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2013年大连市高三双基测试数学(文)试题


2013 年双基测试



学(文科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选考题, 其它题为必考题. 考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 1 标准差 s ? [( x1

? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数. n

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

? ,a

? ? y ? bx .

2

i

? nx

2

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 复数 z ? 1 ? i 的虚部是 ( ) A. 1 B. ? 1 C. i D. ? i 2.已知集合 M ? x | x ? 4 x ? 3 ? 0 , N ? ?x | lg(3 ? x) ? 0? ,则 M ? N = (
2

A. {x | 1 ? x ? 3}

?

B. {x | 1 ? x ? 2}
2

?

)


C. ?

D. {x | 2 ? x ? 3}


3.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) A.

的最小正周期为

? C. ? D. 2? 2 4. 已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则实数 m 的值为
B.

? 4

( B. ? 8 C. 2 D. 10 5.执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 6 , 则输出的 s 的值是 ( )
A. 0
开始



6 7 5 C. 6
A.

7 8 4 D. 5
B.

i ? 1, s ? 0
i ? i ?1

s?s?

1 i ? (i ? 1)

i ? n?
否 输出 s



结束 1 第 5 题图

6. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a 2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

( D. 108 Ⅱ组 5 6 7 4 6 8 0 1 2 3



27 2

B. 27

C. 54 Ⅰ组 3 6 7 8 1 0 2

7. 右图是Ⅰ, Ⅱ两组各 7 名同学体重 (单位: ) kg 数据的茎叶图.设Ⅰ,Ⅱ两组数据的平均数依 次 为 x1 和 x2 , 标 准 差 依 次 为 s1 和 s 2 , 那 么 ( ) B. x1 ? x2 , D. x1 ? x2 , s1 ? s2
2

A. x1 ? x2 , s1 ? s2

s1 ? s2
C. x1 ? x2 , s1 ? s2 8. 下列说法中,正确的是 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题
2

第 7 题图





C.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是: ?x ? R , x ? x ? 0 ” “ D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件
2 2

? y?2 ? 9.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3
x





D.-1 )

10. 下列函数中,与函数 y ? ?3 的奇偶性相同且在 (??,0) 上单调性也相同的是( A. y ? ?

1 x

B. y ? log 2 x

C. y ? 1 ? x

2

D. y ? x ? 1
3

11. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向量 CA 在 CB 方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. ? 3 D. ? 3 ( )

12. 球 O 的直径 SC =4 , A, B 是该球球面上的两点, AB

? 2, ?ASC ? ?BSC ?


?
4

, )

则棱锥 A ? SBC 的体积为 A.

4 3

B.

8 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3
4

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要 求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置 上) 13. 一个几何体的三视图及其尺寸如下 (单位: cm) : 则该几何体的表面积为 cm .
2

4

4 主视图

4 左视图

4 俯视图 2

? 14.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为 y ? 3.8x ? a ,则 a 的值为_______.

x y

2 251

3 254

4 257

5 262

6 266

15.已知双曲线的两条渐近线均和圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 线 y ? 4 5 x 的焦点,则该双曲线的标准方程为
2

1 相切,且双曲线的右焦点为抛物 5
.
n ?1

16.数列 ?a n ?满足: a1 ? 3a 2 ? 5a3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? a n ? (n ? 1) ? 3 通项公式 a n = .

? 3 ,则数列 ?a n ?的

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角, (sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin C( 2 sin A ? sin C) . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?

3 ,求 cosC 的值. 5

18.(本小题满分 12 分) 某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],?, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 (3.9,4.2] 3 0.06 (4.2,4.5] 6 0.12 x (4.5,4.8] 25 y z (4.8,5.1] (5.1,5.4] 2 0.04 n 合计 1.00 (Ⅰ)求频率分布表中未知量 n, x, y, z 的值; (Ⅱ)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人 的视力差的绝对值低于 0.5 的概率. 19.(本小题满分 12 分) P 如图四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底 面 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 90 , AB ? 2 , PA ? BC ? 1 , F 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: DA ? 平面 PAC ; ( Ⅱ ) 试 在 线 段 PD 上 确 定 一 点 G , 使 CG ∥ 平 面 PAF ,并求三棱锥 A - CDG 的体积.
0

A

D

20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R ).
2

B

F

C

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?

1 时,证明:存在 x0 ? (2,??) ,使 f ( x0 ) ? f (1) . 8
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆 M 交于 A、B 两点, a2 b2

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :

3

直线 y ? 为?

1 x 与椭圆 M 交于 C、D 两点, P 点坐标为 (a, 0) ,直线 PA 和 PB 斜率乘积 k

1 . 2
2 6 ,求椭圆 M 的方程. 3

(Ⅰ)求椭圆 M 离心率; (Ⅱ)若弦 AC 的最小值为

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、 CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; E 1 (Ⅱ)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2 O D A C
第 24 题图

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线

? x ? t ? 1, ( t 为参数),相交于 A, B 两点. 2 4 ? y ? (t ? 1) , (Ⅰ)写出射线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程; (Ⅱ)求线段 AB 的中点极坐标.

l :? ?

?

与曲线 C : ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 t ,若存在 t ? [ ,3] 使得不等式 t ? 1 ? 2t ? 5 ? x ? 1 ? x ? 2 成立,求实数 x 的取值范围. .

1 2

4

2013 年大连市高三双基测试数学(文科)参考答案与评分标准
一.选择题 1.A;2.B;3.C;4.B;5.A;6.B;7.D;8.C;9.B;10.C;11.A;12.D. 二、填空题 13. 24? ;14.242.8;15. 三.解答题 17.解: (Ⅰ)依题意得 sin 2 A ? sin 2 B = 2 sin A sin C ? sin 2 C , ························ 分 ······················· 2 由正弦定理得: a ? b ?
2 2

x2 ? y 2 ? 1 ;16. 3 n . 4

···································· 2ac ? c 2 . ···································· 4 分

∴a ?c ?b ?
2 2 2

2ac .
a 2 ? c2 ? b2 2 ? ,∴ B ? . ······················· 6 分 ······················· ? 2ac 2 4

由余弦定理知: cos B ?

(Ⅱ)∵ sin A ? 又B ?

2 3 ,∴ sin A ? ,∴ A ? B . ······························· 8 分 ······························· 2 5

?
4

,∴ A ?

?
4

,∴ cos A ?

4 , ······································· 10 分 ······································· 5

∴ cos C ? cos(

3? 3? 3? 2 . ················ 分 ··············· 12 ? A) ? cos cos A ? sin sin A ? ? 4 4 4 10

18.解: (Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n ,由

2 =0.04,得 n =50. ···· 2 分 n 25 y 14 ∴x? ·········· ? 0.5 , y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ? ? ? 0.28 . ·········· 4 分 50 n 50

(Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c ,在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意, 5 人中随机抽取两人, 从 所有可能的结果有:?a, b? ,?a, c? ,?a, d ? ,?a, e? ,

?b, c? , ?b, d ? , ?b, e? , ?c, d ? , ?c, e? , ?d , e? ,共 10 种.···································7 分
设事件 A 表示“两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的可能的结果有:

?a, b? , ?a, c? , ?b, c? , ?d , e? ,共 4 种. ···································································9 分
∴ P ( A) ?

4 2 2 ··········· ? .故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . ··········· 12 分 10 5 5

19.解:(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ?ACB ? 900 ,∴ ?DAC ? 900 . ∵ PA ? 平面 ABCD , DA ? 平面ABCD ,∴ PA ? DA , 又 AC ? DA , AC I PA ? A ,
5

∴ DA ? 平面 PAC . ···················································· 分 ··················································· 6 (Ⅱ)设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ? PA 于 H , 则 GH 平行且等于

1 ················································ AD . ················································ 8 分 2

连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形, ∴ GC ∥ FH ,∵ FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ∴ CG ∥平面 PAE ,∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE . ··················10 分 ················· 设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于 ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ GS ? 平面 ABCD ,

1 1 PA ? , 2 2

1 1 .···································· 12 分 ···································· ? VA?CDG ? VG ? ACD ? SV ACD GS ? 3 12
20.解: (Ⅰ)函数

f ( x) ? ln x ? ax 2 的定义域为 (0,??) ,

? f ?( x) ?

1 ? 2ax 2 ? 1 , ·········································· 分 ········································· 1 ? 2ax ? x x 2 ∴①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) ? ln x ? ax 的增区间为 (0,??) , ···· 3 分 ····
②当 a ? 0 时,若 f ?( x) ? 0 有 0 ? x ?

2a 2a , 若 f ?( x) ? 0 有 x ? , 2a 2a 2a 2a 2 所以函数 f ( x) ? ln x ? ax 的减区间为 ( ,??) ,增区间为 (0, ), 2a 2a 由①②得当 a ? 0 时,函数 f (x) 的增区间为 (0,??) ,当 a ? 0 时,函数 f (x) 的减区间 2a 2a ······································· ) . ········································6 分 ,??) ,增区间为 (0, 2a 2a ? x2 ? 4 1 证明(Ⅱ)当 a ? 时, f ?( x) ? , 4x 8 ∴ x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数,··········· 8 分 ··········· 1 ∴函数 f (x) 的最大值为 f (2) ? ln 2 ? , 2 1 ? f (1) ? ? , 8 在 (2,??) 取 x ? e 4 ,
为( 计算得 f (e ) ? 4 ?
4

e8 28 ? 4 ? ? ?28 ? f (1) , ······························10 分 ····························· 8 8

(也可以选取其它有效值) . ∴ f (e ) ? f (1) ? f (2) , ? x ? (0,2) 时函数 f (x) 是增函数, x ? (2,??) 时函数 f (x) 是减函数,
4

∴存在 x 0 ? (2, e 4 ) ,使 f ( x 0 ) ? f (1) , ∴存在 x 0 ? (2,??) ,使 f ( x 0 ) ? f (1) . ···································· 12 分 ····································
21.解(Ⅰ)设 A( x 1 ,

y1 ) ,由对称性可得 B (? x1 ,? y1 )
6

将 A( x 1 , y1 ) 带入椭圆可得

x12 y12 ? ? 1, a 2 b2
b 2 (1 ?

x12 ) 2 y1 ? y1 y b2 直线 PA 和 PB 斜率乘积 ······· ? ? 2 ? 2 a2 ? ? 2 . ······· 2 分 x1 ? a ? x1 ? a x1 ? a 2 x1 ? a a
2 1

由直线 PA 和 PB 斜率乘积为 ?

b2 1 c2 1 1 ,所以 2 ? ,所以 2 ? , 2 2 2 a a

所以椭圆 M 离心率为
2

2 . ···············································5 分 ··············································· 2
2 2

(Ⅱ)椭圆方程可化为 x ? 2 y ? a ,

?x 2 ? 2 y 2 ? a 2 a2 k 2a 2 2 2 联立 ? ,可得 x ? ,y ? , ··················· 分 ·················· 7 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y ? kx ?
a 2 (1 ? k 2 ) 2 2 设 O 为坐标原点,则 | OA | ? ,同理可得 | OC | ? 2 1 ? 2k
1 a 2 (1 ? 2 ) a 2 (1 ? k 2 ) k 所以 | AC |2 ? ? 2 1 ? 2k 2 1? 2 k

a 2 (1 ?

1 ) k2 . 2 1? 2 k

? a2 ?

3k 4 ? 6k 2 ? 3 ? a2 ? 2 k 4 ? 5k 2 ? 2 2?

3 1 1 k2 ? 2 ? 2 k

?

4 2 ························· a .··························10 分 3

当且仅当 k ? ?1 时取等号,所以

4a 2 8 ? , 3 3 x2 ? y 2 ? 1 . ······························12 分 ······························ 2

即 a 2 ? 2 ,所以椭圆 M 的方程为

1 ) a (1 ? k ) k2 (另解:所以 | AC |2 ? ? 2 1 ? 2k 2 1? 2 k
2 2

a 2 (1 ?

? a2 ?

3(k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1) 2 4 ? a2 ? ? a2 ) 2 2 2 2 2k ? 1 ? k ? 2 2 3 (2k ? 1)(k ? 2) ( ) 2
7

22.解: (Ⅰ) 连结 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,则 OC ? AB . ················· 2 分 ················ 所以直线 AB 是⊙ O 的切线.··········································· 4 分 ··········································· (Ⅱ)因为 AB 是⊙ O 的切线,所以 ?BCD ? ?E ,又 ?B ? ?B , 所以△ BCD ∽△ BCE ,所以 所以

BC BE CE , ? ? BD BC CD

BE EC 2 ······················································ ?( ) , ·······················································8 BD CD 1 BE 因为 tan ?CED ? ,所以 ? 4 ,因为⊙ O 的半径为 3, 2 BD 所以 BD ? 2 ,所以 OA ? 5 . ·········································· 10 分 ·········································· 23.解: (Ⅰ)射线 l 的直角坐标方程: y ? x ( x ? 0) ,

? 2 t, ?x ? ? 2 (t ? 0, t为参数 ) ···························2 分 则射线 l 的参数方程: ? ·························· 2 ?y ? t, ? 2 ? 2 曲线 C 的直角坐标系方程: y ? ( x ? 2) . ···································· 4 分 ····································
(Ⅱ)联立 ?

?

y ? x,
2

? y ? ( x ? 2) , ∴ A(1,1), B (4,4), ··························································· 分 ·························································· 6 5 5 ∴线段 AB 的中点直角坐标为 ( , ), 2 2 5 2 ? ∴线段 AB 的中点极坐标为 ( ········································ , ) . ·········································10 分 2 4 5 ? ? ?t ? 4, t ? 2 ? 5 1 ? 24.解:∵ t ? [ ,3] ,∴ | t ? 1| ? | 2t ? 5 |? ?3t ? 6,1 ? t ? , ····················· 4 分 ····················· 2 2 ? ? t ? 4, t ? 1 ? ? 3 可得其最大值为 . ······················································ 分 ····················································· 6 2 3 9 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? ,当 x ? 2 可得 2 ? x ? ,当 1 ? x ? 2 可得恒成立, 2 4 3 3 9 当 x ? 1 可得 ? x ? 1 ,综上可得解集为 [ , ] . ····························· 分 ···························· 10 4 4 4

得?

? x ? 1,

? x ? 4, 和? , ? y ? 1, ? y ? 4,

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8


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