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1.平面向量的概念和线性运算


要点梳理

?

? ?

1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量, 向量的大小叫做向量的长度(模) 表示方法:常用有向线段或字母来表示。 模:线段AB的长度,写作 AB

A

a

B

AB

要点梳理

? ? ?

?

?

2)零向量:长度为零的向量,方向任意 3)单位向量:长度为1个单位的向量 4)平行向量:方向相同或相反的非零向量 又称共线向量,任一组平行向量可以移到同 一直线上。 规定:0 与任一向量平行 5)相等向量:长度相等且方向相同的向量 6)相反向量:长度相等且方向相反的向量

要点梳理

1.向量的加法和减法 1)加法:服从三角形法则和平行四边形法则. 2)运算性质:
?

a?b ? b?a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
3)减法: 与加法互为逆运算 服从三角形法则

a?0 ? 0?a ? a
D C

首 尾 相 连

b


a


EX:11四川文7

要点梳理

3.实数向量的加法和减法 1)长度与方向规定如下. ① | ? a |? ? | a | ② 当? ? 0 时,? a, a 方向相同。 当 ? ? 0时,? a, a 方向相反。 当 ? ? 0时, a ? 0 ? 2)运算律
?

?1?? (? a) ? (?? )a ?2?(? ? ? )a ? ? a ? ? a ?3?? (a ? b) ? ? a ? ? b

要点梳理
? ①

4. 两个向量共线定理 向量 a, b(a ? 0) 共线的充要条件是 有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a

b a

考点一 平面向量概念
例1 下列命题中,正确的个数是(D ) 1)有向线段就是向量,向量就是有向线段 2)向量 a, b 平行,则他们的方向相同或相反 3)向量AB, CD平行,则A,B,C,D四点共线 4)如果 a // b, b // c ,那么 a // c
?

A. 1

B.2

C.3

D.4

考点二 向量线性运算(平面向量基本定理)
?

例2 在梯形ABCD中用 AB, AD 表示 DN , MN
D M C

A

N

B

NOTE:利用已知向量 求未知向量,其实 质就是利用平行四 边形法则或三角形 法则进行向量的加 减运算或数乘运算。

考点三 共线向量
?

直线l的向量参数方程式:设A,B是直 线L上任意两点,O是L外一点,则对于 L上任一点P,存在实数t,使

OP ? t OA ? (1 ? t )OB
O

B A P

1 1 OP ? OA ? OB 2 2

要点梳理

?

平面向量基本定理: 1 , e2 是同一平面内不共 e 线的向量,对于平面内任一向量,有且只有 一对实数对 ? , ? 使 a ? ? e1 ? ? e2 e1 , e2 称为基底。 其实质:同一平面内任一向量都可以表示为 两个不共线向量的线性组合。

?

取x轴、y轴上两个单位向量 i , j 作基底,则平面内作一向量

记作:
,

? a ? xi ? y j ? a ? ( x, y )

o

i ? (1,0), j ? (0,1), 0 ? (0,0)

?1?a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y2 ? y1 ) ?2?A ? ( x1 , y1 ), B ? ( x2 , y2 ), AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ),
| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

?3?a ? ( x, y ), ? a ? (?x, ?y ),
a ?? 时, 表示a方向上的单位向量 |a| |a| 1

?4?a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), a // b充要条件是
x1 y1 x1 y2 ? x2 y1 , 若x2 y2 ? 0, 可表示为 ? x 2 y2

考点一 平面向量基本定理

?

1.如图,在平行四边形ABCD中,M,N 分别为DC,BC的中点,已知

AM ? c, AN ? d , 用c,表示 AB, AD d
NOTE:利用已知向量 求未知向量,其实 质就是利用平行四 边形法则或三角形 法则进行向量的加 减运算或数乘运算。

考点二 平面向量坐标运算

?

例2 已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4)。设

AB ? a, BC ? b, CA ? c, CM ? 3c, CN ? ?2b
2)求满足a ? mb ? nc的实数m, n 3)求M , N的坐标及MN坐标
小结:相等的 向量坐标相同

?

例1 如图,已知点A(4,0)B(4,4), C(2,6),求 AC,OB交点P的坐标
C B P

O

A


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