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数学选修2--1第二章圆锥曲线测试题及答案


新课程高中数学训练题组
(数学选修 2-1)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1. 已知椭圆

圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

则 P 到另一焦点距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为(



x2 y2 ? ?1 A. 9 16
C.

x2 y2 ? ?1 B. 25 16
D.以上都不对 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2
2

B. 3

C. 2 )

D. 3

5.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.

15 D. 10 2 2 6.若抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

) 。

二、填空题
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

3.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
2



4.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
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5.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?



三、解答题
1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

2.在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

3.双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆 的方程。

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4.若动点 P( x, y) 在曲线 4 b

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 2-1) 第一章 常用逻辑用语 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.B 可以判断真假的陈述句 2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3.A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
2 2

②a ?b ? 0? 4.D 5.A 6.A

1 1 3 3 ? ,仅仅是充分条件;③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 a b

否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行 ?p : x ?1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2
?p ? ?q ,充分不必要条件

二、填空题
第 2 页 共 17 页

1.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2.充分条件

A? B

3.必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B 4. [?3, 0]

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时,
?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ? ? ? 4a ? 12a ? 0

5.必要条件 三、解答题

左到右来看: “过不去” ,但是“回得来”

1.解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ? p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ? p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ? p 真; (4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

?

?

q : x2 ? 2x ?1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ?x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?
2 2 2

3.证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a , b , c 都是奇数 得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与 a ? b ? c 矛盾
2 2

2

2

2

2

2

2

2

所以假设不成立,原命题成立 4.证明: ax ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?
2

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4

(数学选修 2-1) 第一章

常用逻辑用语

[综合训练 B 组]

一、选择题 1.B “ ? p ”为假,则 p 为真,而 p ? q (且)为假,得 q 为假 2.B 3.C

2 2 属于无理数指数幂,结果是个实数; 3 和 e 都是无理数; ?x | x是小数? ? R
若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数,为真命题,则逆否命题也为真;

“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题; 若 q ? 1 ? 4 ? 4q ? 0, 即 ? ? 4 ? 4q ? 0 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根,为真命题
2

4.A

a ?1?

1 ? 1, “过得去” ;但是“回不来” ,即充分条件 a
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a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 其中之一

5.D 6.D

a ? b ? 0 的否定为 a , b 至少有一个不为 0
当 a ? 1, b ? 0 时,都满足选项 A, B ,但是不能得出 a ? b ? 1 当 a ? 0 . 5b ,?

C ,但是不能得出 a ? b ? 1 0时,都满足选项 .5

二、填空题 1.①,②,③ A B ? B ,应该得出 B ? A ? q ? 2.充要,充要,必要 q ? s ? r ? ,q q? ; s r 3.若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角
0

s ? , r r ?; q ? s

? r

p

条件和结论都否定

4.必要 5. ?1, 2 ? 三、解答题

q? p

从 p 到 q ,过不去,回得来

? x ? 2 ,或x ? 5 x ?? 2 , 5 或 x? 4 ? 和 x ?? x| x? 1 ? 都是假命题,则 ? ?1 ? x ? 4

,或 5? ,而 2 1 ? 5 ? 4 ? 2 1.解: (1)为假命题,反例: 1 ? 4
(2)为假命题,反例: x ? 0, x ? x 不成立
3 2

m? 0 ? 无实数根 (3)为真命题,因为 m ? 1 ? ? 4? 4
(4)为假命题,因为每个三角形都有唯一的外接圆。 2.解:非 q 为假命题,则 q 为真命题; p且q 为假命题,则 p 为假命题,即

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? x 2 ? x ? 6, 且x ? Z ,得 ? 2 , ?2 ? x ? 3, x ? Z ? ?x ? x ? 6 ? 0

?x ? ? 1, 0 , 或 1,
2

2
2

3.解:令 f ( x) ? x ? (2k ?1) x ? k ,方程有两个大于 1 的实数根

? ? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? 1 ? 2k ? 1 ? ?? ?1 即0 ? k ? 4 2 ? f (1) ? 0 ? ? 1 所以其充要条件为 0 ? k ? 4
4 . 解 : 假 设 三 个 方 程 : x ? 4 a x? 4 a? 3 ? 0 , x ? (a? ) x ? a ? 0 , x ? 2a x? 2 a 都 ?没 0 有实数根,则
2 2 2 2

1 ? 3 ? ? a ? ? 2 2 ??1 ? (4a)2 ? 4(?4a ? 3) ? 0 ? ? 1 3 ? 2 2 ? ,即 ? a ? , 或a ? ?1 ,得 ? ? a ? 1 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 2 3 ? ? 2 ??2 ? a ? 0 ??1 ? (2a) ? 4(?2a) ? 0 ? ?
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3 ? a ? ? , 或a ? ?1。 2

(数学选修 2-1) 第一章

常用逻辑用语

[提高训练 C 组]

一、选择题 1.C ①中有“且” ;②中没有;③中有“非” ;④ 中有“或” 2.A 因为原命题若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 的逆否命题为,若 a , b 都小于 1 ,则 a ? b ? 2 显然为真,所

以原命题为真; 原命题若 a ? b ? 2 , 则 a , b 中至少有一个不小于 1 的逆命题为, 若 a , b 中至少有一个不小于 1 , 则a ? b ? 2, 是假命题,反例为 a ? 1.2, b ? 0.3 3.B
0 当 A ? 170 时, sin170 ? sin10 ?
0 0

1 ,所以“过不去” ;但是在△ ABC 中, 2

1 ? 300 ? A ? 1500 ? A ? 300 ,即“回得来” 2 m 1 4.B 一次函数 y ? ? x ? 的图象同时经过第一、三、四象限 n n m 1 ? ? ? 0, 且 ? 0 ? m ? 0, 且n ? 0 ? mn ? 0 ,但是 mn ? 0 不能推导回来 n n 5.A “ x ? M ,或 x ? P ”不能推出“ x ? M P ” ,反之可以 sin A ?
6.D 当 a ? ?2, b ? 2 时,从 a ? b ? 1 不能推出 a ? b ? 1,所以 p 假, q 显然为真

二、填空题 1.若△ ABC 的两个内角相等,则它是等腰三角形 2.既不充分也不必要,必要 ①若 x ? 1.5, 且y ? 1.5 ? x ? y ? 3 , 1 ? 4 ? 3, 而x ? 1

② x ? 1, 或y ? 2 不能推出 x ? y ? 3 的反例为若 x ? 1.5, 且y ? 1.5 ? x ? y ? 3 ,

x ? y ? 3 ? x ? 1, 或y ? 2 的证明可以通过证明其逆否命题 x ? 1, 且y ? 2 ? x ? y ? 3
3.①,②,③
2 2 2 ①“ k ? 1 ”可以推出“函数 y ? cos kx ? sin kx 的最小正周期为 ? ”

但是函数 y ? cos kx ? sin kx 的最小正周期为 ? ,即 y ? cos 2kx, T ?
2

2? ? ? , k ? ?1 2k

② “ a ? 3 ”不能推出“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 相互垂直” 反之垂直推出 a ?
2 2 2 1 x ?4 x ? 3 ?1 ;③ 函数 y ? 的最小值为 2 ? ? x2 ? 3 ? 2 2 2 5 x ?3 x ?3 x ?3

令 x 2 ? 3 ? t , t ? 3, ymin ? 3 ? 4.充要 5. (??, ?3)

1 4 3 ? 3 3

a3 ? b3 ? ab ? a2 ? b2 ? (a ? b ? 1)(a2 ? ab ? b2 )
2a ? 6 ? 0
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三、解答题 1.解(1)存在一个正方形的四边不相等; (2)平方和为 0 的两个实数不都为 0 ; (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的某个内角不是锐角。 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中都不为 0 ; (5)若 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1或x ? 2 。 2.解: ?p : 1 ?

x ?1 ? 2, x ? ?2, 或x ? 10, A ? ?x | x ? ?2, 或x ? 10? 3

?q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0, x ? 1? m, 或x ? 1? m, B ? ?x | x ? 1? m, 或x ? 1? m?

? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B

A ,即 ?

?1 ? m ? ?2 ? m ? 9,? m ? 9 。 ?1 ? m ? 10

1 1 1 ,即 (1 ? a )b ? , (1 ? b)c ? , 4 4 4 1 1? a ? b 1 1? b ? c 1 (1 ? c)a ? ,而 ? (1 ? a)b ? , ? (1 ? b)c ? , 4 2 2 2 2 1? c ? a 1 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? c)a ? , 得 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 3 3 即 ? ,属于自相矛盾,所以假设不成立,原命题成立。 2 2 4.解: “ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题
3.证明:假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2) ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1
2

当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2

? m ? ?1

(数学选修 2-1)第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题

圆锥曲线

1.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
2 2



A. ?0,???

B. ?0,2?

C. ?1,???

D. ?0,1?

2.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16
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A.

x2 y2 ? ?1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

B.

x2 y2 ? ?1 9 27

C.

D.以上都不对

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 4. F1 , F2 是椭圆 B. 2 ) D. 2 ? 2

?
2



C. 2 ? 1

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 ,则 9 7


Δ AF 1 F2 的面积为( A. 7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2
2 2

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是( A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2 2



B. y ? 3x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3x

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

6.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.



p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

二、填空题
1.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 2 k ?8 9
2 2

2.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。
2

4.对于抛物线 y ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P (a, 0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。
2

5.若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2 x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2
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6.设 AB 是椭圆

则 k AB ? kOM ? ____________。

三、解答题
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 16 12
使 AM ? 2 MF 取得最小值。

2. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线

3.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

4. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。

新课程高中数学测试题组 (数学选修 2-1)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ? )

圆锥曲线

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直, 2.椭圆 49 24
则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22 C. 28 ) D. 24
2

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在
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抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0? B. ? ,1?



?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4.与椭圆 4
A.



x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3

5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( A. (? ) B. ( 0,

15 15 ) , 3 3
2

15 15 15 ) C. (? (? ,0 ) D. ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A.

y ? x ? m 对称,

3 2

1 ,则 m 等于( ) 2 5 B. 2 C. D. 3 2

二、填空题
x2 y2 ? ? 1 的 焦 点 F1 、 F2 , 点 P 为 其 上 的 动 点 , 当 ∠ F1 P F2 为 钝 角 时 , 点 P 横 坐 标 的 取 值 范 围 1.椭圆 9 4

2 2



2.双曲线 tx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___。 3.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 ,则 AB ? ______。
2

4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是
2 2



5.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。
2

三、解答题
180 变化时,曲线 x2 ? y 2 cos ? ? 1怎样变化? 1.当 ?从0 到
0 0

2.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F 1PF 2 的面积。

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3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2

a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . 平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) .证明: ? a a

4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3

两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.D 2.C

圆锥曲线

[基础训练 A 组]

点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p
点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14

4.C

5.B 6.C

二、填空题 1. 1, 或2 当 m ? 1 时,

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
设双曲线的方程为 x ? 4 y ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c ? 25
2 2 2

x2 y 2 ? ? ?1 2. 20 5

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当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4 x2 ? ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 当 ? ? 0 时, ? ?? 4 ? 4 y2
3. (? ?, ?4 ) 4. x ? ?

( 1? , ? ) ( 4? k ) ( ? 1k ? )
2 p ? 6 ,p ? 3 x,? ? p 3 ?? 2 2

0 k, ? (

k 4) ?( ?1 )k ? 或 0,

k 1, ? ?

4

3 2

5. 1

焦点在 y 轴上,则

y 2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k

三、解答题 1.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

2 ? ?1 4 4 k2 ? 2 4 ( ? 2 k 23 ? ) k7 2?

48

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

2.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

3.解:由共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

双曲线方程为

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 2 2 a a ? 25 b 25 ? b

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9
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4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x2 ? 2 y ? 4cos2 ? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4 令 T ? x2 ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ? 当

b 4

b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x 2 ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.D 焦点在 y 轴上,则

圆锥曲线

[综合训练 B 组]

y 2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k

2.C

) a ? 4, c ? 8, b ? 4 3, 当顶点为 (? 4 , 0时,

x2 y 2 ? ? 1; 16 48 y 2 x2 ? ?1 9 27

, 3 ) a ? 3, c ? 6, b ? 3 3, 当顶点为 ( 0 ? 时,
3.C

Δ PF 1F 2 是等腰直角三角形, PF 2 ?F 1F 2 ? 2c, PF 1 ? 2 2c

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?
4.C

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8
7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2
5.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2 2

1 6

1 y; 3

9 2 , y ? 9x 2 p 6.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p 2
设 y ? 2 px, p ?
2

二、填空题

5 1. 4, 或 ? 4

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ,k ? 4 ; 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4
2

第 12 页 共 17 页

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

2. ?1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 8 1 k k ? ? k k

3. (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

4. ? ??,2?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a) 2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4
2

? 0 a,? t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 1 6
5. (?

7 , 0 ) 渐近线方程为 y ? ?

m x ,得 m ? 3 ,c ? 2

7,且焦点在 x 轴上

b2 6. ? 2 a

M( 设 A( x x ,y ) 1 , y 1 ) , B (2 2,则中点

x1 ? x 2 y 1 ?y 2 y ? y1 , ) ,得 k AB ? 2 , 2 2 x2 ? x1
2

kOM ?

y2 ? y1 y 2 ? y12 2 2 2 , k AB ? kOM ? 2 2 , b2 x1 2? a y 1 ?a b , 2 x2 ? x1 x2 ? x1

b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0, 即
三、解答题 1.解:显然椭圆

y2 2 ? y12 b2 ? ? x2 2 ? x12 a2

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 2.解:当 k ? 0 时,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

2 当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;

第 13 页 共 17 页

当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k

3.解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2
16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a

过点 ( 15, 4) ,则
2

y 2 x2 ? a ? 4 ,双曲线方程为 ? ? 1 。 4 5
? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 4.解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x

(数学选修 2-1) 第二章
一、选择题 1.B

圆锥曲线

[提高训练 C 组]

点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
2.D

PF 1 4 , ( P1F ? 1? PF 2 ?
1 2P F ? 1? PF 2 ?96, S 2

P22F ) ? 1 9 6 ,2P ? 1 F
P1 F ? P ?24 2 F

2

P ? 2 F

(22 c ? ) ,相减得 100

3.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得最小值,即 M y ? 2 ,代
入 y ? 2x 得 M x ? 2
2

4.A

c ? 4? 1 ,c ?
2

x2 y2 ? 1过点 Q( 2 , 1 ) , 3且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 2 ? a 3 ? a2
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4 1 x2 2 ? ? 1 ? a ? 2, ? y2 ? 1 a2 3 ? a2 2

5.D

? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? (kx ? 2)2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2
? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1? k ? ?10 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?

6.A

k AB ?

x ? x 1 y 2? y 1 y2 ? y1 1 , ) ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 2 2 x2 ? x1 2 y2 ? y 1 x 2? x 1 ? ? m, y2 ? y 1 ? x 2? x ? 1 2m 2 2 2 x ] x x m ? 2 x 1 ? 2? 1? 2m , 2 3 3m ,? 2

在直线 y ? x? m 上,即

2 2 (x2 2 ? x12 )? x2 ? x1 ? 2 m, 2 [ x (2 ? x 1 )?

二、填空题 1. (?

3 5 3 5 2 2 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 P F 1 ? PF 2 ? 5 5 5e ,? 5 2 ,则 (a ? e x ) ? ( a? e 2 x ) ? ( 22 c) , 2 2 a? 3
2

2 F 1 F 2

而 a ? 3 , b ? 2 ,c ?

2 e 2x ?

2 2 20 e , x ?

1

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

2.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 ? y 2 ? 1 ,a ? 2c, ? 4
3. 2 1 5 ?

5 e? ,

5 2

? y 2 ? 8x ? y ? kx ? 2

, k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ?

4k ? 8 ?4 k2

2 得 k ? ?1,或 2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k 4. ?1, ?

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

5 2
2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1)2 ? 4,(1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

当1? k ? 0 k , ? ? 时,显然符合条件; 1
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当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k 2 ? 0, k ? ?
2

5 2

5.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y 2 ? 8x 上的点 P(t , t 2 )

d?
三、解答题

2t ? t 2 ? 4 5
0

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1)2 ? 3 3 3 5 ? ? ? ? 5 5 5 5
0

1.解:当 ? ? 0 时, cos 0 ? 1 ,曲线 x 2 ? y 2 ? 1为一个单位圆;
0 0 当 0 ? ? ? 90 时, 0 ? cos ? ? 1,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos ?

当 ? ? 90 时, cos90 ? 0 ,曲线 x ? 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0
0 2 0 0 当 90 ? ? ? 180 时, ?1 ? cos ? ? 0 ,曲线

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 1 ? 1 cos ?

2 2 当 ? ? 180 时, cos180 ? ?1 ,曲线 x ? y ? 1为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 2.解:双曲线 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
2 2 2 得 PF 1 ? PF 2 ? PF 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? PF 1 ? PF 2 ? 100

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2 x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

3.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0,


x ? x1 y2 2 ? y12 b2 , , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 ? ? 2 2 2 y2 ? y1 x2 ? x1 a y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

AB 的垂直平分线方程为 y ?

当 y ? 0 时, x0 ?

y22 ? y12 ? x22 ? x12 b2 x ? x ? (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2

第 16 页 共 17 页

而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

4.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13

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