数学 (2)甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; (3)甲种树苗高度的中位数为 27,乙种树苗高度的中位数为 28.5;

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(4)甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布 较为分散. (Ⅱ) x ?
S? 40 ? 10 ? 100 ? 120 ? 27 ,由框图可知: 10

1 [(37 ? 27)2 ? (21 ? 27) 2 ? (31 ? 27) 2 ? (20 ? 27) 2 ? (29 ? 27) 2 10

?(19 ? 27)2 ? (32 ? 27)2 ? (23 ? 27)2 ? (25 ? 27)2 ? (33 ? 27)2 ]

?

1 (100 ? 36 ? 16 ? 49 ? 4 ? 64 ? 25 ? 16 ? 4 ? 36) ? 35 , ┈┈┈┈┈7 分 10

输出的 S 大小为 35, S 表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,S 值越小,表示长得越 整齐;S 值越大,表示长得越参差不齐. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分

(Ⅲ)从甲、乙两种树苗高度在 30 厘米以上(含 30 厘米)中各抽取 1 株的所有可能结果为: (37,30)(37,47)(37,46)(37,44)(37,46) , , , , , (31,30)(31,47)(31,46)(31,44)(31,46) , , , , , (32,30)(32,47)(32,46)(32,44)(32,46) , , , , , (33,30)(33,47)(33,46)(33,44)(33,46) , , , , , 可能结果数为 20 种, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

记事件 A 为“样本平均数不小于 40”,事件 A 包含的结果有: (37,47)(37,46)(37,44)(37,46)(33,47)共 5 种结果,┈┈10 分 , , , , ∴ P( A) ?
5 1 ? ; 20 4

1 答:各样本平均数不小于 40 的概率为 . 4

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分

24. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 对任意 EMBED Equation.3
f (? x) ? 4(? x) 4x ?? 2 ? ? f ( x) , 2 (? x) ? 4 x ?4

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高一数学 函数. 当 取 取 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分

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数是奇函数,也不是偶函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 (Ⅱ)证明:取 EMBED Equation.3 则┈┈┈┈7 分 设 x12 ? 2ax1 ? 1 ? 0, x2 2 ? 2ax2 ? 1 ? 0 , 即 x12 ? 2ax1 ? 1 ? 0, x2 2 ? 2ax2 ? 1 ? 0 , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分 又∵ x1 ? x2 ∴ ( x1 ? x2 )2 ? 0 ┈┈┈┈┈10 分 又 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 即间增函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 5.u.c.o.m ┈┈┈┈┈10 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分
x1 ? x2 ,┈┈┈┈┈6 分

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