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高一函数知识结构图


函数知识结构图

设 A, B 是非空的数集, 如果按照某 种确定的对应关系 f , 使对于集合
A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中

增函数与减函数: 定义: 对于函数 f ( x) 的 定义域 I 内某个区间上的任意两个自变 量的值 x1 , x 2 , (1)若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) &

lt; f ( x2 ) , 则说 f ( x) 在这个区间上是增函数。 (2)若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则说 f ( x) 在这个区间上是减函数。⑧ 单调性 (1)函数最大值首先应该是 某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; (2)函数最大值应该是所有 函数值中最大的,即对于任 意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ⑨

都 有 唯一确定的数 f ? x ? 和它 对 应,那么称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作
y ? f ? x?



最 值

②区间表示集合: [a,b], (a,b) [a,b) ,(a,b],(? ,+ ? )
(??, a) ? ?b, ???

奇偶性 函数的基本性质 对于定义域内任意 一个 x ,都有 (1) f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做 偶函数;偶函数图象 关于 y 轴对称。 (2) f (? x) ? ? f ( x) , 映射 那么函数 f ( x) 就叫做 奇函数;奇函数图象 关于原点对称。⑩ 函数的表示法 设 A, B 是非空的数集,如果按 解析法:用数学表达 式表示两个变量之间 的对应关系。 图象法:用图象表示 两个变量之间的对应 关系。 列表法:列出表格来 表示两个变量之间的 对应关系。⑥ 某一个确定的对应关系 f ,使 对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定 的元数 y 和它对应,那么称对 应 f : A ? B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射。 ⑦

一个函数的构成 要素为:定义域, 对应关系和值域。 如果两个函数的 定义域相同, 并且 对应关系完全一 致, 这两个函数相 等。③

函 数 及 其 表 示 定义域 和值域

函数

x 的取值范
围叫做函数
y ? f ( x) 的

定义域;④ 函数值 y 的集 合叫做函数 y=f(x) 的 值 域。 ⑤

正分数指数幂 a n ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; 负分数指数幂 a
m ?n

m

?

?



?

1 a
m n

?

1
n

am

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

指数函数及其 性质
函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是 自变量,函数定义域是 R ② 指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质③ 对数函数的定义:⑤ 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1)

基本初等 函数知识 结构图

0 的正分数指数幂等于 0,

0 的负分数指数幂没有意义.

指数与指 数幂运算 指数函数 幂函数

指数函数 及其性质

指数函数及其 性质

y ? x?
( ? 为 常 数 ) ⑦ 幂函数 的图象 和性质 ⑧ 幂函数 基本初等函数

对数函数 对数函数 及其性质

对数与对 数运算④

叫做对数函数; 对数函数

y ? loga x (a ? 0且a ? 1)
(1)负数与零没有对数 (2) loga 1 ? 0 , loga a ? 1
log N (3)对数恒等式: a a ? N

的图象和性质: ⑥ 及其性质 对数换底公式:

(4)常用对数: log10 N 简记作 lgN (5)自然对数: loge N 简记作 lnN
王新敞
奎屯 新疆

loga N ?
王新敞
奎屯 新疆

logm N logm a
新疆

( a > 0 ,a ? 1 , m > 0 ,m ? 1,N>0)

王新敞
奎屯

积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)

两个常用的推论:① loga b ? logb


a ? 1,

log a m b n ?

n log a b m
王新敞
奎屯 新疆

( a, b > 0 且均不为 1)

x ③ y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质

王新敞
奎屯

新疆

a>1
6

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

⑥对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 a>1
3
3

0<a<1
2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 性 质 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0
x ? (0,1) 时 y ? 0 x ? (1,??) 时 y ? 0 x ? (0,1) 时 y ? 0 x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是增函数 ⑧幂函数图象和性质:
y?x

在(0,+∞)上是减函数

y ? x2
R ? y | y ? 0? 偶 ? ??,0? 减 ?0, ??? 增

y ? x3
R R 奇 增 (1,1)

y ? x2

1

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点

R R 奇 增

?x | x ? 0? ? y | y ? 0?
非奇偶 增

?x | x ? 0? ? y | y ? 0?
奇 ? ??,0? 减 ?0, ??? 减

函数的应用结构图
函数的应用 函数与方程 方 程 f ( x) ? 0 有实根等价于 函 数 y ? f ( x) 的 图 象与 x 轴 有交点等价于
y ? f ( x) 有 零

函数模型

点。①

判断函 数零点 个数或 零点所 在区间 ②

零点存在性定 理 : 函 数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上 连 续 有 f (a)?f (b) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b ? 内 有 零点 ③

二分法求 函数的零 点: 应用零点 存在性定 理不断使 区间逼近 零点。④

几类不同增长的函 数模型:对数函数 指 y ? loga x ? a ? 1? , 数 函 数 x y ? a (a ? 1) ,幂函 数 y ? xn (n ? 0) 在 区间上 ? 0. ? ?? 都是 增函数, 但这三类函 数的增长速度是不 同的, 随着 x 的值不 断增大, 指数函数的 增长速度大于幂函 数, 幂函数的增长速 度大于对数函数。 ⑤


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