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【全程复习方略】2014年人教A版数学文(广东用)课时作业:2.2函数的单调性与最值]


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课时提升作业(五)
一、选择题 1.函数 f(x)=|x|和 g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( (A) (-∞,0],(-∞,1] (C) [0,+∞),(-∞,1]
1 2

/>)

(B)(-∞,0],[1,+∞) (D) [0,+∞),[1,+∞)

2.给定函数①y=x ,②y=log 1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区
2

间(0,1)上是单调递减的函数的序号是( (A)①② (B)②③
1 ( x ?1

) (D)①④

(C)③④ )

3.函数 f(x)= 1 ?

(A)在(-1,+∞)上单调递增 (B)在(1,+∞)上单调递增 (C)在(-1,+∞)上单调递减 (D)在(1,+∞)上单调递减 4.(2013· 佛山模拟)若函数 y=ax 与 y= ? 在(0, +∞)上都是减函数, 则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( (A)增函数 (C)先增后减 )
b x

(B)减函数 (D)先减后增 )

5.(2013·大同模拟)函数 f(x)= x ? x 2 的单调递增区间为(

(A) [0,1] (C) [ ,1]
1 2

(B)(-∞, ] (D) [0,
1 ] 2

1 2

6.(2013·汕头模拟)函数 f(x)=loga(2-ax)在(0,1)上为减函数,则 实数 a 的取值范围是( (A) [ ,1) (C) (1,2]
1 2

) (B) (1,2) (D) ( ,1)
1 2

7.定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且 f(x+2)的图 象关于 x=0 对称,则( (A)f(-1)<f(3) (C)f(-1)=f(3) ) (B)f(0)>f(3) (D)f(0)=f(3)

8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0, 则函数 f(x)在[a,b]上有( (A)最小值 f(a) (C)最小值 f(b) ) (B)最大值 f(b) (D)最大值 f(
a?b ) 2

9.(2013·广州模拟)设函数 f(x)= ? ? 常数 a 的取值范围是( )

? 2 x ? a, x>2,
2 ? ? x ? a , x ? 2.

若 f(x)的值域为 R,则

(A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B) [-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞) (D) [-2,1] 10.(能力挑战题)已知函数 f(x)=x2-2ax+5 在(-∞,2]上是减函 数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1] ,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数

a 的取值范围为( (A) [1,4] (C) [2,5] 二、填空题

) (B) [2,3] (D) [3,+∞)

11.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是_______. 12.对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}= ?
. ?a,a ? b, 设函数 f(x)=-x ?b,a>b

+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 ___________. 13.(2013·中山模拟)设函数 f(x)= ? 的取值范围是__________. 14.(能力挑战题) 若函数 f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上 单调递减,则实数 a 的取值范围是___________. 三、解答题 15.已知 f(x)=
x (x≠a). x?a

1, ?? x ? a, x<
x ?2 , x ? 1

的最小值为 2,则实数 a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 C.f(x)=|x|= ?
? x,x ? 0, ?? x,x<0,

?函数 f(x)的递增区间是[0,+≦) , g(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, 对称轴是直线 x=1,a=-1<0. ?函数 g(x)的单调递增区间为(-≦,1]. 故选 C. 2.【解析】选 B.①y=x 2 在 x>0 时是增函数, ②y=log 1 (x+1)在 x>-1 时是减函数.
2
1

③y=|x-1|在 x∈(0,1)时是减函数. ④y=2x+1 在 x∈R 上是增函数. 3.【解析】选 B.f(x)可由 ? 沿 x 轴向右平移一个单位,再向上平移一 个单位得到,如图.
1 x

由图象可知函数 f(x)在(1,+≦)上单调递增.

4.【解析】选 B.≧y=ax 与 y= ? 在(0,+≦)上都是减函数, ?a<0,b<0,?y=ax2+bx 的对称轴 x= ? ?y=ax2+bx 在(0,+≦)上为减函数. 5. 【解析】 选 D.由 x-x2≥0 得 0≤x≤1,即函数 f(x)的定义域为 [0,1] , 设 t=x-x2,则 t=-x2+x=-(x- )2+ ,从而 t 在[0, ]上是增函数,在 [ ,1]上是减函数,又 y ? t 在[0,+≦)上是增函数,故函数 f(x)= x ? x 2 的单调递增区间为[0, ]. 【方法技巧】判断或证明函数的单调性(区间) 1.先确定定义域,再根据所给函数的结构特征选择适当的方法求解. 2.结果一定要写成区间的形式,当同增(减)的区间不连续时,不能 用并集符号连结. 6.【解析】选 C.令 u=2-ax,则 y=logau,因为 u=2-ax 在(0,1)上是 减函数,故只需 y=logau 在(0,+≦)上是增函数且 u=2-ax 在(0,1)上恒 为正.故有 ? ?
?a>1, 解得 1<a≤2. u > u 1 ? 2 ? a ? 0, ? ? ? min ?
1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 b <0, 2a

b x

7.【解析】选 A.因为 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,所以 f(x)的图象 关于 x=2 对称,又 f(x)在区间(-≦,2)上是增函数,则其在(2,+≦) 上为减函数,作出其图象大致形状如图所示.

由图象知,f(-1)<f(3),故选 A. 8.【思路点拨】先探究 f(x)在[a,b]上的单调性,再判断最值情况. 【解析】选 C.设 x1<x2, 由已知得 f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2). 又 x1-x2<0,?f(x1-x2)>0, ?f(x1)>f(x2). 即 f(x)在 R 上为减函数. ?f(x)在[a,b]上亦为减函数. ?f(x)min=f(b), f(x)max=f(a),故选 C. 9.【解析】选 A.当 x>2 时,f(x)>4+a,当 x≤2 时,f(x)≤2+a2,由题意 知 2+a2≥4+a,解得 a≥2 或 a≤-1. 10. 【思路点拨】 本题转化为|f(x1)-f(x2)|≤4 恒成立问题,f(x)在 [1,a +1]上有最小值 f(a),则只需 ? ?
?f ?1? ? f ? a ? ? 4, 1) ? f ? a ? ? 4 ? ?f (a+

即可.

【解析】选 B.≧f(x)=x2-2ax+5 的对称轴方程是 x=a. 又≧f(x)在(-≦,2]上是减函数, ?a≥2. 又≧x1,x2∈[1,a+1] , ?|f(x1)-f(x2)|≤{f(x1),f(x2)}max-f(a). 又≧|f(x1)-f(x2)|≤4, ?? ?
?f ?1? ? f ? a ? ? 4, 1)-f ? a ? ? 4. ? ?f (a+

?6 ? 2a ? ? 5 ? a 2 ? ? 4, ? 即? 解得-1≤a≤3. 2 2 6 ? a ? 5 ? a ? 4 , ? ? ? ?

综上可知:2≤a≤3. 11. 【解析】y=-(x-3)|x|
2 ? ?? x +3x ? x ? 0 ?, =? 2 ? ? x ? 3x(x ? 0).

作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0, ]. 答案: [0, ] 12.【解析】依题意,h(x)= ?
0<x ? 2, ?log 2 x, 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x ?? x+3,x>2.
3 2

3 2

是增函数;当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数, ?h(x)=min{f(x),g(x)}在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 答案:1 13.【解析】当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1,由题意知,a-1 ≥2, ?a≥3. 答案: [3,+≦) 14.【思路点拨】画出函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的图象,确定其单调 区间,再列不等式求解. 【解析】由于 f(x)=|logax|在(0,1]上递减,在(1,+≦)上递增,

所以 0<a<3a-1≤1,解得 <a≤ ,此即为 a 的取值范围. 答案:( , ] 15.【解析】(1)任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=
2 ? x1 ? x 2 ? x1 x ? 2 ? . x1+2 x 2+2 (x1+2)(x 2+2)
1 2 2 3

1 2

2 3

≧(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ?f(x1)<f(x2), ?f(x)在(-≦,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=
x1 x a(x 2-x1 ) - 2 = . x1 ? a x 2-a (x1-a) ? x 2 ? a ?

≧a>0,x2-x1>0, ?要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,?a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1] . 【变式备选】已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x +y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . (1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【解析】(1)方法一:≧函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y) =f(x+y), ?令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0,
2 3

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2). 又≧x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ?f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 方法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又≧x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ?f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ?f(x)在 R 上为减函数. (2)≧f(x)在 R 上是减函数, ?f(x)在[-3,3]上也是减函数, ?f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ?f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

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