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数值分析第6章习题



数值分析第六章整合版(黑组) 一、填空题
1 ? x? ? x , 1、已知 P0 ? x? ? 1 , P

P2 ? x ?

? 3x ?

2

? 1?
,根据勒让德多项式的递推关系,则

2

5 x3 ? 3x P ? x? ? 2 求 3 (



解:勒让德多项式的递推关系为 ? n ?1? P n?1 ? x ? ? ? 2n ? 1? xP n ? x ? ? nP n?1 ? x ? ,n=1,2……. 将P 2 ? x? 1 ? x? ? x , P

? 3x ?

2

? 1?

2

5 x3 ? 3x 代入上式即可求出 P 3 ? x? ? 2
个交替为

2、若 P( x) 是 f ( x) ? C[a, b] 的最佳 3 次逼近多项式,则 P( x) 在 [a, b] 上存在 5
正、负偏差点。 (考点:切比雪夫定理)

3、切比雪夫正交多项式可表示为 Tn (x) ? cos(narcosx) , Tn (x) 是最高次幂系数为 2 n ?1
的 n 次多项式。 (考点:切比雪夫多项式性质)

4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点 二、选择题

(考点:最佳一致逼近定理 3)

1、求函数 f ( x) ? ( x ? 1)3 在区间[0,1], x1 , x2 ?[a, b] 上的一次最佳一致逼近多项式(D)
A 0.4358 ? x
B 0.4358 ? 3x C 0.4358 ? 5 x D 0.4358 ? 7 x
1/ 2

b ? ( x)( f ( x)) 2 dx ? 2、设 f ( x) ? C[a, b] f ( x) 的 2-范数定义为:f ( x) 2 ? ? ? ? a ? ? ? ? ( x)

其中

为定义在[a,b]上的(A) B 反函数

A 权函数
x

C 幂函数
0

D 函数

?e , 3、f(x ) -1≤x≤1, 且设 p(x) ?

a ? a x ,求 a a 使得 p( x) 为 f ( x) 于 ?0,1?
1
0, 1

上的最佳平方逼近多项式(A)

1 A: a0 ? e ? e ?1 , a1 ? e 2 3

?

?

?1

1 B: a ? e , a ? ?e ? e 2 3
?1 0 1

?1

?

1 ?1 C: a0 ? e ? e , a1 ? e 3 2

?

?

?1

1 ?1 D: a0 ? e ? e , a1 ? e 2 2

?

?

?1

? ? span? 1,x?
1

解:

2 ? ? ? ?? ? ? ? ? dx ? 2, ? ? xdx ? 0, , ,? ? ? ? x dx ? ?? , ? ? ? 2? ? 3
1 1 2 0, ,0 -1 1 , -1 2 2 -1 1 x ?1 1 x ?1 1 2

? f ,? ? ? ? e dx ? e ? e , ? f ,? ? ? ? x e dx ? 2 e
?1 ?1

?1 0? ? 2 ? ? a 0 ? ?e ? e ? 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 设方程组为: ? 0 ? ? ? ? ?2 3 ? ?a1 ? ? e ?

1 ?1 解得: a0 ? e ? e , a1 ? e 2 3

?

?

?1

三、计算题 1.计算下列函数 f ( x) 关于 C?0,1? 的 f ? , f 1 , f
(1) f (x) ? (x ?1) ; (2) f ( x) ? x ?
3

2

1 . 2

解: (1) f ( x)

?

? max ( x ? 1)3 ? 1 ,
0? x ?1
1

f ( x) 1 ? ? ( x ? 1)3 dx ?
0

1 , 4

2 1 ? 1 ?2 3 ? f ( x) 2 ? ? ? ? ( x ? 1) dx ? ? 。 ? ? 7 ? 0 ?

1

(2) f ( x)

?

? max x ?
0? x ?1

1 1 ? , 2 2

1 121 1 1 1 1 1 1 f ( x) 1 ? ? x ? dx ? ? ? xdx ? ? x ? dx ? ? ? , 0 0 1 2 2 2 2 8 8 4

1 1 ? 1 ?2 f ( x) 2 ? ? ? ( x ? ) 2 dx ? ? 。 2 12 ? 0 ?

1

2、假设

f(x)在[a,b]上连续 ,求 f(x)的零次最佳一致逼近多项式。

解 因 f( x) ∈ C[a,b] ,故 f(x)在[a,b]上有最大 、最小值 ,分别记为 M 与 m .取 P(x) = (M + m)/2 ,可验证 P(x)就是 零次最佳一致逼近多项式。 这 是因为 Max[f(x) -(M + m)]/2=(M - m)/2, Min[f(x) -(M + m)]/2= -(M - m)/2. 有二个交错点组 ,故 P( x) = (M + m)/2即为所求。

3、利用切比雪夫不等式,求 f ? x ? ? x4 ? 3x3 ?1 在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。
n 解: f ? x ? 是四次多项式,利用式 Pn ?1 ? x ?

1 Tn ? x ? ,有 2n ?1 1 1 1 f ? x ? ? P3 ? x ? ? 4?1 T4 ? x ? ? ? ? 8 x 4 ? 8 x 2 ? 1? ? x 4 ? x 2 ? 2 8 8

4 2 4 3 4 2 3 2 所以, P 3 ? x? ? f ? x? ? ? x ? x ? ? ? x ? 3x ? 1 ? ? x ? x ? ? ? 3x ? x ?

? ?

1? 8?

? ?

1? 8?

9 8

4、 f ( x) ? x3 求[-1,1]上关于 ? (x)=1 的最佳平方逼近二次多项式
2 解: Pk ( x) 勒让德多项式: P ,P )/2 0 ( x) ? 1 1 ( x) ? x, P 2 ( x) ? (3x ? 1

1 1 3 x dx ? o, 2 ??1 3 1 3 ? a1 ? ? x?x3dx ? 2 ?1 5 2 5 1 3x ? 1 3 ? a2 ? ? ?x dx ? 0 2 ?1 2
? a0 ?

故 S2 ( x) ?

?

3 5

出题人 电控 14-2 班 邢飞 油振伟 李泽 季淑洁 陈晓静 工商 14-2 班 李群峰 剧苗苗 张茗娇 于晓芳 孙佳 王晨 李阳


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