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正弦定理和余弦定理讲义 打印版


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正弦定理和余弦定理讲义
解三角形的大前提背景:内角和定理: 在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ? ;sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C), A B+C A B+C tanA=-tan(B+C).sin2=cos 2 ,cos2=sin 2 . . 考点一:1.正弦定理: ,其中 R 是 2.变形为: (1)a∶b∶c= ;(边化角)a=_______,b=_______,c=_____; (角化边)sin A=_______, sin B=______, sin C=_______ 注:正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它 边或角.(情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分.大边对大角) 3.解三角形时,三角形解的个数的判断 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形

关系式 解个数

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

例 1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答。 (1) a ? 7, b ? 8, A ? 105
?

(2) a ? 10, b ? 20, A ? 80

?

(3) b ? 10, c ? 5 6, C ? 60?

(4) a ? 2 3, b ? 6, A ? 30?

2.在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c.

考点二:余弦定理 a2=__________,b2=_______,c2=________. 余弦定理可以变形为:cos A=__________,cos B=________,cos C=_________.或者 注:1.已知两边 b,c 与其夹角 A,由 a2=b2+c2-2bccosA, 求出 a,再由正弦定理,求出角 B,C. 2.已知三边 a、b、c,由余弦定理可求出角 A、B、C. 例.在△ABC 中,a=1,b= 7 ,B=60°,求 c.

考点三:判断三角形的形状 解题思路:一般考虑两个方向进行变形:(1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结 合使用;(2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 (思考:如何判断锐、直、钝三 角形;结合三角变换判断等腰,等边等) 例 1.在△ABC 中,bcosA= a cosB,试判断三角形的形状. cosA b 2.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 的形状是.( cosB a 3.△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈

)

(0,π 2),则△ABC 的形状是(

)

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4.已知在△ABC 中, cos

2

A b?c ? ,则△ABC 的形状是 2 2c

考点四:三角形的面积问题

S?ABC ?

abc 1 1 1 1 ab sin C ? : bc sin A = ca sin B = 4R (R 为外接圆半径)=2(a+b+c)·r(r 内切圆半 2 2 2
(1)求△

径) A 2 5 例 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , AB ? AC =3. 2 5 ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

cos B b 2.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- .(1)求角 B 的大小; cos C 2a+c 若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

考点五:三角形中的三角变换 题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值. 三角变换公式:1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式: 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式: 3.辅助角公式:
例 1.在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求 y 的最大值.

2.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小;(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

??? ? ??? ? 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, AB ? BC =8,∠BAC=θ,a=4. 2 π 2 (1)求 b· c 的最大值及 θ 的取值范围;(2)求函数 f(θ)=2 3sin ( +θ)+2cos θ- 3的值. 4

考点六:综合问题
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坚持规范解题;坚持理解与纠错! 例.(2005 年全国高考卷三试题)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC

B?

??? ? ??? ?

3 . 4

?

3 ,求 a+c 的值. 2

考点七:实际应用
(一.)测量问题 例 1. 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点, 望对岸标记物 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求河的 宽度。

C

(二.)遇险问题 例 2.某舰艇测得灯塔在它的东 15° 北的方向,此舰艇以 30 海里/小 时的速度向正东前进, 30 分钟后又测得灯塔在它的东 30° 北。 若此灯塔 周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?

A 图1

D

B

北 西 A 南 15° B 30° 图2 北 东 C

3.(2007 山东高考)如图,甲船以每小时 30

2 海里的速度向正北方航
A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处, A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2

行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 处,此时两船相距 10

120? A 2

B2 B1


105? A 1


2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

跟踪训练 一、选择题 1.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinB· sinC,则 A 的取值范围是( ) π π π π A.(0, ] B.[ ,π) C.(0, ] D.[ ,π) 6 6 3 3 2.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值 为( A. 3 3 ) B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6 )

a+b+c 3.在△ABC 中,若∠A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 的值为( sin A+sin B+sin C
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26 3 A. 3

2 39 B. 3

C.

39 3

13 3 D. 3 ( )

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120°,c= 2a,则 A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 )

5.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( 15 3 3 15 11 A. B. C. D. 4 4 16 16 二、填空题

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc, 则∠A=________,△ABC 的形状为________. b a tan C tan C 7.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 + 的值是_______. a b tan A tan B 1 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2),则 A=_______ 4 AC 9.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 的值等于____,AC 的取值范围为 . cosA 10. 已知△ABC 的一个内角为 120° , 且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ABC 的面积为 三、解答题 11.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角,且 3b=2a· sin B. (1)求 A; (2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b2+c2 的值. 12.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知 a2-c2=2b,且 sin B=4cos Asin C,求 b. .

B+C 7 2 13.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin 2 -cos 2A=2. (1)求∠A 的度数;(2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.

14.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 b= (1)求角 B 的大小;(2)求 a+c 的取值范围.

3 π π ,tanA+tanC+tan =tanA· tanC· tan . 2 3 3

15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 p=(c-2a,b),q=(cosB,cosC),p⊥q. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=2 3,求△ABC 面积的最大值.

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