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浙江省嘉兴市第一中学2015届高考适应性考试数学(文)试题


嘉兴一中 2015 届高考数学模拟试题(文)
2015.5 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 2 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 参考公式:球的表面积公式: S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式: V ?
4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径. 3<

br />
柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式: V ? 台体的体积公式: V ? 底面积, h 表示台体的高.
1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下 3

选择题部分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
x 1.已知集合 A ? {x y ? 2 } , B ? { y y ?

x2 ? 4 x ? 3} ,则 A ? B ? (▲)

A. x x ? 0

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? 3或x ? 1

?

?

D. x x ? 3或0 ? x ? 1

?

?

2.已知点 A ? (?1,1) 、 B ? (1, 2) 、 C ? (?3, 2) ,则向量 AB 在 AC 方向上的投影为(▲) A. ?

??? ?

????

3 5

B.

3 5 5

C. ?

3 5 5

D.

3 5

3.已知 a ,b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a >b”的(▲) A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设 l 是直线, ? ,β 是两个不同的平面,则下列判断正确的是(▲) A. 若 l ∥ ? , l ∥β,则 ? ∥β B. 若 ? ⊥β, l ∥ ? ,则 l ⊥β C. 若 ? ⊥β, l ⊥ ? ,则 l ⊥β D. 若 l ⊥ ? , l ⊥β,则 ? ∥β 5. 下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递减函数是(▲) A. f ? x ? ? x
1 2

B. f ? x ? ? x

3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

D. f ? x ? ? 3

x

6. 函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) 的图象可由函数 y ? sin 2 x 的图象(▲)
B. 向右平移

A. 向左平移

?
3

个单位而得到

?
3

个单位而得到

C. 向左平移 7. 设 an ? A.20

?
6

个单位而得到

D. 向右平移

?
6

个单位而得到

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S2 ,?, S80 中,正数的个数是(▲) n 20
B.40 C.60 D.80

8.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在 a2 b2

一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF 1 |? 3 | PF 2 | ,则双曲线的 离心率为(▲) A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

非选择题部分 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分.) 9. 函数 y ? 2 cos( 单调递增区间是

?
3

?

1 x) , 则该函数的最小正周期为 2
.



, 对称轴方程为







10.已知点 P (a, b) 关于直线 l 的对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x 2 ? y 2 ?6 x ? 2 y ? 0 关于直 线 l 对称的圆 C ? 的方程为 ▲ ;圆 C 与圆 C ? 的公共弦的长度为 11.已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图 8 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形.则该几何体的表面积是 ▲ ;体积是 ▲ .
4



.

12.设函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 2), x ? 0 是一个奇函数, 满 ? ? ax( x ? 2), x ? 0
4 4

正视图

侧视图

足 f (2t ? 3) ? f (4 ? t ) ,则 a ? ▲ , t 的取值范围是 ▲

俯视图

? y ? ? x ? 2, ? 13.已知不等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域为面积等于 1 的三角形,则实数 k 的值为 ?x ? 0 ?
▲ .

y2 x2 14.设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 3 ,则 的最小值是 ▲. ? x ?1 y ?1
15.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在该正 方体的表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 ▲ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 15 分)已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 ,

sin C(cos B ? 3 sin B) ? sin A .
(1)求角 C 的大小; (2)若 cos A ?

2 2 ,求边 b 的长. 3

17.(本题满分 15 分) 如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? FD ? 5a , FE ? 6a . (Ⅰ)证明: EB ? FD ; (Ⅱ)已知点 Q, R 分别为线段 FE, FB 上的点, 使得 FQ ? ? FE, FR ? ? FB, 求当 RD 最短时, 平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值.

F

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

R Q A E B C

D

18.(本题满分 15 分) 等比数列.

已知等差数列{ an }的各项均为正数, a1 =1,且 a3 , a4 ?

5 , a11 成 2

(I)求 an 的通项公式, (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. an an ?1

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任
2

意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程;(Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ,证明直线 AE 过 定点,并求出定点坐标.

2 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ?

9 , g ( x) ? 2 x ? k ,其中 k ? R 4

(1)若 f ( x ) 在区间 ?1, 4 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围; (2)设函数 p( x) ? ?

? f ( x), x ? 0 ,是否存在实数 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在唯 ? g ( x) , x ? 0

一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 p( x1 ) ? p( x2 ) ?若存在,求出 k 的值,若不存在,请说 明理由.

嘉兴一中 2015 届高考数学模拟试题(文)
2015.5

答题卷
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

考号

二、填空题:本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分

11_____ 13______

线

9 ______

__ ___ ___ ___ __.

_____.___ _____. 14___

_____.

10 ___ 12_____ ___.___

_____. ___ _____.

_____.

_____.

15___

_____.

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 15 分)已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 ,

sin C(cos B ? 3 sin B) ? sin A .

姓名

(1)求角 C 的大小;



(2)若 cos A ?

2 2 ,求边 b 的长. 3

班级

学校



17.(本题满分 15 分) 如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? FD ? 5a , FE ? 6a . (Ⅰ)证明: EB ? FD ; (Ⅱ)已知点 Q, R 分别为线段 FE, FB 上的点, 使得 FQ ? ? FE, FR ? ? FB, 求当 RD 最短时, 平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值.

F

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

R Q A E B C

D

18.(本题满分 15 分) 已知等差数列{ an }的各项均为正数, a1 =1,且 a3 , a4 ? 等比数列. (I)求 an 的通项公式, (II)设 bn ?

5 , a11 成 2

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. an an ?1

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任
2

意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程;(Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ,证明直线 AE 过 定点,并求出定点坐标.

2 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ?

9 , g ( x) ? 2 x ? k ,其中 k ? R 4

(1)若 f ( x ) 在区间 ?1, 4 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围; (2)设函数 p( x) ? ?

? f ( x), x ? 0 ,是否存在实数 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在唯 ? g ( x) , x ? 0

一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 p( x1 ) ? p( x2 ) ?若存在,求出 k 的值,若不存在,请说 明理由.

嘉兴一中 2015 届高考数学模拟试题(文)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. B 2. C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.D 8.D

二、填空题(9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分) 9. 4? , x ?

2? 2? ? 4? ? ? 2k? , k ? ? , ? ? ? 4k? , ? 4k? ? , k ? ? ; 3 3 ? 3 ?
11. 64 ? 32 2,

10. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 , 38 12. 1 , ( , ?? ) ; 13. ?

160 3

1 3

1 ; 2

14.

9 ; 5

15.2+ 5

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (15 分)(Ⅰ) 由题意得

Q sin C(cos B ? 3 sin B ? sin A

?sin c c oB s?

3 sC in B s? in
sB in C co ? s
5? 6

B ? sin C (
3 Ct ? an ? 3

)

…………………2 分

? ? 3 sin B si C n?

………………4 分 …………………7 分

?0? C ??
(Ⅱ)? cos A ?

?C ?
2 2 3

? s i nA ?

1 3

………………8 分 ………………9 分 ……………11 分 ……………13 分

Q sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 3 2 2 1 2 2? 3 ? ? (? )? ? ? 3 2 3 2 6
又由正弦定理得:

b c ? sin B sin C

所以 b ?

4 2?2 3 3

……………15 分

17.(1)证明:∵ E 为弧 AC 的中点, AB ? BC , AC 为直径,∴ EB ? AD . ∵ EF 2 ? 6a2 ? ( 5a)2 ? a2 ? BF 2 ? BE 2 ,∴ EB ? FB. ∵ BF ? BD ? B, ∴ EB ? 平面 BDF . ∵ FD ? 平面 BDF , ∴ EB ? FD.

(2)解法一:如图,以 B 为原点, BE 为 x 轴正方向,过 B 作平面 BEC 的垂线,建立空间 直角坐标系, 由此得 B(0, 0, 0) , C (0, a,0) , D(0, 2a, 0) , E (a,0,0). ∵ FD ? FB, BC ? CD, ∴ FC ? BD. ∴ FC ? 2a. 当 RD ? FB 时, RD 最短.此时 RD ?

??? ?

2a ? 2 a 4 5 ? a 5 5a

z

? BR ?

3 2 5 a ?? ? . 5 5 ??? ? 3 ??? ? ??? ? 3 ??? ? 2 4 ∵ FQ ? FE , FR ? FB, ∴ R (0, a, a ), 5 5 5 5 ??? ? 3 ??? ? 3 ??? ? 8 4 RQ ? BE ? ( a, 0, 0). ∴ RD ? (0, a, ? a ). 5 5 5 5 ?? 设平面 RQD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z),
则 n1 ? RD ? 0, n1 ? RQ ? 0, ∴ n1 ? (0,1, 2). ∵平面 BED 的法向量为 n2 ? (0,0,1), ∴ cos n1 , n2 ?

y

x

?? ??? ?

?? ??? ?

??

?? ?

?? ?? ?

?? ?? ? 2 5 5 . ∴ sin n1 , n2 ? . 5 5 5 . 5
R Q

F

∴平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 解法二:(确定二面角的平面角—综合方法一) 过 D 作 HD ∥ QR .

∵ FQ ? ? FE, FR ? ? FB, ∴ QR ∥ EB. ∴ HD ∥ EB. A ∵ D ? 平面 BED ? 平面 RQD , ∴ HD 为平面 BED 与平面 RQD 的交线. ∵ BD, RD ? 平面 BDF , EB ? 平面 BDF , ∴ HD ? BD, HD ? RD. ∴ ? RDB 为平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角.
E

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

G B C H

D

2 5a BR 5 5 . ? ? ?BRD 是直角三角形,? sin ?BDR ? ? ? BD 2a 5
18、(本题满分 15 分)【答案】【解析】(Ⅰ) a n ?

3n ? 1 2n ;(Ⅱ) Tn ? . 2 3n ? 2

解析:(Ⅰ)设等差数列公差为 d ,由题意知 d ? 0 , 因为 a3 , a 4 ?

5 5 , a11 成等比数列,所以 (a 4 ? ) 2 ? a3 a11 , 2 2

7 ? ( ? 3d ) 2 ? (1 ? 2d )(1 ? 10d ) ,即 44d 2 ? 36d ? 45 ? 0, 2 3 15 所以 d ? (d ? ? 舍去), 2 22 3n ? 1 所以 a n ? . 2
(Ⅱ) bn ? 所以 Tn ?

……… 4 分 ……… 6 分

1 4 4 1 1 ? ? ( ? ) , ……… 8 分 a n a n ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

4 1 1 1 1 1 1 2n ( ? ? ? ??? ? )? . . ……… 12 分 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 5 3 3n ? 1 【思路点拨】(Ⅰ)由题意知 (a 4 ? ) 2 ? a3 a11 ,从而可得公差 d ? ,所以 a n ? ; 2 2 2
(Ⅱ)将 bn ?

4 4 1 1 列项为 ( ? ) ,求和即得 Tn 的值. 3 3n ? 1 3n ? 2 (3n ? 1)(3n ? 2)
P , 0) ,设 D(t , 0)(t ? 0) ,则 FD 的中点为 2

19.(本题满分 15 分)解析:(I)由题意知 F (

(

p ? 2t , 0) , 4

因为 | FA |?| FD | ,由抛物线的定义知: 3 ? 由

p ? 2t ? 3 ,解得 p ? 2 . 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . 4

p p ?| t ? | ,解得 t ? 3 ? p 或 t ? ?3 (舍去). 2 2

(II)(ⅰ)由(I)知 F (1, 0) ,设 A( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0), D ( xD , 0)( xD ? 0) , 因为 | FA |?| FD | ,则 | xD ? 1|? x0 ? 1 ,由 xD ? 0 得 xD ? x0 ? 2 ,故 D ( x0 ? 2, 0) , 故直线 AB 的斜率为 k AB ? ?

y0 y , 因为直线 l1 和直线 AB 平行, 设直线 l1 的方程为 y ? ? 0 x ? b , 2 2

代入抛物线方程得 y 2 ?

8 8b 64 32b 2 y ? ? 0 , 由题意 ? ? 2 ? ? 0 ,得 b ? ? . y0 y0 y0 y0 y0

设 E ( xE , yE ) ,则 yE ? ?

y - y0 4y 4 4 2 , xE ? 2 .当 y0 = 2 0 , ? 4 时, k A E = E y0 y0 xE - x0 y0 - 4
4 y0 4y 2 ? 4 x0 ,整理可得 y ? 2 0 ( x ? 1) , ( x ? x0 ) ,由 y0 2 y0 ? 4 y0 ? 4

可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ?

2 ∴直线 AE 恒过点 F (1, 0) .当 y0 ? 4 时,直线 AE 的方程为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) ,

所以直线 AE 过定点 F (1, 0) .

20.(14 分)法一、由题意知(Ⅰ) ? ? k 2 ? 2k ? 8 ? (k ? 4)(k ? 2)

…………2 分

f (4 ?) 时, 0 ①当 f ( 1 )

9 57 ?k? . 4 16

…………3 分

②当 f (1) f (4) ? 0 时, k ?

9 57 9 , 或k ? , 经检验 k ? 符合. …………4 分 4 16 4
…………5 分

③当 ? ? 0, 时, k ? 2或k ? ?4 ,经检验 k ? 2 符合.

?? ? 0 ? k ?1 ?1 ? ?4 9 ? ④当 ? 时,解得 2 ? k ? . 2 4 ? f (1) ? 0 ? ? ? f (4) ? 0
综上 2 ? k ?

…………6 分

57 16
2

……8 分

法二、函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ?

9 在区间 (1, 4) 上有零点,转化成 4

? 1 函数 h( x)? k 与 ? ( x) ?
而 ? ( x) ? x ? 又 ? (1) ?

x2 ? x

9 4 在 ( 1 , 4有交点, )

9 3 3 在区间 (1, ) 上单调递减,在 ( , 4) 上单调递增, 4x 2 2

13 73 3 , ? (4) ? ,? ( ) ? 3 , 4 16 2 73 73 ,则 3 ? k ? 1 ? , 16 16

所以 3 ? ? ( x) ? 得2 ? k ?

57 ……8 分 16

(Ⅱ)显然 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递增,其值域为 ? ?k , ?? ? ……10 分

? f ( x) 在 ? ??,0? 上单调递减,

k ?1 ? 0 即 k ? ?1 . 2
……12 分

?9 ? ? f ( x) 在 ? ??,0? 上的值域为 ? , ?? ? ?4 ?
9 ?k ? ? 4
而 k ? ?1 ,所以这样的 k 不存在。

……14 分


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