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第二章(第5、6节)


第五节 矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

?1? 对调两行(对调i , j 两行, 记作ri ? rj); ?2? 以数 k ? 0 乘以某一行的所有元素 ;
?3? 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记

作ri ? krj) .

(第 i 行乘 k , 记作 ri ? k)

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”). 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类 型相同.

ri ? rj 逆变换 ri ? rj ; 1 ri ? k 逆变换 ri ? ( ) 或 ri ? k; k ri ? krj 逆变换 ri ? ( ?k )r j 或 ri ? kr j .

如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A ~ B. 等价关系的性质:
(1) 反身性 A ? A;

(2)对称性 若 A ? B , 则 B ? A; (3)传递性 若 A ? B, B ? C, 则 A ? C.

具有上述三条性质的关系称为等价. 例如,两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价

例1:对矩阵B作初等行变换

1 2? ?2 ?1 ?1 ? ? 1 ?2 1 ? 4? ?1 B?? 4 ?6 2 ?2 4? ? ? ?3 6 ?9 7 9? ? ?
r1 ? r2

r3 ? 2

1 ?2 1 ?1 ? 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ? 3 1 ?1 ? ?3 6 ?9 7 ?

4? ? 2? ? ? B1 2 ? 9? ?

2 r2 ? ?31 ? 1 ? 1 r ? ? 1 r3 ? ? 21 ? 0 ? 2 2r ? 1 B1 ? ? ?3 2 ?0 ?5 1 r4 ? ? 1 ? 3r ?3 ?0 ?3 9 ? ?6

? 1 4 ?1 2 ? ? 1 2 ?2 2 ? 1 2 ?3 5 ? ? ? 7 9 ?4 3 ?

r2 4 ?r3 ? ? r3 0 ?2r1 ? ? ? B2 ?? r4 6 ?3r1 ? 3? ?

r2 ? 2 r3 ? 5r2
r4 ? 3r2

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

4? ? 1 ?1 1 0? ? ? B3 0 0 2 ?6 ? 0 0 1 ? 3? ?

1 ?2 1

?1 ? r3 ? r4 ?0 B3 ? ? r4 ? 2r3 0 ? ?0 ?
r1 ? r2

1 ?1 ? 1 ?0 ?0 0 ? ?0 0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

?12 1 ?1 00 00

?12 ?1 1 20 10

14 ? 4 ? ? ? r 10 ? 03?? r4 ? B4 ?? 3? ?16 r4 ? 2r3 ? ? 03 ? 0 ? ? ? ?

0 ?1 0

r2 ? r3

4? ? 1 ?1 0 3? ? ? B5 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?

矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.
特点: (1)、可划出 一条阶梯线,线 的下方全为零; (2)、每个台 阶只有一行,

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? ? ? B5 0 0 1 ?3 ? 0 0 0 0? ?

台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线 后面的第一个元素为非零元,

行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵,即非 零行的第一个非零元为 ,且这些非零元所在的列 1 的其他元素都为零.

对于任何矩阵A m?n , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.

行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标准
形.

?1 ? ?0 例如, B 5 ? ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? 0 0 1 ? 3? ? 0 0 0 0? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 ? 4 0 1 0 ?4 ? ? ??? ? 3 0 1 0 ?3 ? ? F ?3? ? ? 0 0 0 ?? 3 ??? ?0 ? ? 0 0 0 0? ? ?

?1 ? ?0 ?0 c5 ? 4c1 ? 3c2 ? 3c3 ? ?0 ?

c3 ? c4 c4 ? c1 ? c2

矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.

F 特点: 的左上角是一个单位矩阵,其余元素全 为零.

m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
? Er F ?? ?O O? ? O ? m?n

此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定,其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数. 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类,标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.

二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛.
E 定义3 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵.

三种初等变换对应着三种初等方阵.
?1. 对调两行或两列; ? ?2. 以数 k ? 0 乘某行或某列; ?3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去. ?

1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行,即 ( ri ? r j ),得初等方阵
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? E (i , j ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?

?第 i 行

?第 j 行

用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A ? (aij )m?n,得
? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? ?a a j 2 ? a jn ? ? 第 i 行 ? j1 ? ? ? ? Em ( i , j ) A ? ? ? ?a ai 2 ? ain ? ? 第 j 行 ? i1 ? ? ? ? ? ? ?a am 2 ? amn ? ? m1 ? 相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换:
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri ? r j ).

类似地, 以 n 阶初等矩阵 E n ( i , j ) 右乘矩阵 A,
? a11 ? a1 j ? a1i ? a1n ? ? ? ? a21 ? a2 j ? a2 i ? a2 n ? AEn ( i , j ) ? ? ? ? ? ?? ? ? ?a ? amj ? ami ? amn ? m1 ? ?

相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换: 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ? c j ).

2、以数 k ? 0 乘某行或某列

以数k ? 0乘单位矩阵的第i行( ri ? k ),得初等 矩阵E ( i ( k )).
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? E ( i ( k )) ? ? k ?? 第 i ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? ?



以 E m ( i ( k )) 左乘矩阵 A, ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? Em ( i ( k )) A ? ? kai 1 kai 2 ? kain ? ? 第 i 行 ? ? ? ? ? ? ? ?a am 2 ? amn ? ? m1 ?
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri ? k );
类似地, E n ( i ( k )) 右乘 矩阵 A,其结果 以

相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci ? k ).

3、以数k 乘某行(列)加到另一行 列)上去 (
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri ? kr j ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j ? kci )],
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第i行 1 ? k ? ? E ( ij ( k )) ? ? ? ? ? ? ? 第j行 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?

以 Em ( ij( k )) 左乘矩阵 A,
? a11 ? ? ? ? a ? ka i1 j1 ? ? Em ( ij ( k )) A ? ? ? a j1 ? ? ? ? a ? m1 a12 ? ai 2 ? ka j 2 ? a j2 ? am 2 ? ? ? ? ? ain ? a jn ? ? ? ? ? a jn ? ? ? ? ? amn ? ? ? a1n

把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri ? kr j ).

类似地,以 E n ( ij ( k )) 右乘矩阵 A,其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j ? kci ).

AEn ( ij ( k )) ? a11 ? a1i ? ka1 j ? a1 j ? a1n ? ? ? ? a21 ? a2 i ? ka2 j ? a2 j ? a2 n ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?a ? ami ? kamj ? amj ? amn ? ? m1 ?

初等矩阵的基本性质
(1) E (i , j )
?1

1 ? E (i , j ) ; E ( i ( k )) ? E ( i ( )); k
?1

E ( ij ( k ))?1 ? E ( ij ( ? k )) .
(2) E (i , j ) ? ?1;
E ( i ( k )) ? k;

E ( ij ( k )) ? 1 .

三、初等矩阵的应用
定理1 设 A 是一个 m? n 矩阵,对 A 施行一 次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换 初等矩阵

初等逆变换

初等逆矩阵

变换 ri ? r j 的逆变换是其本身, 则E ( i , j )?1 ? E ( i , j ) ;
1 变换 ri ? k 的逆变换为 ri ? , k 1 ?1 则 E ( i ( k )) ? E ( i ( )); k

变换 ri ? kr j 的逆变换为 ri ? ( ? k )r j, 则 E ( ij ( k )) ?1 ? E ( ij ( ? k )) .

定理2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,?, Pl , 使 A ? P1 P2 ? Pl . 证
? A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变A,

即存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,?, Pl , 使

P1 P2 ? Pr EPr ?1 ? Pl ? A


A ? P1 P2 ? Pl .

推论 m ? n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ ? B.

1.利用初等变换求逆阵的方法:

当 A ? 0 时,由 A ? P1 P2 ? Pl,有

Pl P ? P A ? E , 及 Pl?1 Pl?1 ? P1?1 E ? A?1 , ?1

?1

?1 l ?1

?1 1

? Pl

?1

?1 ?1 Pl ?1 ? P1 ( A

E)

? ( Pl?1 Pl?1 ? P1?1 A Pl?1 Pl?1 ? P1?1 E ) ?1 ?1

? ( E A ?1 )
即对 n ? 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 E 时,原来的 E 就变成 A?1 .

? 1 2 3? ? ? ?1 例1 设 A ? ? 2 2 1 ?, 求 A . ? 3 4 3? ? ?


? 1 2 3 1 0 0? ? ? ?A E ? ? ? 2 2 1 0 1 0? ? 3 4 3 0 0 1? ? ?
r2 ? 2r1 ? 1 2 3 1 0 0 ? r1 ? r2 ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? r3 ? 3r1 ? 0 ? 2 ? 6 ? 3 0 1 ? r3 ? r2 ? ?

r1 ? r2

r3 ? r2
r1 ? 2r3

? 1 0 ? 2 ? 1 1 0 ? r ? 2r 3 ? ? 1 ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? r2 ? 5r3 ? ? ? 1 0 0 1 3 ? 2 ? r ? ? 2) ? ? 2 ( ? 0 ? 2 0 3 6 ? 5? ( ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? r3 ? ? 1) ? ?

r2 ? 5r3

3 ?1 0 1 3 ? 2? ? 2? ? 0 1 r2 ? ? 2)? ( ? 3 3 5 ? 5 ? ? A?1 ?1 ? 0 ? 3 ? 3 ? . ? ? ?0 ? 2 2 ? 2 ? r3 ? ? 1) ? ( ? 2 1 1 ? 1? ? 1? ?0 0 1 ? 1 1

2.利用初等变换求矩阵方程: 利用初等行变换求逆阵的方法,还可用于求

矩阵A?1 B .

?


A?1 ( A B) ? ( E A?1 B)
( A B)
初等行变换

E A ?1 B

例2

求矩阵 X , 使 AX ? B,其中 ? 1 2 3? ? 2 5? ? ? ? ? A ? ? 2 2 1 ?, B ? ? 3 1 ?. ? 3 4 3? ? 4 3? ? ? ? ?

解 若 A 可逆,则 X ? A?1 B.

? 1 2 3 2 5? ? ? ( A B) ? ? 2 2 1 3 1 ? ? 3 4 3 4 3? ? ?

r2 ? 2r1

r3 ? 3r1
r1 ? r2

3 2 5 ? ?1 2 ? ? ?0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9 ? ? 0 ? 2 ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ? ? 1 0 ? 2 1 ? 4? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ? 0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?

r3 ? r2
r1 ? 2r3

r2 ? 5r3

r1 ? 2r3

r2 ? 5r3

0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?

2 ? r2 ? ? 2) ? 1 0 0 3 ( ? ? ? 0 1 0 ? 2 ? 3 ?, r3 ? ? 1) ? ( ? 3 ? ?0 0 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? X ? ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 3 ? ? ?

? A? 如果要求 Y ? CA , 则可对矩阵 ? ? 作初等列变换, ?C ? ? A ? 列变换 ? E ? ? ? ? ?1 ? , 即可得 Y ? CA?1 . ? C? ? CA ?
?1

也可改为对 ( AT , C T ) 作初等行变换,

(A , C )

T

T

列变换

( E , ( A ) C ),

T ?1

T

即可得 Y T ? ( A?1 )T C T ? ( AT )?1 C T ,

即可求得Y .

?2 ? ?0 例3 已知 n 方阵 A ? ? 0 ? ?? ?0 ?

2 1 0 ? 0

2 1 1 ? 0

? 2? ? ? 1? ? 1 ?, ? ?? ? 1? ?
i , j ?1

求 A 中所有元素的代数余子式之和

? Aij .

n



? A ? 2 ? 0,
且 A* ? A A?1 .

?A 可逆.

?2 ? ?0 ?A E? ? ? 0 ? ?? ?0 ?
? ?1 ? ?0 ?? ? ?0 ?0 ?

2 2 ? 2 1 0 0 ? 0? ? 1 1 ? 1 0 1 0 ? 0? 0 1 ? 1 0 0 1 ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 ? 1 0 0 0 ? 1? ?
0 1 ? 0 0 1 0 ? 0 ?1 2 0 ? 0 0 1 ? ? ? ? ? 1 0 0 0 ? 0 1 0 0 ? 0? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ? 0 1 ? ? 0 ?

?1 ?1 ? ?2 ?0 1 ? A ?1 ? ? ? ? ? ?0 0 ?0 0 ?

? 0 ? 0? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ?, ? ? 1 ? 1? ? 0 1 ? ?

? A* ? 2 A?1 ,
1 故 ? Aij ? 2[ ? ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? 1. 2 i , j ?1
n

? 3 0 1? ? ? 例4 设 A ? ? 1 1 0 ?, 且 AX ? A ? 2 X , 求矩阵 X . ? 0 1 4? ? ?

解 ? AX ? A ? 2X ,
? ( A ? 2 E ) X ? A,



? 1 0 1? ? ? A ? 2 E ? ? 1 ? 1 0 ?, ? 0 1 2? ? ?

由于 ( A ? 2 E

? 1 0 1 1 0 0? ? ? A) ? ? 1 ? 1 0 0 1 0 ? ? 0 1 2 0 0 1? ? ?

初等行变换?

~

? 1 0 0 5 ? 2 ? 2? ? ? 0 1 0 4 ? 3 ? 2 ?, ?0 0 1 ? 2 2 3 ? ? ?

? 5 ? 2 ? 2? ? ? ? X ? ? 4 ? 3 ? 2 ?. ?? 2 2 3 ? ? ?

课 外 习 题
习 题 2—5 p 71 3(2,4),4(3),5(2,3),7

第六节 矩 阵 的 秩

一、矩阵的秩
任何矩阵 Am? n , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.
矩阵的秩

定义1 在 m ? n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k ? m , k ? n),位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 k阶行列式, 的 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m ? n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m ? C n 个.

定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于0 的 k 阶子 式 D,且所有 r ? 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式,数r 称为矩阵 A 的秩,记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m ? n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的

子式的最高阶数.

对于 AT,显然有 R( AT ) ? R( A).

若中 A 有一个 r 阶子式不等于 0,则
R( A) ? r;

若中 A 所有 r 阶子式全为 0,则
R( A) ? r .

?1 2 3 ? ? ? 例1 求矩阵 A ? ? 2 3 ? 5 ? 的秩. ?4 7 1 ? ? ?


在 A 中,

1 2 2 3

? 0.

又 ? A的 3 阶子式只有一个 A, 且 A ? 0,
? R( A) ? 2.

3 ? 2? ?2 ?1 0 ? ? 3 1 ?2 5? ?0 例2 求矩阵 B ? 的秩. ?0 0 0 4 ? 3? ? ? 0 0 0 0? ?0 其非零行有 行, 3 解 ?B是一个行阶梯形矩阵,
?B 的所有4 阶子式全为零 .

2 ?1 3 而 0 3 ? 2 ? 0, ? R( B ) ? 3. 0 0 4

? 1 3 ? 2 2? ? ? 例3 已知 A ? ? 0 2 ? 1 3 ?,求该矩阵的秩. ? ? 2 0 1 5? ? ? 1 3 ? 2 ? 0, 计算 A 的 3 阶子式, 解 ? 0 2
1 3 2 3 ?2 2 1 ?2 2 ?0 ? , 0 2 ? 1 ? 00 2 3 ? 2 , ? 1 3 ? 0, ? 1 3 ? 0, ? 0 ?2 0 1 ?2 0 5 0 1 5 ?2 1 5 1 3 ?2
? 0.

? R( A) ? 2.

? 1 3 ? 2 2? ? ? 另解 对矩阵 A ? ? 0 2 ? 1 3 ? 做初等变换, ? ? 2 0 1 5? ? ?
? 1 3 ? 2 2? ? 1 3 ? 2 2? ? ? ? ? ? ? 0 2 ? 1 3 ? ~ ? 0 2 ? 1 3 ?, ? ? 2 0 1 5? ? 0 0 0 0? ? ? ? ?
显然,非零行的行数为 2,
? R( A) ? 2.

此方法简单!

二、矩阵的秩的求法
因为对于任何矩阵Am?n , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题:经过变换矩阵的秩变吗?

定理 1

若 A ~ B , 则 R( A) ? R( B ).

初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 例4 设 A ? ?2 0 ?, 求矩阵 A 的 1 5 ?3 ? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式.

解 对A作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?
r1 ? r4

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 ?2 0 1 5 ? 3? ? ? ?3 2 0 5 0 ? ? ?

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?

r1 ? r4 r2 ? r4

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?2 0 1 5 ? 3? ? ? ?3 2 ? 0 5 0 ? ?

0 5 0 ? ?3 2 ? ? 6 ? 1? ?3 ? 2 3 A?? 2 0 1 5 ? 3? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? ?

r1 ? r4 r2 ? r4 r3 ? 2r1 r4 ? 3r1

6 ? 4 ?1 4 ? ?1 ? ? 3 1 ?1 ? ?0 ? 4 ? 0 ? 12 9 7 ? 11 ? ? ? 0 ? 16 12 8 ? 12 ? ? ? ?

r3 ? 3r2
r4 ? 4r2

?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?0 0 0 4 ? 8? ? ? ?0 0 0 4 ? 8? ? ? ?1 6 ? 4 ?1 4 ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 4 3 ?0 0 0 4 ? 8? ? ? ?0 0 ? 0 0 0 ? ?

r4 ? r3

由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) ? 3.

求 A 的一个最高阶子式. 3 ? R( A) ? 3, 知 A 的最高阶非零子式为 阶 .
3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 ? C5 ? 40 个 .

考察A的行阶梯形矩阵,
记A ? (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵B ? (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为 ? 1 6 ? 1 ? ? ? ?0 ? 4 1 ? ?0 0 4 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ?

? R( B ) ? 3,

故 B 中必有 3 阶非零子式 且共有4 个. . 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 3 2 5 2 0 5 ?2 0 5 3 ? 2 6 6 0 11

6 11 则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式.

? ?2

2

5

? 16 ? 0.

设 n 阶可逆矩阵 A,
? A ? 0, ?A 的最高阶非零子式为 A ,
R( A) ? n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E

可逆矩阵的秩等于阶数,故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.

? 1 ? 2 2 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 0 ? ? 2 ?4 8 ? 2? ,b? 例5 设 A ? ? ? 3? ?2 4 ?2 3 ? ? ? ? ? ? 3 ? 6 0 ? 6? ? 4?

求矩阵 A 及矩阵B ? ( A b) 的秩.
~ ~ ~ 解 分析: B 的行阶梯形矩阵为 B ? ( A, b ), 设 ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵,

~ ~ ~ 故从 B ? ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).

? 1 ? 2 2 ?1 ? 0 ? 2 ?4 8 B?? ?2 4 ?2 3 ? ? 3 ?6 0 ?6 ?

1? ? 2? 3? ? 4? ? 1? ? 0? 5? ? 1? ?

r2 ? 2r1 r3 ? 2r1
r4 ? 3r1

?1 ? 2 2 ?1 ? 4 2 ?0 0 ?0 0 2 1 ? ?0 0 ? 6 ? 3 ?

r2 ? 2 r3 ? r2
r4 ? 3r2

?1 ? 2 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ? ?1 ? 2 ? ?0 0 ?0 0 ? ?0 0 ?

2 ? 1 1? ? 2 1 0? 0 0 5? ? 0 0 1? ? 2 ? 1 1? ? 2 1 0? 0 0 1? ? ? 0 0 0?

r3 ? 5 r4 ? r3

? R( A) ? 2,

R( B ) ? 3.

几个常用的矩阵的秩的性质
(1) max ? R( A), R( B)? ? R( A, B) ? R( A) ? R( B).

(2)

R( A ? B ) ? R( A) ? R( B ).

(3)
(4)

R( AB ) ? min ? R( A), R( B )? .
若Am?n Bn? j ? 0, 则R( A) ? R( B) ? n.

课 外 习 题
习 题 2—6 p 77 5, 6(1,3),7


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