当前位置:首页 >> 数学 >>

不等式的解法


第五讲
一、知识要点: (一)一元二次不等式的解法:

不等式的解法

1、定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式不等式,叫做一元二次不等式。 2、一般形式: ax 2 ? bx ? c ? 0 或 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 。 3、一元二次不等式的解法:

a?

0

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1、x2 ? x1 ? x2 ?

x1 ? x2 ? ?

的根

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

b? ? ? x x ? R, x ? ? ? 2a ? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

R

R

ax2 ? bx ? c ? 0
的解集

?x x

1

? x ? x2 ?

? b? ?? ? ? 2a ?

?

2 ? ?3 x ? 7 x ? 10 ? 0 例 1、解不等式组 ? 2 并且把解集在数轴上表示出来。 ? ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0

解:

1

例 2、解关于 x 的不等式 (1) x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 ; (2) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0, (a ? 0) ; (3) 2x ? kx ? k ? 0 ? k ? R? ;(4) mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 ? m ? R? 。
2 2

解:

例 3、已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R ; (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A ; (2)对于不等式的解集 A ,若满足 A ? Z ? B (其中 Z 为整数集) ,试探究集合 B 能否为有限集?若能, 求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。 解:

4、其它不等式的解法: 其他不等式有:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式、无理不等式; (一)分式不等式: 1、定义:形如

f ? x? f ? x? ?0或 ? 0 (其中 f ? x ?、? ? x ? 为整式且 ? ? x ? ? 0 )的不等式,叫做分式不 ? ? x? ? ? x?

等式。 例 4、解下列不等式: (1) 解:

2 x 2 ? 3x ? 4 x?8 3x ? 5 x 2 ? 6x ? 8 ? 0; ? ?3 ; ?1。 (2) (3) ; ( 4 ) ? 0 5x ? 6 x ?1 x2 ? x ? 2 ( x ? 3) 2

2

2 x 2 ? 2kx ? k 例 5、 k 为何值时,代数式 ? 1 恒成立。 4x 2 ? 6x ? 3
解:

(二)高次不等式: 例 6、解下列不等式: (1) ( x ? 3)(x ? 4)(2 x ? 1) ? 0 ; (2) ( x ? 4 x ? 5)(x ? 4) ? 0 ; (3)
2 4

x 2 ? 3x ? 2 ? 0。 x 2 ? 2x ? 3



例 7、解下列不等式: (1) ( x ? 1)(x ? 6)(x ? 9)(x ? 3) 2 ? 0 ; (2) ( x ? 3)(x ? 8)(x ? 2)(x ? 4) 2 ? 0 ; (3) ( x ? 2) 2 ( x ? 1) 3 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ; (4) 解:

1 1 1 1 ? ? ? 。 x?4 x?5 x?6 x?3

(三)绝对值不等式: 1、定义:形如 f ? x ? ? a 或 f ? x ? ? a 的不等式,叫做绝对值不等式。 2、解法: (1) | x |? a(a ? 0) 与 | x |? a(a ? 0) 型的不等式的解法 不等式 | x |? a 的解集是 (?a, a) ;不等式 | x |? a 的解集是 (??, ?a) ? (a, ??) (2) f ( x) ? a与 f ( x) ? a(a ? 0) 型的不等式的解法
3

f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a 与 f ( x) ? a ? f ( x) ? ?a或f ( x) ? a
(3) f ( x) ? g ( x)与 f ( x) ? g ( x) 型的不等式的解法

f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) 与 f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? ?g( x)或f ( x) ? g( x)
(4) f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? g ( x) 型的不等式的解法
2 2

(5) f ( x) ? g ( x) ? a 型的不等式的解法,要分类讨论。 注:1、解绝对值不等式的主要思想就是去掉绝对值符号: 2、去绝对值符号的方法: (1)利用绝对值的几何意义; (2)两边平方; (3)分类讨论。 例 8、解下列不等式: (1) 解:

x x 1 2 (2) ; (3) x ? 5 x ? 6 ? 0 ; (4) x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 ? 2; ? 1? x 1? x x

(四)无理不等式: 定义:根号里含有未知数的不等式,叫做无理不等式。 例 9、解不等式 2 x ?1 ? x ? 2 。 解:

二、巩固与提高: 1、解下列不等式: (1)

1 1 2 2 2 ? ; (2) 3x ? 4 ? 1 ? 2x ; (3) x ? 5 x ? 6 ? x ? 4 ; ( 4) x ? 5x ? 6 ? x ? 1 ; x ? 3x ? 4 6
2

(5) ( x 2 ? x ? 2)( 2x ? 1 ? 1) ? 0 。

2、设集合 x | x ? 3 ? x ? 4 ? m ? ? ,则 m 的取值范围是

?

?



3、已知集合 A ? x | x ? a ≤ 1 , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

?

?

4

。 4、已知不等式 | x ? m | ? 1 成立的一个充分非必要条件是

1 1 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是 3 2
。 。



5、若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围是 6、已知 ? 1 ? a ? b ? 3 ,且 2 ? a ? b ? 4 ,则 2a ? 3b 的范围是
2

7、研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ”,有如下解法:
2 解:由 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 ,令 y ?

1 x

1 x

1 1 ,则 y ? ( , 1) , 2 x

所以不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) . 参考上述解法,已知关于 x 的不等式 关于 x 的不等式

1 2

k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则 x?a x?c

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 . ax ? 1 cx ? 1 8、设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都是非零常数,一元二次方程 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 与 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别 a b c 为 A 与 B ,那么“ 1 ? 1 ? 1 ”是“ A ? B ”的充分条件。类似地,设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 都是非零 a2 b2 c2 a b c 常数,不等式 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 与 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为 P 与 Q ,那么“ 1 ? 1 ? 1 ” a2 b2 c2 是“ P ? Q ” 条件。
9、集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必满足( A、 | a ? b |? 3 B、 | a ? b |? 3
2



C、 | a ? b |? 3

D、 | a ? b |? 3 )

10、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. [1, 2] D. (??,1] ? [2, ??)
2

2 11、 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b) ? ? ax ? >的解集中的整数恰有 3 个,则(



A、 ? 1 ? a ? 0

B、 0 ? a ? 1

C、 1 ? a ? 3

D、 3 ? a ? 6

2 12、已知不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的解集 A ,求满足下列条件的 a 的取值范围:

(1) A ? (1,2) ; (2) (1,2) ? A ; (3) A ? (1,2) 。 13、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) 。 x?2

5


相关文章:
不等式的解法
不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。不等式的解法 分式不等式解法 2 记得以前央视新闻有条微博说 7 成网友赞成数学退出高考,下边一片叫好声。 我有个同事...
2014几种常见解不等式的解法
题目 高中数学复习专题讲座 几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛, 又是学习高等数学的 重要工具,所以不等式是高考数学...
培优 一次不等式的解法
培优《一次不等式的解法》 一、知识要点 不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其 重要的是不等式具有一系列基本性质,而且“...
不等式的解法试题及答案
太平路中学 一、 选择题 2 1、不等式 2x -x-1>0 的解集是( (A)(- 不等式的解法练习题及答案 ) 1 ,1) (B)(1,+∞) 2 (C)(-∞,1)∪(2,+...
不等式的解法教案
授课老师: 学生: 授课内容: 不等式的解法与线性规划 授课日期: 教学管理审阅:同意 ()否(教学过程: 课时序号:第__5__课时 ) 不等式解法一、知识要点 1、不...
不等式的解法·典型例题及详细答案
不等式的解法·典型例题【例 3】 【例 1】 (x+4)(x+5) (2-x) <0. 2 3 解下列不等式 ( 1) x ? 1 ? x ? 3; (2) 2 x ? 5 ? x ? 1...
《不等式的解法》测试题
不等式的解法》测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式 《不等式的解法》测试题姓名一、选择题(每小题 5 分,共 70 分) 1、不等式 lgx <lg x...
不等式的解法
2 一 、目的性 1.1 不等式的理论与实践相统一 1.2 总结不等式的解法在数学课程中的重要性 二 、不等式的理论性 ………2 ………2 2.1 一元二次不等式...
指数与对数不等式的解法
指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式: 指数不等式:转化为代数不等式 1.a f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) ? f ( x) > g ( x); a f ...
不等式的解法
不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。不等式的解法 一. 教学目的: 一元二次不等式的解法及分类讨论的思想。 二. 教学重点、难点: 重点:分类讨论的思想,以及...
更多相关标签: