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函数模型及其应用实例 课件(新人教版A必修1)


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一、新课引入
到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数?

一次函数
二次函数 指数函数

y ? ax ? b
y ? ax ?

bx ? c
2
x

(a≠0)

y ? a (a ? 0, 且a ? 1)

对数函数
幂函数

y ? log x(a ? 0, 且a ? 1)
a

y?x

a

大家首先来看一个例子
邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元, 超过5千克的超出部分按每千克3元收费,邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____.

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( x ? 5) ?5 x f(x)= ? ?25 ? 3( x ? 5)

( x>5)

从中可以知道,函数与现实世界有着紧密的联系, 有着广泛应用的,那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢?若能的话,那么如何在实际问题中 建立函数模型呢?

例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。
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v /(km ?h -1)

(1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积,并说明所求面积的 实际含义;
解:(1)阴影部分的面积为

90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t/h

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360

图3.2-7

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km

(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前 的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表 读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象。 解:根据图3.2-7,有
s
90 80
2400

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v /(km ?h -1)

S=

50t+2004 0≤t<1 80(t-1)+2054 1≤t<2 90(t-2)+2134 2≤t<3

70 60
2300

50
2200

40 30

75(t-3)+2224
65(t-4)+2299

3≤t<4
4≤t<5

2100

20 10

2000

1
0 1

2
2

3
3

4

5
4

t/h
5

t

这个函数的图象如图3.2-8所示

图3.2-7 图3.2-8

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从这个练习我们看到,在解决实际问题的过程 中,图象函数是能够发挥很大的作用,因此,我们 应当注意提高读图的能力。另外,在本题中我们用 到了分段函数,由此我们也知道,分段函数也是刻 画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时 候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应 用问题呢?

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例4 人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了 自然状态下的人口增长模型: rt 0

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y? y e

其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示 人口的年平均增长率。

表3-8是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份 人数/万 人 1950
55196

1951
56300

1952
57482

1953
58796

1954
60266

1955
61456

1956
62828

1957
64563

1958
65994

1959
67207

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据 是否相符;

解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为 r1,r2,…,r9. 由 55196 (1+r1) =56300 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
同理可得, r2≈0.0210 r5≈0.0197 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r7≈0.0276

r6≈0.0223 r8≈0.0222

r9≈0.0184

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为

r=(r1+r2+·· 9)÷9≈0.0221 ·+r 令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

y ? 55196 0.0221t , t ? N e
y

根据表3-8中的数据作出散点图, 并作出函数的图象(图3.2-9)。

70000

65000

60000

由图3.2-9可以看出,所得模型与 1951~1959年的实际人口数据 基本吻合。

55000 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

图3.2-9

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(2)如果按表3-8的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿?
解:将 y=130000代入

y ? 55196 0.0221t , t ? N e

由计算器可得

t≈38.76

所以,如果按表3-8的增长趋势,那么大约在1950年 后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口 自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力。

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从以上的例子可以看到,用已知的函数模型刻 画实际问题的时候,由于实际问题的条件与得出已 知模型的条件有所不同,因此通过模型得出的结果 往往会与实际问题存在一定的误差。因此,往往需 要对模型进行修正。

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 练习1 中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地 三大著名客户品牌. “全球通”:收费标准是月租费50元, 通话1分钟话费0.4元;“神州行”:不缴月租费,本地接听 和主叫均为0.6元/分钟,长途0.8元; “动感地带” (M—zone)是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做 的移动客户品牌.其最大卖点在于其短信套餐,分别为 每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500 条短信(假设选择第一种套餐),一条不到一毛钱, 资费标准:中国移动网内0.4元/分钟,网外0.6元/分钟, 免交月租.若一个月内通话分钟为x(仅考虑均拨打本地 网内电话的情况), 三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元.

(1)一个月内通话多少分钟,“全球通”与“神州行” 通讯费相同? (2)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种 通讯方式合算?

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解:(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x,y3=20+0.4x, 由y1=y2,解得x=250,所以一个月通话250分钟, 两种方式通讯费相同.

(2)当x=300时,y1=170元,y2=180元, y3=140元,所以使用“动感地带”合算些.

练习2

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某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在 某个时刻这种细菌的个数为200个,按照每小时成倍 增长,如下表: 时间(小时)
细菌数(个)

0
200

1
400

2
800

3
1600

问:实验开始后5小时细菌的个数是多少?

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 解:设实验时间为x小时,细菌数为y个,依题意有

x小时

0

1 400 B

2 800 C

3 1600 D

y(个) 200 点 A

200=200×20, 800=200×22,

400=200×21, 1600=200×23.

从而,我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个 指数函数关系式,即y=200· x(x∈N). 2 此实验开始后5小时,即x=5时,细菌数为 200×25=6400(个).

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解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行:

第一步:阅读理解,认真审题
第二步:引进数学符号,建立数学模型 第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问题 (即数学模型)予以解答,求得结果

第四步:再转移成具体问题作出解答

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1.通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应 的确定的函数模型。 2.根据收集到的数据,作出散点图,并通过观察 图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器 的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函 数模型解决相应的问题。

注 意

用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由 于实际问题的条件与得出已知模型的条件有 所不同,因此,往往需要对模型进行修正。

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作业:
P121 习题3.2 A组第6题


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