当前位置:首页 >> 数学 >>

不等式的解法


第五讲
一、知识要点: (一)一元二次不等式的解法:

不等式的解法

1、定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式不等式,叫做一元二次不等式。 2、一般形式: ax 2 ? bx ? c ? 0 或 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 。 3、一元二次不等式的解法:

a?0

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1、x2 ? x1 ? x2 ?

x1 ? x2 ? ?

的根

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

b? ? ? x x ? R, x ? ? ? 2a ? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

R

R

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x

1

? x ? x2 ?

? b? ?? ? ? 2a ?

?

2 ? ?3 x ? 7 x ? 10 ? 0 例 1、解不等式组 ? 2 并且把解集在数轴上表示出来。 ? ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0

解:

1

例 2、解关于 x 的不等式 (1) x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 ; (2) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0, (a ? 0) ; (3) 2x ? kx ? k ? 0 ? k ? R? ;(4) mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 ? m ? R? 。
2 2

解:

例 3、已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R ; (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A ; (2)对于不等式的解集 A ,若满足 A ? Z ? B (其中 Z 为整数集) ,试探究集合 B 能否为有限集?若能, 求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。 解:

4、其它不等式的解法: 其他不等式有:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式、无理不等式; (一)分式不等式: 1、定义:形如

f ? x? f ? x? ?0或 ? 0 (其中 f ? x ?、? ? x ? 为整式且 ? ? x ? ? 0 )的不等式,叫做分式不 ? ? x? ? ? x?

等式。 例 4、解下列不等式: (1) 解:

2 x 2 ? 3x ? 4 x?8 3x ? 5 x 2 ? 6x ? 8 ? 0; ? ?3 ; ?1。 (2) (3) ; ( 4 ) ? 0 5x ? 6 x ?1 x2 ? x ? 2 ( x ? 3) 2

2

2 x 2 ? 2kx ? k 例 5、 k 为何值时,代数式 ? 1 恒成立。 4x 2 ? 6x ? 3
解:

(二)高次不等式: 例 6、解下列不等式: (1) ( x ? 3)(x ? 4)(2 x ? 1) ? 0 ; (2) ( x ? 4 x ? 5)(x ? 4) ? 0 ; (3)
2 4

x 2 ? 3x ? 2 ? 0。 x 2 ? 2x ? 3



例 7、解下列不等式: (1) ( x ? 1)(x ? 6)(x ? 9)(x ? 3) 2 ? 0 ; (2) ( x ? 3)(x ? 8)(x ? 2)(x ? 4) 2 ? 0 ; (3) ( x ? 2) 2 ( x ? 1) 3 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ; (4) 解:

1 1 1 1 ? ? ? 。 x?4 x?5 x?6 x?3

(三)绝对值不等式: 1、定义:形如 f ? x ? ? a 或 f ? x ? ? a 的不等式,叫做绝对值不等式。 2、解法: (1) | x |? a(a ? 0) 与 | x |? a(a ? 0) 型的不等式的解法 不等式 | x |? a 的解集是 (?a, a) ;不等式 | x |? a 的解集是 (??, ?a) ? (a, ??) (2) f ( x) ? a与 f ( x) ? a(a ? 0) 型的不等式的解法
3

f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a 与 f ( x) ? a ? f ( x) ? ?a或f ( x) ? a
(3) f ( x) ? g ( x)与 f ( x) ? g ( x) 型的不等式的解法

f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) 与 f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? ?g( x)或f ( x) ? g( x)
(4) f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? g ( x) 型的不等式的解法
2 2

(5) f ( x) ? g ( x) ? a 型的不等式的解法,要分类讨论。 注:1、解绝对值不等式的主要思想就是去掉绝对值符号: 2、去绝对值符号的方法: (1)利用绝对值的几何意义; (2)两边平方; (3)分类讨论。 例 8、解下列不等式: (1) 解:

x x 1 2 (2) ; (3) x ? 5 x ? 6 ? 0 ; (4) x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 ? 2; ? 1? x 1? x x

(四)无理不等式: 定义:根号里含有未知数的不等式,叫做无理不等式。 例 9、解不等式 2 x ?1 ? x ? 2 。 解:

二、巩固与提高: 1、解下列不等式: (1)

1 1 2 2 2 ? ; (2) 3x ? 4 ? 1 ? 2x ; (3) x ? 5 x ? 6 ? x ? 4 ; ( 4) x ? 5x ? 6 ? x ? 1 ; x ? 3x ? 4 6
2

(5) ( x 2 ? x ? 2)( 2x ? 1 ? 1) ? 0 。

2、设集合 x | x ? 3 ? x ? 4 ? m ? ? ,则 m 的取值范围是

?

?



3、已知集合 A ? x | x ? a ≤ 1 , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

?

?

4

。 4、已知不等式 | x ? m | ? 1 成立的一个充分非必要条件是

1 1 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是 3 2
。 。



5、若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围是 6、已知 ? 1 ? a ? b ? 3 ,且 2 ? a ? b ? 4 ,则 2a ? 3b 的范围是
2

7、研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ”,有如下解法:
2 解:由 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 ,令 y ?

1 x

1 x

1 1 ,则 y ? ( , 1) , 2 x

所以不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) . 参考上述解法,已知关于 x 的不等式 关于 x 的不等式

1 2

k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则 x?a x?c

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 . ax ? 1 cx ? 1 8、设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都是非零常数,一元二次方程 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 与 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别 a b c 为 A 与 B ,那么“ 1 ? 1 ? 1 ”是“ A ? B ”的充分条件。类似地,设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都是非零 a2 b2 c2 a b c 常数,不等式 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 与 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为 P 与 Q ,那么“ 1 ? 1 ? 1 ” a2 b2 c2 是“ P ? Q ” 条件。
9、集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必满足( A、 | a ? b |? 3 B、 | a ? b |? 3
2



C、 | a ? b |? 3

D、 | a ? b |? 3 )

10、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. [1, 2] D. (??,1] ? [2, ??)
2

2 11、 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b) ? ? ax ? >的解集中的整数恰有 3 个,则(



A、 ? 1 ? a ? 0

B、 0 ? a ? 1

C、 1 ? a ? 3

D、 3 ? a ? 6

2 12、已知不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集 A ,求满足下列条件的 a 的取值范围:

(1) A ? (1,2) ; (2) (1,2) ? A ; (3) A ? (1,2) 。 13、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) 。 x?2

5


相关文章:
各类不等式的解法
各类不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。高中数学各类不等式的解法不等式的解法 1、一元一次不等式的解法 ax+b>0 ?a>0; ?a<0: ?a=0; 2、一元二次...
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法_数学_高中教育_教育专区。常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如 ...
高中数学不等式的分类、解法
高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等 式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式, 含参不等式...
各种不等式解法练习
各种不等式解法练习_数学_高中教育_教育专区。一元一次不等式,一元二次不等式,分式不等式,高次不等式,绝对值不等式,无理不等式,含参不等式的解法 ...
03 简单不等式的解法
所以 k=2. 另解:由题意可知 x=1,x=3 是|kx-4|=2 的两根. 选题意图: (选自 12 年山东卷)考察含绝对值不等式的解法,及方程的解与不等式解集之间 的...
不等式与不等式组的解法
5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不...
不等式的解法
不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。不等式的解法 分式不等式解法 2 记得以前央视新闻有条微博说 7 成网友赞成数学退出高考,下边一片叫好声。 我有个同事...
《不等式的解法》测试题
不等式的解法》测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式 《不等式的解法》测试题姓名一、选择题(每小题 5 分,共 70 分) 1、不等式 lgx <lg x...
一元一次不等式的解法(提高)知识讲解
一元一次不等式的解法(提高)知识讲解撰稿:孙景艳 【学习目标】 1.理解一元一次不等式的概念; 2.会解一元一次不等式. 【要点梳理】 【高清课堂:一元一次不...
高一数学不等式解法经典例题
高一数学不等式解法经典例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修5不等式性质同步教案3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天...
更多相关标签: