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湖北省孝感高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题(WORD答案)


孝感高中 2015—2016 学年度高一上学期期中考试

数学试题
命题人:陈文科 考试时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? {x | A. ? ?1, 2?

2x

? 3 ? 1}, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B ? ( x ?1
B. ? ?1, 2? C. ?? 2,2?

)

D. ? ?2, ?1? ) D.27

8? ,则 f ? 3? 的值为( 2.若幂函数 f ? x ? 的图像过点 ?2,
A.6 B.9 3.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是( A. y ? C.16 )

x2 x
?
0.3

B. y ?

? x?

2

C. y ? lg10 )
0.3

x

D. y ? 2

log 2 x

4.三个数 0.3 , ?

, log0.3 ? 的大小顺序是(
?
0.3

A. log0.3 ? ? 0.3 ? ? C. 0.3 ? log0.3 ? ? ?
?

B. log0.3 ? ? ?

? 0.3?

0.3

D. 0.3? ? ? 0.3 ? log0.3 ?

5.2015 年孝感高中学生运动会,某班 62 名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的同 学中,参加田赛的有 16 人,参加径赛的有 23 人,则田赛和径赛都参加的学生人数为( ) A.7 B.8 C.10 D.12 6. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? ax ? 5 在区间 ?1, ?? ? 上是单调递增函数, 则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, 4? B. ? ??, 4 ? ) .B. y ? x ? 1
3

)

C. ? 4, ?? ?

D. ? 4, ?? ?

7. 下列函数中为偶函数的是( A. y ?

x

C. y ? 2

x

D. y ? ln x

高一上学期期中考试试卷·数学 第 1 页 共 4 页

8.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则下图的四个图形中较符合该学生走法的 是( )

9.使得函数 f ( x) ? ln x ? A.(0,1) 10.已知函数 f ( x) ? ? A.0

1 x ? 2 有零点的一个区间是( 2
B.(1,2) C.(2,3)

) D.(3,4) ) D.6

?log 2 ? x ? 1? , x ? 1
x ?1 ?2 ? 2, x ? 1

,若 f (a) ? 1 ,则 f (a ? 2) ? ( C.4

B.3

11.设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?0,1, 2? ,定义运算 A ? B ? ? z | z ?

? ?

? x , x ? A, y ? B ? ,则集合 A ? B y ?
D.16
x

的子集的个数为( A.3

) B.4 C.8

?1? 12. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且在 x ?? ?2,0? 时,f ( x) ? ? ? ? 1 , ?2?
若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 在 x ? ? ?2,6? 上恰有 3 个不同的实数解,则 实数 a 的取值范围为( A. ?1, 2 ? ) B. ? 2, ?? ? C. 1, 3 4

?

?


D.

?

3

4, 2

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答案卡中的横线上) 13.函数 y ? log 2 (3 x ? 2) 的定义域为
3

2 14 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x ? x ? 1, 则 f (?2) 的 值

为 15.若 2
?a



? 5?b ? 10 ,则

1 1 ? ? a b



高一上学期期中考试试卷·数学 第 2 页 共 4 页

16 .函数 f ? x ? ? ax2 ? 2 x ? 1 ,若 y ? f ?x ? 在区间 ? ? , ? 上有零点,则实数 a 的取值范围 2 2 为 .

? 1 1? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本大题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 4x ? 2x?1 ? 8 ; (1)求 f ( f (2)) 的值; (2)若 x ?? ?2,2? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值.

18. (本大题满分 12 分)已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 6? , B ? ?x | 2a ?1 ? x ? a ? 1? ; (1)若 a ? ?2 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

19. (本大题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log3 (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)试判断函数 f ( x) 的奇偶性并证明;

1? x ; 1? x

(3)若 x ? ? ? , ? ,求函数 f ( x) 的值域. 2 2

? 1 1? ? ?

20. (本大题满分 12 分)如图所示,有一块半径为 2 的半圆形钢板,设计剪裁成矩形 ABCD 的 形状,它的边 AB 在圆 O 的直径上,边 CD 的端点在圆周上,若设矩形的边 AD 为 x ; (1)将矩形的面积 S 表示为关于 x 的函数,并求其定义域;
高一上学期期中考试试卷·数学 第 3 页 共 4 页

(2)求矩形面积的最大值及此时边 AD 的长度.

21. (本大题满分 12 分) 定义在 ? ?1,1? 上的函数 f ( x) 满足: ①对任意 a, b ?? ?1,1?, 且 a ? b ? 0 , 都有

f (a) ? f (b) ? 0 成立; ② f ( x) 在 ? ?1,1? 上是奇函数,且 f (1) ? 1 . a?b

(1)求证: f ( x) 在 ? ?1,1? 上是单调递增函数; (2)解关于 x 不等式 f ( x ) ? f ( x ? 1) ; (3) 若 f ( x) ? m2 ? 2am ? 2 对所有的 x ? ? ?1,1? 及 a ? ? ?1,1? 恒成立, 求实数 m 的取值范 围.

1 2

22. (本大题满分 12 分)对于在区间 ? a, b? 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意的

x ? [a,, b] ,均有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b? 上是接近的,否则称 f ( x)
与 g ( x) 在 ? a, b? 上 是 非 接 近 的 . 现 在 有 两 个 函 数 f ( x)?

l to g? x(

t与 3 )

1 )(t ? 0且t ? 1) ,现给定区间 [t ? 2, t ? 3] . x ?t 1 (1)若 t ? ,判断 f ( x) 与 g ( x) 是否在给定区间上接近; 2 g ( x) ? log t (
(2)若 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值的集合 M ; (3)在(2)的条件下,是否存在 t ? M ,使得 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接 近的;若存在,求 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.

高一上学期期中考试试卷·数学 第 4 页 共 4 页

孝感高中 2015—2015 学年度高一上学期期中考试

数学参考答案
一.选择题 1~5 ADCAB 二.填空题 13. ? 6~10 ADBCB 11~12 CD

?2 ? ,1? ?3 ?

14. ?5

15. ?1

16.

? ??,0?

三.解答题 17. 解: (1) f ( f (2)) ? f (0) ? ?9 (2) ? x ?? ?2, 2?
2

………………4 分

?1 ? ? 2x ? ? , 4 ?4 ? ?
2

? f ( x) ? ? 2 x ? ? 2 ? 2 x ? 8 ? ? 2 x ? 1? ? 9
? 当 2 x ? 1 时, f ( x)min ? ?9 ………………7 分
x 当 2 ? 4 时, f ( x)max ? 0 .………………10 分

18. 解: (1)? a ? ?2 (2)? A ? B ? B

? B ?? ? 5, ? 1 ?
?B? A

? A ? B ? ??5 , 6 ?

………………4 分

当 B ? ? 时, 2a ? 1 ? a ? 1

?a ? 2

………………6 分

? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 当 B ? ? 时, ? 2a ? 1 ? ?3 ? a ?1 ? 6 ?
综上所述: a ? ?1 19. 解: (1)由题意知

??1 ? a ? 2

………………12 分

1? x ?0 1? x

??1 ? x ? 1

高一上学期期中考试试卷·数学 第 5 页 共 4 页

? 函数 f ( x) 的定义域为: ? ?1,1? ………………4 分
(2)函数 f ( x) 是定义域内的奇函数

? 函数定义域为 ? ?1,1? ,关于原点对称
对任意 x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? log3

1? x 1? x ? 1? x ? ? log3 ? ? ? f ( x) ? ? ? log3 1? x 1? x ? 1? x ?

?1

? 函数 f ( x) 是定义域内的奇函数
(3)?

………………8 分

1 ? x x ?1 ? 2 2 ? 1 1? ? ? ?1 ? 在 x ? ? ? , ? 上单调递增 1? x 1? x 1? x ? 2 2?
?l o g 3 1? x ?? ? 1?, 1 1? x

?

1? x ?1 ? ? ,3? 1? x ? ?3 ?

? 1 1? ? 函数 f ( x) 在 x ? ? ? , ? 上的值域为: ??1,1? ………………12 分 ? 2 2?
20. 解:(1)? OD ? 2

A D? x

2 ?O A? 4 ? x

2 ? S ?2 x ? 4 ?x , x? ? 0 ,? 2 ………………6 分

(2) S ? 2 x ? 4 ? x2 ? 2 x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x4 ? 4 x2 ? 2 ? x2 ? 2

?

?

?

?

2

?4

? 当 x ? 2 时, Smax ? 4
答:当边 AD 长度为 2 时,矩形面积最大为 4 ………………12 分

21. 解:(1)任取 x1 , x2 ?? ?1,1? ,且 x1 ? x2 ,则 ? x2 ?? ?1,1?

? f ( x) 是定义域内的奇函数

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? 0, x1 ? x2 ? 0 x1 ? ? ? x2 ?

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ?

?

高一上学期期中考试试卷·数学 第 6 页 共 4 页

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
………………4 分

? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是单调递增函数

? ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 由题意可知: ??1 ? x ? 1 ? 1 (2) 2 ? 1 ? x ? x ?1 ? ? 2
? 不等式的解集为: ? ?1,0?

??1 ? x ? 0

………………8 分

(3)? f (1) ? 1 , f ( x) 在 ? ?1,1? 上是单调递增函数

? f ( x) ? 1

? m2 ? 2am ? 2 ? 1 ,即??2am ? m2 ? 3 ? 0 对 a ???1,1? 恒成立
设 g (a) ? ?2am ? m2 ? 3 可知 ?

? g (?1) ? 0 ? g (1) ? 0

?m2 ? 2m ? 3 ? 0 ?? 2 ?m ? 2m ? 3 ? 0

综上所述: m ? ? ??, ?3? ??3, ??? 22. 解:(1)当 t ?

………………12 分

1 3 1 1 2 时, f ( x) ? g ( x) ? log 1 [( x ? )( x ? )] ? log 1 [( x ? 1) ? ] 2 2 4 2 2 2 5 7 1 2 令 h( x) ? log 1 [( x ? 1) ? ] ,当 x ? [ , ] 时, h( x) ?[log 1 6, ?1] 2 2 2 2 4

? | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,

即: f ( x) 与 g ( x) 在给定区间上是非接近的. ………………3 分

(2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1 ,

?t ? 2 ? 3t ? 0 ? ? t ? 2?t ? 0

?0 ? t ? 1
………………6 分

? M ? ? 0,1?

(3)? | f ( x) ? g ( x) |?| logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) | 若 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接近的,则有 | logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) |? 1

高一上学期期中考试试卷·数学 第 7 页 共 4 页

??1 ? logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ? 1

…………(*)

2 2 2 2 令 ? ( x) ? logt ( x ? 4tx ? 3t ) ? log t ?? x ? 2t ? ? t ?

?

?

? 当 0 ? t ? 1 时, [t ? 2, t ? 3] 在对称轴 x ? 2t 的右侧,
即 ? ( x) ? logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ,在 [t ? 2, t ? 3] 上为减函数,

?? ( x)max ? logt (4 ? 4t ) ,?? ( x)min ? logt (9 ? 6t )
所以由(*)式可得

?0 ? t ? 1 ? ?logt (4 ? 4t ) ? 1 ?log (9 ? 6t ) ? ?1 ? t
9? 5 7 12

,解得 0 ? t ?

9 ? 57 12

综 上 所 述 : 两 函 数 在 给 定 区 间 是 接 近 的 , 则 t 的 取 值 范 围 为 :

0?t ?

………………12 分

高一上学期期中考试试卷·数学 第 8 页 共 4 页


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