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高二数学竞赛辅导练习八


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高二数学竞赛辅导练习八
1.已知在 ?ABC 中, 2 BA ? 3BC ? CB ? 0 , 则角 A 的最大值为( A.

?

??? ?

??? ? ??? ?

?



? 6

B.

/>
? 4
2

C.

? 3

D.

? 2


2.已知函数 g ( x) ? f ( x ?1) ? x 是定义在 R 上的奇函数,则( A. f (1) ? 0 B. f (1) ? ?4 C. f (3) ? f (?1) ? 8

D. f (?3) ? f (1) ? ?8 )

3. 已知数列 {a n } 中满足 a1 ? 15 , A. 10 B. 2 15 ? 1

a an?1 ? an ? 2 ,则 n 的最小值为( n n
C.9 D.
27 4

4.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:① f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ;② f ( x ? 2) ? f (? x) ; ③当

? 1 ? x 2 ?????? x ? [?1, 0] 1 x ? x ?[?1,1] 时,f ( x) ? ? ; 则函数 y ? f ( x) ? ( ) 在区间 [ ?3,3] 上 ? 2 ?cos( x)?????? x ? (0,1] ? 2
的零点个数为 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8
B

5. 如图,在 Rt△ ABC 中,AC=1,BC=x,D 是斜边 AB 的中点,将△ BCD 沿直线 CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 (A) (0, 3] (C) ( 3, 2 3]
2 2

B D

( ) (B) (

2 , 2] 2

C C A

D

A

(D) (2,4]
(第 8 题图)

6.已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) A1 A2 是实轴顶点, F 是右 2 a b , ,

焦点, B(0, b) 是虚轴端点,若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 P i (i ? 1, 2) 使得

?Pi A1 A2 (i ? 1, 2) 构成以 A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是(
A.( 2,



6 ?1 ) 2

B.( 2,

5 ?1 ) 2

C.(1,

6 ?1 ) 2

D.(

5 ?1 , ??) 2

7.已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ?kx ? k (1 ? a ),x ? 0 ,其中 a ? R ,若对任意非零实数 2 2 2 ? x ? ( a ? 4 a ) x ? ( 3 ? a ) , x ? 0 ?

x1 ,存在唯一实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 k 的最小值为 (
A.-8 B.-6 C.6 D.8

)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8. 若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分为面积相等的两部 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
分, 则 k 的值为 的取值范围是 . , 其外接球的表面积为 . ; 若该平面区域存在点 ( x0 , y0 ) 使 x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成立, 则实数 a

9. 一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的体积为 10. 已知关于 x 的方程 | x ? k |? 实根,则实数 k 的取值范围是 11. 设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 3 ,则
2

2 k x 在区间 [k ? 1, k ? 1] 上有两个不相等的 2


y x2 的最小值是 ? x ?1 y ?1



12 . 如 图 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 , 则

cos ?CAD ?

; 又 若 cos?BAD ? ?

7 21 , 则 , sin ?CBA ? 14 6

(第 9 题图)

BC ?

.

A

D

13.已知 ?ABC 满足 AB ? 3, AC ? 4 , O 是 ?ABC 的外心,且

1? ? AO ? ? AB ? AC 2

B

?? ? R ? ,则 ?ABC 的面积是

(第12题)

C



14.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在该 正方体的表面上运动, 则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于
2 2 a ? 1. 15.正项数列 ?an ? 满足 an ? an ? 3an ?1 ? 2an?1 , 1

.

(Ⅰ)求 a2 的值;

(Ⅱ)证明:对任意的 n ? N , an ? 2an?1 ;
?

?

(Ⅲ)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,证明:对任意的 n ? N , 2 ?

1 ? Sn ? 3 . 2 n ?1

16. 已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? 4 , g( x ) ? kx ? 3 . x

(Ⅰ) 当 a ? [3, 4] 时, 函数 f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) , 试求实数 m 的取值范围; ( Ⅱ ) 当 a ? [1, 2] 时 , 若 不 等 式 | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) 对 任 意 x1 , x2 ? [2, 4] ( x1 ? x2 )恒成立,求实数 k 的取值范围.

17.已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A,B , M ,N 是椭圆 E 上异于 A,B 两 4 3

点,直线 AM ,BN 交于点 P(4,t ) . (Ⅰ)若直线 MN 与 x 轴垂直,求实数 t 的值; (Ⅱ)记 ?PMN ,?PAB 的面积分别是 S1 (t ),S 2 (t ) ,求

S1 (t ) 的最小值. S 2 (t )

(第 17 题)


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