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【北师大版】高中数学必修五:第1章《数列》1-3-7【ppt课件】


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45分钟作业与单元评估

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第一章

数列

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数列

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§3

等比数列

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3.1

等比数列

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第7课时 等比数列的概念及通项公式
限时:45分钟 总分:100分

作 业 目 标

作 业 设 计
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基础训练 作 业目标

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1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系.

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基础训练 作 业设计

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一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 9 1 2 1.某一等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个 数列的项数为( A.3 C.5 ) B.4 D.6

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解析:由 an=a1· q 解得 n=4.
答案:B
n-1

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1 9 2 n -1 得 = ×( ) , 3 8 3

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2.若 k,k+1,3k+3 是一等比数列的前三项,则该数列的 第四项是( A.12 C.13.5 ) B.-13.5 D.-27

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解析:由题意得(k+1)2=k(3k+3), 1 解得 k=-1(舍去),k=2, 1 3 9 即该数列的前三项为2,2,2. 因此该数列的公比 q=3. 9 故所求第四项为2×3=13.5.

答案:C

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3. 在等比数列{an}中, 若 a4=8, q=-2, 则 a7 的值为( A.-64 C.-48 B.64 D.48

)

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解析:依题意得 a7=a4q3=8×(-2)3=-64.

答案:A

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4.(2011· 辽宁卷)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比 为( ) A.2 C.8 B.4 D.16

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解析:由 anan+1=16n,知 a1a2=16, a2a3=162,后式除以前式得 q2=16,∴q=± 4. ∵a1a2=a2 1q=16>0,∴q>0,∴q=4.

答案:B

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5.已知数列{an}是首项为 a1 的等比数列,则能保证 4a1, a5,-2a3 成等差数列的公比 q 的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 )

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解析:∵4a1,a5,-2a3 成等差数列, ∴2a5=4a1+(-2a3). 设数列{an}的公比为 q,则 a5=a1q4,a3=a1q2, ∴2a1q4=4a1-2a1q2. ∵a1≠0, ∵q4+q2-2=0,∴q2=1 或 q2=-2(舍去), ∴q=1 或 q=-1.选 C.
答案:C

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6.若等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+a2+a3=21, 则 a3+a4+a5 的值为( A.21 C.63 B.42 D.84 )

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解析:由 a1+a2+a3=21,得 a1(1+q+q2)=21, ∴1+q+q2=7,∴q=2 或 q=-3(舍), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=84.

答案:D

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二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通 项 an=________.

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- -

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解析: 由等比数列的性质可知 an=a1qn 1=a2qn 2=…=amqn
-m

?a10=a3q10-3?384=3×q7?q7=27?q=2?an=3· 2n-3.

答案:3· 2n

-3

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1 8.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 2 a9+a10 成等差数列,则 =________. a7+a8

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解析:∵由 a1+2a2=a3,得 a1+2a1q=a1q2, ∴q2-2q-1=0. 2± 8 解得 q= =1± 2. 2 ∵q>0,∴q=1+ 2. a9+a10 a7· q2+a8· q2 ∴ = =q2=(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 a7+a8

答案:3+2 2

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9.已知在等比数列{an}中,a2=3,a5=24,则数列 a1,a4, a7,a10,…的通项公式 bn 为________.

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解析:∵a5=a2q3,∴q3=8,即 q=2. 故 an=a2qn-2=3×2n-2. 由题意,知数列 a1,a4,a7,a10,…的通项 bn=a3n-2=3×23n-4.

答案:bn=3×23n-4

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三、解答题(共 46 分,写出必要的文字说明、计算过程或 演算步骤.) 10.(本小题 15 分)已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7, a1a2a3=8,求 an.

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3 解:法一:∵a1a3=a2 ,∴ a a a = a 2 1 2 3 2=8,∴a2=2.

? ?a1+a3=5, 从而? ? ?a1a2=4,

解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. 当 a1=1 时,q=2; 1 当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2n-1 或 an=23-n.

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法二:由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2,代入已知
2 ? ?a1+a1q+a1q =7, 得,? ? a1q· a1q2=8, ? a1 · 2 ? ?a1?1+q+q ?=7, 即? 3 3 ? ?a1q =8,

2 ? ?a1?1+q+q ?=7,① 即? ? ?a1q=2,②

2 将 a1= 代入①,得 2q2-5q+2=0, q 1 所以 q=2 或 q=2.

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a =4, ? ? 1 或? , 1 q=2 ? ?

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? ?a1=1, 由②得? ? ?q=2,

故 an=2n-1 或 an=23-n.

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11.(本小题 15 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1, 求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式.

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证明:∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an. ∴an+1=2an. 又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0. an+1 ∵由 an+1=2an 知 an≠0,∴ =2. an ∴{an}是等比数列. ∴an=-1×2n 1=-2n 1.
- -

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12. (本小题 16 分)已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn} 的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10. (1)求实数 a1 和 d 的值; (2)b16 是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是, 请说明理由.

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- -

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解:(1)an=a1+(n-1)d,bn=b1dn 1=a1dn 1,
? ?a4=b4, 由? ? ?a10=b10
3 ? ?a1+3d=a1d .得? 9 ? ?a1+9d=a1d



3 ? ?3d=a1?d -1? 即? 9 ? ?9d=a1?d -1?

,两式相除,

整理得 d6+d3-2=0,解得 d3=1(舍去)或 d3=-2, ∴d=- 2.故 a1= 2,d=- 2. 3 3 3

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(2)由(1)得数列{an}、{bn}的通项公式分别为 an=(2-n) 2,bn=-(- 2)n. 故 b16=-( 2) =-32 2,即(2-n) 2=-32 2, 解得 n=34.故 b16 为{an}中的第 34 项. 3
16

3

3

3

3

3

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