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2014年高一上学期数学期末考试题


2014 年高一上学期数学期末考试题
2014.1
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 U ? ?1, 2,3, 4,5?,A={1,2},B = {3, 4}, 则 (CU A) ? B ? (A) ? (B) {5} (C) {3 ,4} (D) {3, 4,5}



2.与集合 A ? {( x, y ) | ? (A) {x ? 1, y ? 0}

?x ? y ? 1 } 表示同一集合的是 ?2 x ? y ? 2
(B) {1, 0} (C) {(0,1)} (D) {( x, y) | x ? 1, y ? 0}

3.棱长为 1 的正方体的外接球的表面积为 (A) ? (B) 2? (C) 3? (D) 4?

4.下列选项中可以作为函数 y ? f ( x ) 的图像的是 y y y y

o

x o

o

x o

o

x o

o

x o

(A)

(B)

(C)

(D)

5.过点 (?1, 2) 且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直的直线方程为 (A) 3x ? 2 y ? 1 ? 0 (B) 3x ? 2 y ? 7 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 (D) 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 6.函数 f ( x) ? (A) ? 0, ?? ?

x ? 1 ? x ? 3 ,则函数 f ( x ? 1) 的定义域为
(B) ?1, ?? ? (C) ? 2, ?? ? (D) ? ?2, ?? ?

7.设 a, b 是两不同直线, ? , ? 是两不同平面,则下列命题错误的是 (A)若 a ? ? , b ∥ ? ,则 a ? b (B)若 a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b (C)若 a ∥ ? , a ∥ ? 则 ? ∥ ? (D)若 a ? ? , b ∥ a , b ? ? ,则 ? ? ? 8.函数 f ( x) ? x ? mx ? 9 在区间 (?3, ??) 单调递增,则实数 m 的取值范围为
2

1

(A) (6, ??)

(B) [6, ??)

(C) (??,6)

(D) (??,6]

?? 1 ? x ? ? ,x ?0 9. f ( x ) ? ?? ,则 f ? f (?2) ? ? ?2? ?x ?1 , x ? 0 ?
(A)

1 2

(B)

5 4

(C) ?3

(D) 5

10. a ? log 0.7 6 , b ? 60.7 , c ? 0.70.6 ,则 a, b, c 的大小关系为 (A) a ? b ? c (B) c ? a ? b (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

11 下列说法中正确 的说法个数 为①由 1, .. ..

3 ,1.5, ?0.5 ,0.5 这些数组成的集合有 5 个元 2

素;②定义在 R 上的函数 f ( x) ,若满足 f (0) ? 0 ,则函数 f ( x) 为奇函数; ③定义在 R 上 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? f (2) , 则函数 f ( x) 在 R 上不是增函数;④函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上满足 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (a, b) 上有零点; ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

12.设 x0 是函数 f ( x) ? x 2 ? log 2 x 的零点,若有 0 ? a ? x0 ,则 f (a ) 的值满足 (A) f (a) ? 0 (B) f (a) ? 0 (C) f (a) ? 0 (D) f (a ) 的符号不确定

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.直线 2 x+ay ? 2 ? 0 与直线 ax ? (a ? 4) y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为_______________. 14.一正多面体其三视图如右图所示,该正多面体的体积为 ___________________.
正视图 左视图

3

1

俯视图

15. 奇函数 f ? x ? 满足 f ?x ? ? 2 x ? 4 x?x ? 0? ,则当 x ? 0 时 f ? x ? 等于
2

(第 14 题图)


2

16. 若实数 a 满足 a 调减区间为

? 21?t (t ? R ) 恒成立,则函数 f ? x ? ? log a ? x
2

? 5x ? 6?

的单



2

三.解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知全集 U ? R , A ? ? x | (Ⅰ)求 A ? B ;

? ?

1 ? ? 2 x ? 4 ? , B ? ? x | log 3 x ? 2? . 2 ?

(Ⅱ)求 CU ( A ? B ) .

18. (本小题满分 12 分)已知 f(x)=loga

1? x (a>0,a≠1), 1? x

(1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性;(3)判断 f(x)单调性并用定义证明. 19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(m, n), B(2,1), C (?2,3) . (Ⅰ)求 BC 边所在直线方程; (Ⅱ) BC 边上中线 AD 的方程为 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 S?ABC ? 7 ,求 m, n 的值. 20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, ?BCD ? 60? , P PA ? 面 ABCD , E 是 AB 的中点, F 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:面 PDE ⊥面 PAB ; (Ⅱ)求证: BF ∥面 PDE . D F A E C B 21(本小题满分 12 分)某网店对一应季商品过去 20 天的销售价格及销售量进行了监测统计发 现,第 x 天( 1 ? x ? 20,x ? N )的销售价格(单位:元)为 p ? ?

?44 ? x,1 ? x ? 6 ,第 x 天 ?56 ? x, 6 ? x ? 20

的销售量为 q ? ?

?48 ? x,1 ? x ? 8 ,已知该商品成本为每件 25 元. ?32 ? x,8 ? x ? 20

(Ⅰ)写出销售额 (Ⅱ)求该商品第 7 天的利润 ; ...t 关于第 x 天的函数关系式; .. (Ⅲ)该商品第几天的利润 最大?并求出最大利润 . .. .. 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a?0)对于任意 x?R 都有 f(1+x)=f(1-x),且函数 y=f(x)+2x 为偶函数;函数 g(x)=1-2x. (I) 求函数 f(x)的表达式 (II) 求证:方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0, 1]上有唯一实数根;(III) 若有 f(m)=g(n),求实数 n 的取值范围.

3

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

C D C C A,A C B D A, A C
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. ?2或4 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) A ? ? x | ?1 ? x ? 2? -----------------------------------2 分 -----------------------------------4 分 ---------------------------------6 分 ---------------------------------9 分 ----------------------------------12 分 14.

3

15. ? 2 x ? 4 x ,
2

16. ?? ?,2?

B ? ? x | 0 ? x ? 9? A ? B ? ? x | 0 ? x ? 2?
(Ⅱ) A ? B ? ? x | ?1 ? x ? 9?

CU ( A ? B) ? ? x | x ? ?1或x ? 9?
18. (本小题满分 12 分)(1)∵

1 ? x >0 1? x

∴-1<x<1 故定义域为(-1,1).…………………………3 分 (2)∵f(-x)=loga 1 ? x =loga( 1 ? x )-1=-loga 1 ? x =-f(x) 1? x 1? x 1? x ∴f(x)为奇函数.……………………………………6 分 1? x (3)设 g(x)= , 1? x

取-1<x1<x2<1,则 g(x1)-g(x2)=
1 ? x1 1 ? x 2 2? x1 ? x 2 ? - = <0 1 ? x1 1 ? x 2 ?1 ? x1 ??1 ? x 2 ?

∴g(x)在 x ? (-1,1)为递增函数……………………………10 分 ∴a>1 时,f(x)为递增函数 0<a<1 时,f(x)为递减函数……………………………………12 分
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) k BC ?

3 ?1 1 ?? ?2 ? 2 2

-----------------------------------2 分

4

1 y ? 3 ? ? ( x ? 2) 2
∴ BC 边所在直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 (Ⅱ) | BC |? -----------------------------------4 分 -----------------------------------5 分 -----------------------------------6 分

(2 ? 2) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 5

S?ABC ?

7 1 | BC | ?h ? 7 , h ? 2 5



|m ? 2n ? 4| 7 ? , m ? 2n ? 11或 m ? 2n ? ?3 1? 4 5

-----------------------------------8 分

?m ? 2n ? 11 ?m ? 2n ? ?3 或? ? ?2m ? 3n ? 6 ? 0 ?2m ? 3n ? 6 ? 0
解得 m ? 3, n ? 4 或 m ? ?3, n ? 0 20. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)∵底面 ABCD 是菱形, ?BCD ? 60? ∴ ?ABD 为正三角形

-----------------------------------10 分

-----------------------------------12 分

E 是 AB 的中点, , DE ? AB PA ? 面 ABCD , DE ? 面ABCD
∴ DE ? AP ∴ DE ? 面PAB ∵ DE ? 面PDE ∴面 PDE ⊥面 PAB (Ⅱ)取 PD 的中点 G ,连结 FG , GE , ∵ F,G 是中点,∴ FG ∥ CD 且 FG = ∴ FG 与 BE 平行且相等, ∴ BF ∥ GE ∵ GE ? 面 PDE ∴ BF ∥面 PDE .

-----------------------------------2 分

-----------------------------------4 分

-----------------------------------6 分 -----------------------------------8 分

1 CD 2

-----------------------------------10 分

-----------------------------------12 分

5

?(44 ? x)(48 ? x),1 ? x ? 6 ? 21.解: (Ⅰ) t ? ?(56 ? x )(48 ? x ), 6 ? x ? 8 ?(56 ? x)(32 ? x ),8 ? x ? 20 ?
(Ⅱ) (56 ? 7) ? (48 ? 7) ? 25 ? (48 ? 7) ? 984 元 (Ⅲ)设该商品的利润为 H ( x)

-----------------------------------5 分

-----------------------------------8 分

?(44 ? x ? 25)(48 ? x),1 ? x ? 6 ?(19 ? x)(48 ? x),1 ? x ? 6 ? ? H ( x) ? ?(56 ? x ? 25)(48 ? x), 6 ? x ? 8 ? ?(31 ? x)(48 ? x), 6 ? x ? 8 ?(56 ? x ? 25)(32 ? x),8 ? x ? 20 ?(31 ? x)(32 ? x ),8 ? x ? 20 ? ?
-----------------------------------11 分 当 1 ? x ? 6 时, H max ( x) ? H (6) ? 1050 当 6 ? x ? 8 时, H max ( x) ? H (7) ? 984 当 8 ? x ? 20 时, H max ( x) ? H (9) ? 902 ∴第 6 天利润最大,最大利润为 1050 元. 22 解:(I)∵对于任意 x?R 都有 f(1+x)=f(1-x), ∴函数 f(x)的对称轴为 x=1,得 b=-2a. ……2 分
2 又函数 y=f(x)+2x= ax +(b+2)x+1 为偶函数, ∴b= -2.a=1. 2 2 ∴f(x)= x -2x+1= (x-1) .

-----------------------------------14 分

…………4 分
2 x

(II)设 h(x)= f(x)+g(x)= (x-1) +1-2 ,
0 ∵ h(0)=2-2 = 1>0,h(1)= -1<0,∴ h(0)h(1)<0. 2 x 又∵(x-1) , -2 在区间[0,1]上均单调递减,

…………6 分

所以 h(x)在区间[0,1]上单调递减, ∴ h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点. 故方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0, 1]上有唯一实数根. (注:若用图象说明,视说理情况酌情给部分分数)
2 x (III)由题可知∴f(x)=(x-1) ?0.g(x)= 1-2 <1,

……………8 分

…………9 分

…………11 分 …………13 分

若有 f(m)=g(n),则 g(n)?[0, 1),
n 则 1-2 ?0,解得 n?0.

故 n 的取值范围是 n?0.

…………14 分

6


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