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静电场---库仑定律&电场强度


本章主要内容:
9—1 电荷 库仑定律 9—2 电场和电场强度 9—3 电通量 高斯定理 9—4 静电场力的功 环路定理 9—5 电势 9—6 电场强度与电势梯度

教学基本要求
一 掌握描述静电场的两个物理量——电场强度 ? 和电势的概念,理解电场强度 E 是矢量点函数,而 电势V 则是标量点函数. 二 理解高斯定理及静电场的环路定理

是静电场 的两个重要定理,它们表明静电场是有源场和保守场. 三 掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯 定理求解带电系统电场强度的方法;并能用电场强度 与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度. 四 掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定义式 求解带电系统电势的方法. 五 了解电偶极子概念,能计算电偶极子在均匀 电场中的受力和运动.

9—1 电荷 库仑定律
一 电荷 电荷的量子化 1 电荷
电荷是实物粒子的一种基本属性,它描述实物粒子 的电性质。
自然界存在两类电荷:正电荷和负电荷。电荷的多 少用电量来度量,用 Q 或 q来表示,单位:库仑 C

电子电量: e ? 1 . 602 ? 10

? 19

C

物体带电的本质?
电荷只能随带电的基本粒子(电子,质子)的迁移 而迁移,而物体的原子核是不容易迁移的,所以物体带电 是物体间发生了电子的转移

2

电荷的量子化 电荷的基本性质
1) 2) 电荷有正负之分; 电荷量子化; 电子电量 e ? 1 . 602 ? 10
? 19

C

q ? ? ne
e 电荷量子

( n ? 0 ,1, 2 ,3 , ? )
1 2 3

强子的夸克模型具有分数电荷( 或 3 但实验上尚未直接证明.
3) 同性相斥,异性相吸.

电子电荷)



电荷守恒定律 (1747年,富兰克林)
在孤立系统中,正负电荷的代数和保持不变. (自然界的基本守恒定律之一)

?Q

i

? c

是从大量实验事实中总结出来,在一切已经发现的 宏观过程和微观过程中,都是成立的

实验表明:电荷的电量与它的运动速度和加 速度无关。如加速电子 在不同的参考系内观察,同一带电粒子的电 荷量不变,说明电量具有相对论不变性



真空中的库仑定律

1 点电荷模型 (

d ?? r12)

带电体的线度比起带电体之间的距离小得 多的情况下,带电体可视为点电荷,点电荷是一 个理想模型

q1

? F 21
q1

? r12
? r12

? q2

? F12
q2

d
? F12

? F 21

2 库仑定律(1785,扭秤测量静电力) 来源: 库仑扭秤实验

q1

? r
? F12

q2

? F 21

数学 表达 式: SI制

? q1 q 2 ? F ? k er 2 r

k ? 8 . 98755 ? 10 N ? m ? C
9 2

?2

? ? F12 ? ? F 21
库仑力遵守牛顿第三定律
库仑定律适用于真空中的两个静止的点电荷
1 4π ? 0 1
4π k

令 k ?
?0 ?

( ? 0 为真空电容率)
? 8 . 8542 ? 10
? 8 . 8542 ? 10
? 12
? 12

C ?N
2

?1

?m

?2

F?m

?1

? F ?

1 4 π? 0

q1 q 2 ? er 2 r

法国物理学家, 他使用自制的扭秤确 定了电荷间作用力的 库仑定律。他通过对 滚动和滑动的实验研 究,得出摩擦定律。

库仑(Charles Augustin de Coulomb,1736—1806)

例 在氢原子内,电子和质子的间距为 5 . 3 ? 10 ? 11 m . 求它们之间静电力和万有引力,并比较它们的大小. 解
m e ? 9 . 1 ? 10
? 31

kg

e ? 1 . 6 ? 10

? 19

C
N ? m ? kg
2 ?2

m p ? 1 . 67 ? 10

? 27

kg
?6

G ? 6 . 67 ? 10

? 11

Fe ?

1

e

2 2

4π ?0 r
memp r
2

? 8 . 1 ? 10
? 3 . 7 ? 10

N

Fe Fg

? 2 . 27 ? 10

39

Fg ? G

- 47

N

(微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.)

9—2 电场和电场强度
库仑力是如何实现的? 历史上两种观点: 一种是“超距作用论”

电荷←→电荷
一种是法拉第提出的场论 力需要物质来传递,中间物质就是场 电荷←→电场←→电荷 F21 1 q 2 q’ F12

后一论点已有大量的科学实验和广泛的生产实践所证实。

场是一种特殊形态的物质


实物

物 质

一 电场 (electric field)
电荷周围存在电场。

1.电场的基本性质
A、对位于其中的电荷会施以力的作用。 B、电场力对移动电荷作功。 2.静电场 相对于观察者静止的电荷所激发的电场,是电 磁场的一种特殊形式。

二 电场强度 (electric field strength)
描述场中各点电场强弱的物理量是电场强度。 电量充分地小 试验电荷的条件 线度足够地小
? F

? 试验电荷放到场点P处, 验 电 荷 的 受 力 为 :F 试

试验表明:确定场点比值 定义:
单位
N ?C

? E ?
?1

? F

q 0 与试验电荷无关。
+ +

q0
V ?m
?1

+
+ +

? q0 ? q0

+

? ? (1) E ? E ( x . y . z ) 说明:

(2) 矢量场

? ? (3)点电荷在电场中所受力为: F ? q E

三 电场强度的计算
1.点电荷的场强公式
库仑定律和场强的定义

?Q ? ?Q

? r ? r

q0

? F ?
? E ?

1 4π? 0
? F q0

Q q0 ? er 2 r

?
?Q

? E

? E
q0

? E

? E

?Q

? E?

Q ? er 2 4 π? 0 r 1

说明: ① 球对称。 ②场强方向:正电荷受力方向。

2.电场强度叠加原理
点电荷系的场强 点电荷 q i 对 q 0 的作用力 ? 1 qiq0 ? Fi ? ei 2 4 π ? 0 ri

q1

? r1
? r2

? F3

q2

q3
? F ? ? Fi

? r3

? F2 ? F1

q0
? Fi

由力的叠加原理得 q 0 所受合力 ? ? q 0 处总电场强度 E ? F ? ? 故 i q q0 0 电场强度的叠加原理

?
i

? ? E ? ? Ei
i

矢量和

3、电荷连续分布的带电体
+

dq +
+

+

+

①由

? dE ?

+

? er

1 4π ?0

dq ? er 2 r

q

r

P
? ②由 E ? ? ? dE ?

? dE

?

1 4 π? 0

V

dq ? er 2 r

电荷体密度 ? ?

dq dV

??? ? q ??? ??? ??
?? ?? q ??? ??? ??

dq ?? ? ? ??

r

? dE

P

电荷面密度 ? ?

dq ds

ds ?? ? ? ??

r

? dE

P

电荷线密度 ? ?

dq dl

dl

q

? r
P

? dE

? E=
应用电荷密度

1 4? ?0
1

?

dq ? e 2 r r

? E ?

4 π? 0

? ? ?

?dl ? er 2 r

? E ? ? E ?

1 4 π? 0 1 4 π? 0

?ds ? er 2 r ?dV ? er 2 r

矢量积分 ?

矢量积分步骤:
(1)取坐标系

? E=

1 4? ?0

?

dq ? e 2 r r

? (3)写出 dE 的投影分量式 dE x , dE y
(4)根据几何关系统一积分变量 (5)分别积分
E x ? ? dE x Ey ? ? ? ? (6)合场强: E ? E x i ? E y j

(2)选积分元,写出

? dE

? dE

y

?

E? E ?E
2 x

2 y

tgq ?

Ey
Ex

例1 电偶极子的电场强度 电偶极子:相距很近的等量异号电荷,满足 x ?? r0
电偶极子的轴

? ? 电偶极矩(电矩) p ? q r0

? r0

?q

?

? p

分析讨论

? r0

?q ?

(1)电偶极子轴线延长线上一点的电场强度

?q
r0 2

O
r0 2

?q

x

? E?

A

? x E?

?q
r0 2
? E? ? 1

O
r0 2
q

?q

x
2

? E?
? E? ? ?

A

? E?

x
q
2

4 π ? 0 ( x ? r0 2 )

? i

1

4 π ? 0 ( x ? r0 2 )

? i

? ? ? E ? E? ? E? ?

? 2 xr 0 ? 2 2 2 4 π ? 0 ? ( x ? r0 4 ) q

x ?? r0

? E ?

1 4π ?0

1 2 r0 q ? i ? 3 3 4π ?0 x x

? 2p

?? ?i ?

(2)电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度

q ? e 2 ? 4 π ? 0 r? ? 1 q ? E? ? ? e 2 ? 4 π ? 0 r? 1
r? ? r? ? r ? y ?(
2

? E? ?

? E
)
2

? E? ? E?

y
B

r0 2

? ? ? e ? ? ( ? r0 2 i ? y j ) r ? ? ? e ? ? ( r0 2 i ? y j ) r

? e?

r?
y

r?

?q

? r0

?q

? e?
x

? r0 ? (y j ? i ) 3 4π ?0 r 2 ? ? r0 ? 1 q E? ? ? (y j ? i ) 3 4π ?0 r 2? ? ? ? 1 qr 0 i E ? E? ? E? ? ? 3 4π ?0 r ? qr 0 i 1 ?? 2 r0 3 / 2 4π ?0 2 (y ? ) 4 1 q

? E? ?

? E

? E? ? E?

y
B

? e?

r?
y

r?

?q

y ?? r0

? E ??

1

? qr 0 i y
3

? r0
1

?q
? p
3

? e?
x

4π ?0

??

4π ?0 y

例2:线密度为λ的均匀带电细直线外任一点的场强
解:建立如图坐标 取微元 d x ,则 d q ? ? d x 电荷元在P点产生的场强为:
? ? dx ? 1 dE ? k 2 er ; k ? r 4 ?? r ? (x ?a )
2 2

? dE
q
dE x

Y
dE y

*

P
r
? er

0

a
q1

q

q2
X

? 设 d E 与 OX 轴 向 角 正 夹 为

q

o
?dx
r r
2

x
cos q sin q

dx

? ? d E x ? d E ? cos q ? k ? 正交分解: ? ? d E ? d E ? sin q ? k y ? ?

?dx
2

?dx ? ? d E x ? k r 2 cos q ? ? ? d E ? k ? d x sin q y 2 ? r ?

? dE
dE x

Y
dE y

P
r
? er
q
q2
X

根据几何关系:
tg ( ? ? q ) ? a x 则 x ? ? actg q , dx ? a csc q d q
2

a
q1

,

o

*

x

dx

r ? x ? a ? a ( 1 ? ctg q ) ? a csc q
2 2 2 2 2 2 2

统一积分 变量:

? ? ? dE x ? k a ? cos q ? d q ? ? ? dE ? k ? ? sin q ? d q y ? a ?

? ? ? dE x ? k a ? cos q ? d q ? ? ? dE ? k ? ? sin q ? d q y ? a ?

? dE
dE x

Y
dE y

P
r
? er
q

Ex ? k

分别积分 ? q
a

q1

a
o

*

q2
X

?q

2

cos q ? d q ? sin q ? d q ?

k? a k? a

x

dx

( sin q 2 ? sin q 1 ) ( cos q 1 ? cos q 2 )

1

Ey ? k

?
a

?q

q2
1

直线在P点建立的合场强
? ? ? E ? E xi ? E y j

? E??

? 4??0 a

? ( sin q1 ? sin q 2 )i ?

? 4??0 a

? (cos q1 ? cos q 2 ) j

? E??

? 4??0 a

? ( sin q1 ? sin q 2 )i ?

? 4??0 a

? (cos q1 ? cos q 2 ) j
Y
dE y

讨论:
(1)若L>>a,即无限长带电直线,
q1 ? 0; q2 ? ? ? ? ? E? j 2? ?0 a

? dE
dE x

q1

a
o

*

P
r
? er
q
q2
X

x

dx

(2)若P点在细长线左端点,即半无线长带电直线 E Ey ? q1 ? ; q2 ? ?
2
Ex

? E??

?
4? ?0 a

? i ?

?
4? ?0 a

? j

问题:右端点的情况?

例3 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的圆环上. 计算圆环的轴线上任一点 P 的电场强度.



? ? E ? ? dE

? ? 由对称性有 E ? E i x
(? ? q 2π R )

y

dq ? ?dl

q R
o

r

P

x
1

x

z

? dE ?

?dl ?
2

4π ?0 r

er

y dq ? ?dl

(? ?

q 2π R

)

q R
o

r

x

q

P
? dE ?
q

x
1

z
E ?

?dl ?
2

4π ?0 r

er

?l

dE x ?
2π R

?l

d E cos q ?

? 4 π?

?dl
r qx
0
2

2

?

x r
2 3 2

?

?

x?dl 4 π ? 0r
3

?

0

4π ?0(x ? R )

E?

qx 4π ? 0 (x ? R )
2 2 32

y dq ? ?dl

讨论

q R
o
q
2

r
q

P

(1) x ?? R
E ? 4π ?0x

x
E

x ? E

z
? 2 2 R

(点电荷电场强度) (2) x ? 0 , (3) d E
dx ? 0,

E0 ? 0
x?? 2 2 R

o

2 2

R

x

例4 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. 有一半径为 R 0 ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面 密度为 ? . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 处的电场强度. 解 由例3 y dq ? ? 2π RdR
E ?
dE x ?

q x
2

4π ?0(x ? R )
2

3 2

dq ? x 4π ?0(x ? R )
2 2 3 2

R o
R0

(x ? R )
2

2 1/ 2

x
dR

P

? dE x
2 0

?

?
2

xR d R
2 3 2

z

2? 0 ( x ? R )

q ?? π R

dE x ?

?
2

xR d R
2 3 2

2? 0 ( x ? R )

y

E ?
?

? dE
(x
(
2

x

?x
2? 0
E ?

?

R0

RdR ? R )
2 3/2

R o
R0

P
dR

? dE

x

0

?x
2? 0

z
1 )
2 0

1 x
2

?

x ? R
2

E?

?
2? 0

(1 ?

x x ? R0
2 2

)

讨论
x

E?

?
2? 0

(1 ?

x x ? R0
2 2

)

1. R0>> x时,圆盘可视为无限大的均匀带电平面。
当 R 0 ?? x , ? 0
2

x ? R0
2

? (1 ? R 0 / x )
2

2

?1 / 2

1 R ? 1 ? ( 02 ) ? ... 2 x

2

? E ?

?
2? 0

取前两项代入原式得:

2. x>> R0
E ?

圆盘视为点电荷
x x ? R0
2 2

E ?

?R0

2 2

4? 0 x

?
2? 0

(1 ?

)
1

?
)

?? R 0

2 2

E ?

q 4 ?? 0 x
2

?

?
2? 0

4 ?? 0 x

(1 ?

1 ? R0 / x

2

2

?

q 4 ?? 0 x
2

上述解题思路是场强叠加原理的灵活 应用,它可以推广到解决许多类似的问题上 去。
如均匀带电环形平面板,可看成许多半 径不同的同心细圆环激发的电场叠加。

无限大带电平面、均匀带电矩形平面、 无限长均匀带电圆柱侧面,都可看成无数条无限 长带电直线组成。

del

例5 求均匀带电的无限大平面外任一点的场强 (设平面单位面积上的电量为? )。
由对称性可知, 平面外P点的电场方 向是垂直于平面向上 的(即y方向),所以

E ?

?

??

? dx
2 ?? 0 r

??

cos q ?

?

??

?a
2 ??
2 0

dx a ? x
2

??

?

?
2? 0

小 结
一 库仑定律
? f 12 ? q1q 2 4 ?? 0 r
2

? dE
dE x

Y
dE y

? 0 r12

二 电场强度及计算 1. 点电荷
? E ? Q 4? ? 0 r
2

q1

a
o
? E ?

*

P
r
? er
q
q2
X

x

dx

?0 r

3. 带电体
?

?Q ?4 ? ? 0 r

?

dq
2

?0 r

A 均匀带电导线
Ex ? 4 ?? 0 a ( sin q 2 ? sin q 1 ) ( cos q 2 ? cos q 1 )

2. 点电荷系
? E ? 1 4 ?? 0

?
i

qi ?0 r 2 i ri

Ey ?

?
4 ?? 0 a

① 中垂线上:
? E ? q 4 ?? 0 a l ? a
2 2

B 均匀带电的圆环
? j

E ?

xQ 4 ?? 0 x
? 2?0

?

2

? R

2

?
)

3 2

② 无限长:
? E ? ? 2 ?? 0 a ? j

C 均匀带电的圆盘
E ? (1? x x ? R
2 2

③ 无限长端点:
? E ? ? ? 4 ?? 0 a ? i ? ? 4 ?? 0 a ? j

R

r X

无限大均匀带电的圆盘
E ?

?
2? 0


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