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浙江省教育考试院2014届高考数学样题(文) 最后一模


浙江省教育考试院 2014 届高考样卷 测试卷 A 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题 部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己

的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=

球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

1 V= Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 S∪T= A.[-1,6] C.(-∞,-1)∪(6,+∞) B.(3,5] D.(-∞,3]∪(5,+∞)

2.已知 i 是虚数单位,则 (3-i) (2+i)= A.5+i B.5-i C.7+i D.7-i

Z 数学(文科)试题第 1 页 (共 10 页)

3.已知 a,b∈R,则“b≥0”是“a2+b≥0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.若函数 y=sin 2x 的图象向左平移 A.f (x)=cos 2x C.f (x)=-cos 2x B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π 个单位得到 y=f (x)的图象,则 4
B.f (x)=sin 2x D.f (x)=-sin 2x

5.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n. A.若 m⊥n,则 α⊥β C.若 m∥n,则 α∥β B.若 α⊥β,则 m⊥n D.若 α∥β,则 m∥n

6.从 1,2,3,4 这四个数字中依次取(不放回)两个数 a,b,使得 a 2≥4b 的概率是 A.

1 3

B.

5 12

C.

1 2

D.

7 12

4

3

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积等于 A.10 cm3 C.30 cm3
2

5

B.20 cm3 D.40 cm3

正视图 3 俯视图

侧视图

8.若正数 x,y 满足 x +3xy-1=0,则 x+y 的最小值是

3 2 3 C. D. 3 3 2 y ? 1 与椭圆 C2 的公共 9.如图,F1,F2 是双曲线 C1: x 2 ? 3
焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|= |F1A|,则 C2 的离心率是 A.
F1

2 A. 3

2 2 B. 3

(第 7 题图) y A

O

F2

x

1 3

B.

2 3

C.

1 5

D.

2 5

(第 9 题图)

10.设 a,b 为单位向量,若向量 c 满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是 A.1 B. 2 C.2 D.2 2

Z 数学(文科)试题第 2 页 (共 10 页)

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某篮球运动员在 5 场比赛中得分的茎叶图如图所示,则这位 球员得分的平均数等于________. 12.已知 a,b∈R,若 4a=23
-2b

0 1 2

9 2 3

5

6

,则 a+b=________.
(第 11 题图)

13 .若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 ________.
开 始 k=1,S=0 否

? x ? y ? 2, ? 14.设 z=x-2y,其中实数 x,y 满足 ?2 x ? y ? 4, 则 z 的最大值等 ? y ? 4, ?
于________. 15.已知点 O(0,0),A(2,0),B(-4,0),点 C 在直线 l:y=-x 上.若 CO 是∠ACB 的平分线,则点 C 的坐标为________. 16. 设 A(1, 0), B(0, 1), 直线 l: y=ax, 圆 C: (x-a)2+y2=1. 若 圆 C 既与线段 AB 又与直线 l 有公共点,则实数 a 的取值范 围是________.

k≤5? 是 S=S+ 2 k=k+1
?k

输出 S 结 束 (第 13 题图)

17.已知 t>-1,当 x∈[-t,t+2]时,函数 y=(x-4)|x|的最小值为-4,则 t 的取值范 围是________.

Z 数学(文科)试题第 3 页 (共 10 页)

三、 解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2a cos C+c=2b. (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a2=3bc,求 tan B 的值.

19.(本题满分 14 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=2,a7=4a3,前 n 项和为 Sn. (I) 求 an 及 Sn; (Ⅱ) 设 bn=

Sn ? 4an ? 4 ,n∈N*,求 bn 的最大值. n
A C

20.(本题满分 15 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° ,AB=AC=AA1. (Ⅰ) 求证:AB1⊥平面 A1BC1; (Ⅱ) 若 D 为 B1C1 的中点,求 AD 与平面 A1BC1 所成的角.
A1 B1 D B

C1

(第 20 题图)

21.(本题满分 15 分) 已知 m∈R,设函数 f (x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1. (Ⅰ) 若 f (x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (Ⅱ) 若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在[0,3]上的最值,求 m 的取值范围.
y M B

22.(本题满分 14 分) 已知抛物线 C:y=x2.过点 M(1,2) 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.抛物线 C 在点 A 处的切线 与在点 B 处的切线交于点 P. (Ⅰ) 若直线 l 的斜率为 1,求|AB|; (Ⅱ) 求△PAB 面积的最小值.
A

l

O P (第 22 题图)

x

Z 数学(文科)试题第 4 页 (共 10 页)

测试卷 A 参考答案
数学(文科)
说明: 一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细 则。 二、 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。 三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.A 6.C 2.C 7.B 3.A 8.B 4.A 9.B 5.D 10.D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.15 12.

3 2
1? 5 ] 2

13.

31 32

14.2

15.(4,-4)

16.[ 1 ? 2 ,

17.[0,2 2 -2]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 18.本题主要考查正、余弦定理、三角变换,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意及正弦定理得 2 sin A cos C+sin C=2 sin B =2 sin (A+C) =2 (sin A cos C+cos A sin C), 1 即 sin C (2 cos A-1)=0.因为 sin C≠0,所以 cos A= ,从而得 2 π A= . 3 π (Ⅱ) 由 A= 及余弦定理得 3 b2+c2-bc=a2=3bc, Z 数学(文科)试题第 5 页 (共 10 页)

???? 6 分

即 所以

b2+c2-4bc=0,

b =2± 3 . c
当 又 sin C=sin ( 故

b =2+ 3 时, c

3 1 2π -B)= cos B+ sin B, 2 2 3

tan B b sin B = = =2? 3 , c sin C 3 1 ? tan B 2 2
所以 tanB=-2- 3 . 当

b =2- 3 时,同理得 c
tan B=2- 3 .

综上所述,tan B=2+ 3 或 2- 3 .

???? 14 分

19.本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识,同时考查 运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ ) 设公差为 d,由题意知 a1+6d=4(a1+2d), 由 a1=2 解得 d=-3, 故 an=-3n+5, Sn= (Ⅱ) 由(I)得 bn= 由基本不等式得 n+
?3n 2 ? 7 n ,n∈N*. 2

???? 8 分

Sn ? 4an ? 4 n



31 3 16 - (n+ ). 2 2 n

16 16 ≥2 n ? =8, n n

Z 数学(文科)试题第 6 页 (共 10 页)

所以 bn=

7 7 31 3 16 - (n+ )≤ ,又当 n=4 时,bn= . 2 2 2 2 n 7 从而得 bn 的最大值为 . 2

???? 14 分

20.本题主要考查空间线、面位置关系,线面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能 力和推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ ) 由题意知四边形 AA1B1B 是正方形,故 AB1⊥BA1. 由 AA1⊥平面 A1B1C1 得 AA1⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1,所以 A1C1⊥平面 AA1B1B,故 A1C1⊥AB1. 从而得 AB1⊥平面 A1BC1. (Ⅱ) 设 AB1 与 A1B 相交于点 O,则点 O 是线段 AB1 的中点. 连接 AC1,由题意知△AB1C1 是正三角形. 由 AD,C1O 是△AB1C1 的中线知:AD 与 C1O 的交点为重心 G,连接 OG. 由(Ⅰ ) 知 AB1⊥平面 A1BC1,故 OG 是 AD 在平面 A1BC1 上的射影,于是∠AGO 是 AD 与平面 A1BC1 所成的角. 在直角△AOG 中, AG= 所以 sin∠AGO=
3 AO = . 2 AG
B1 B O G A1 D C1 A C

(第 20 题图)

???? 7 分

3 6 2 2 AD= AB1= AB, AO= AB, 3 3 2 3

故∠AGO=60° ,即 AD 与平面 A1BC1 所成的角为 60° . ???? 15 分 21.本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识,同时考查 分类讨论等综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 由题意知 f ′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m). 由于 f (x)在[0,3]上无极值点,故 2m=2,所以 m=1. Z 数学(文科)试题第 7 页 (共 10 页) ???? 6 分

(Ⅱ) 由于 f ′(x)=3(x-2)(x-2m), 故 (i) 当 2m≤0 或 2m≥3,即 m≤0 或 m≥ 取 x0=2 即满足题意. 此时 m≤0 或 m≥

3 时, 2

3 . 2

(ii) 当 0<2m<2,即 0<m<1 时,列表如下:

x 故 f ′(x) f (x)

0

(0,2m) +

2m 0 极大值

(2m,2) - 单调递减

2 0 极小值

(2,3) + 单调递增

3

1

单调递增

9m+1

f(2)≤f(0) 或 即

f(2m)≥f(3),

-4+12m+1≤1 或 ―4m3+12m2+1≥9m+1, 从而 3m≤1 或 -m(2m-3)2≥0, 所以 m≤ 此时 0<m≤ . (iii) 当 2<2m<3,即 1<m<

1 3

或 m≤0 或 m=

3 . 2

1 3

3 时,列表如下: 2

x f ′(x) f (x)

0

(0,2) +

2 0 极大值

(2,2m) - 单调递减

2m 0 极小值

(2m,3) + 单调递增

3

1

单调递增

9m+1

故 f(2m)≤f(0) 或 f(2)≥f(3), 即 -4m3+12m2+1≤1 或 -4+12m+1≥9m+1, 从而

Z 数学(文科)试题第 8 页 (共 10 页)

-?m2 (m-3)≤0 所以

或 3m≥4,

m=0 或 m≥3 或 m≥ 此时

4 . 3

4 3 ≤m< . 3 2
1 3

综上所述, 实数 m 的取值范围是 m≤ 或 m≥

4 . 3

???? 15 分

22.本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识,同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 14 分。

? y ? x ? 1, (Ⅰ) 由题意知,直线 l 的方程为 y=x+1,由 ? 消去 y 解得 2 ?y ? x
x1= 所以 |AB|= 2
1? 5 2

1? 5 2

, x2=

1? 5 2





1? 5 2

= 10 .

???? 6 分

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y=k(x-1)+2,设点 A(x1,y1),B(x2,y2).

? y ? k ( x- 1)+ 2, 由? 消去 y 整理得 2 ?y ? x
x2-kx+k-2=0, 知 x1+x2=k, x1x2=k-2, 又因为 y′=(x2) ′=2x,所以,抛物线 y=x2 在点 A,B 处的切线方程分别为
2 y=2x1x- x1 ,
2 y=2x2x- x2 .

得两切线的交点 P(

k 2

,k-2).所以点 P 到直线 l 的距离为

d=

| k 2 ? 4k ? 8 |
2 k ?1
2



Z 数学(文科)试题第 9 页 (共 10 页)

又因为 |AB|= 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 = 1 ? k 设△PAB 的面积为 S,所以 S=
1 2
2

k ? 4k ? 8 .
2

|AB|· d=

1 4

?

( k ? 2) ? 4
2

. ? ≥2(当 k=2 时取到等号)
3

所以△PAB 面积的最小值为 2.

???? 14 分

Z 数学(文科)试题第 10 页 (共 10 页)


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