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2004年北京市中学生数学竞赛(高一)


32

中等数学

2004年北京市中学生数学竞赛(高一)
初赛
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.满足条件f(z2)=[f(z)]2的二次函 数是( ). (A).厂(石)=并2 (B).厂(x)=麟2+5 (c).厂(省)=石2+戈 (D).厂(髫)=一髫2+2
004

(A)口

卜n。、%成等比数列 (B)口。、口3、口5成等差数列 (C)上、一1、』成等差数列
“1
U,3

“5

(D)击、击、上2a5成等比数列
二、填空题(每小题8分,共64分)

7.已知厂(菇)={√3,
以八八一2

f乏,

从o'
o≤髫≤1,则

2.在R上定义的函数Y=sin茹,Y=
sinI引,Y=sin 2

【lo蜒髫,茗>1.

004,Y=sin(吾一筇)中,偶函
). (C)2 (D)3

004)))的值等于——.

数的个数是(
(A)O

8.已知口=1+2+…+2 004.贝Ⅱ口被17

(B)1 ). (B)0.5

除的余数为——.

3.方程lI茗I一1 I=口恰有三个实数解. 则口等于(
(A)0

(C)1

(D)√2

以口“)=“62)=o,则南2——?
的斜边仰上.如果
凸四边形ADCE的 面积等于5 c矗,那 么,凸四边形ABFD


9.已知“石)=省2+菇一1.若口62≠1,且

4.实数口、b、c满足a+b>0,b+c>0, c+口>o,.厂(菇)是R上的奇函数,且是严格的

10.如图1,等腰Rt/x,ABC的直角顶点C 在等腰Rt△DEF的斜边DF上,E在△ABC

减函数,即若z。<石:,就有八菇。)<,(戈:).则
( ).

(A)Z厂(口)+以b)+以c)=0 (B)以n)+以b)+八c)<0
(c)f(o)+,(b)+八C)>0

的面积等于——
c矗.
004







图1

(D)/’(口)+2f(b)+以c)=2

11.若a、b∈R且口2+b2=10,贝9口一b

5.已知口、b、C、d这四个正整数中,口被 9除余1,b被9除余3,C被9除余5,d被9 除余7.则一定不是完全平方数的两个数是
( ). (A)口、b (B)b、c (C)c、d (D)d、口

的取值范围是——.
12.已知口、b是关于彳的方程髫4+m= 9并2的两个实根,且满足a+b=4.则m的值

为——.
13.00s 200?cos 400?c∞600?cos 800
.__。_。-。_‘.‘●-‘..‘-,-一●


6.正实数列al、a2、n3、口4、口5中,口1、 口:、03成等差数列,a:、口,、口。成等比数列, 且公比不等于1.又a,、口。.、口,的倒数成等差 数列.则( 万方数据  
).

数的和.则n的最大值为——.

14.将2 004表为n个彼此不等的正整

2005年第5期

33

复赛
一、填空题(每小题8分,共40分)

1?已知函数,(菇)=南.那么,
“志)+八1)+f(2 004)=——.
2.化简(109a4+10929)2一(109a4一l0929)2

四、(15分)如图 4,0、,分别是△ABC 的外心与内心,已知 么OIB=300.求证:

么鲋C=600.
五、(15分)已知 数列{a。}:
图4

=——?
3.已知数列{a。}中,a。=1,a:=2, 口n口n+l口n+2=口R+以n+l+口n+2,且8n+lan+2≠

铲等(删,2'…),
an+2=a^+l十an;

其中口、卢是方程髫2一搿一1=O的两个根.求证: (1)对任意正整数n,都有 (2)数列{a。}中的项都是正整数,且任意 相邻两项都互质.

1.贝Ⅱal+a2+…+a2似=——.
4.如图2,已知00。与00:的半径分别 是2和4,0。0:=10.则两圆的两条内公切线 与一条外公切线所围成的△MNP的面积等



参考答案
初赛
一、1.A.

一Ⅳ@



设灭耳)=戤2+k+c.代人、展开并确定口=1,
6=0.c=0. 2.D.

根据奇函数定义与偶函数定义直接判定,
y=sin

IxI,y=sin2{DI,Y=咖(号一互)黼函数.
‘J,

图2

图3

用图像法:画 出函数r=l I髫l 一1I的图像(如图 5),当平行于仇
轴的直线Y=口与
\\

5.如图3,四边形ABMN、四边形BCKI.、

、\

四边形ACPQ都是正方形.已知s正方舰删一

S正黼=m(m是正数).则ⅣQ2一pK2=
二、(15分)已知也≠0.求证:

V X/:



,y2体
/…

.1、\
\、

O.-’1
.1



石—百吒i+孑干石巧7+
7矗专稻≤吉.
三、(15分)已知口≠罢+2kn(屉∈z).求
证:关于茗的二次方程
茗2一(1一00s3口)茗+∞s口=0,

口4

b‘

函数y=Il茹l一1l 的图像恰有三个 交点时,口=1.
4.B.

图5

善∈R,只善)是奇函数,则文o)=0.因为以善)是 严格的减函数,所以,对茗>0,有八嚣)<0.
又a+b>0,则

口>一6=t,(口)<Jr(一6)=一Jr(6) j灭口)+“6)<0. 同理,八6)+只c)<0,以c)+八口)<0.

茗2一(1一s甜口)茗+sin口=0,

相加得2叭口)+以6)+以c)]<0.
5.B.

茗一√T_==_而茗+百。u 茗2一√器鬻茗+{=o
中至少有一个具有两个不等的实数根. 万方数据  

设整数茗被9除余0,±1,±2,±3,±4,则茹2 被9除余0,1,4,7.那么,被9除余2,3,5,6,8的正整 数一定不是完全平方数,故b、c一定不是完全平方

中等数学


11.[一2朽,2朽].
由a、6∈R且a2+62=10,得

㈣得12舞0.2=al+≥
由式③得之未乒=三a4.
n1 n^

(d一6)2=2(n2+62)一(a+6)2
≤2(n2+62)=20.

①②③ ④

贝ⅡI口一6I≤2√5.
12.12.25.

方程可化为茹4—9x2+m=0.则口2、62是,一
9y+/'n=0的根,其中Y=戈2.由韦达定理,得
口2+62=9。孑62=m.

由式②得啦=ia3,将其代入式④,有 m

—a3—a5 2i 嵋
号蠢+口3 j叠=口l
a5.

a3+85

2口2

2T
al+0,3

n;

又D+b=4,则(Ⅱ+6)2=16,可得口6=÷.


a5=al

a5+口3奶

13?素?
嘲200?嘲400?coB 600?COS 800

二、7.一{.
由已知,有以一z

一纯丝:塑墅:塑竺:塑壁:鲤墅 2sin 200


004)=2—2姒=嘉.

...2...s..i.n。....4...0...。...'...c..∞.......4...0..."..."...o...m......6...0..".,.."..c...0..s.....8..0——。
‘‘4ain200

由于o≤嘉≤1,则

2———瓦面芴广一2丽丽2而。
2sin sin 160P l 14.62.

800?嘲8W?嘲600

似一z004))=“专)=朽.
=崎以=一虿1.

因此,删一2 0D4)))=舻)
:—2—0—0—4jx_2—一005:2
9.一1. 009 010.

将2 004表为厅个彼此不等的正整数的和.要n 最大,只须写成从1开始的连续的自然数的和即可.

掣≤2004.


由l十2+…+n≤2004,得

整理得f+n一4008一<0. 解得n一<62.

列2 009010被17除商118 177,余1.

复赛

由八茹)=X2+善一1,_,【n一1)=_,I 62)=o,d矿≠1 知口~、62是八善)=f+善一l的两个实根.

一、1.寻.
若曲=1,则

由韦达定理得丢+62=一l,ib2=一1.
月!+b2:!:一1.
于是,有l+曲2=一口.
10.10.

灭8)+灭蜘禹+羔

:j掣≥螺:1.
一1+n?+62+26≯一‘

凸四边形ECFB与凸四边形ABC.E中,对角线

舵=^C,肼=DE.由于么OCP=么PEO=9W,则
么EOC+么置陀=18W.

于是,氕1)=i1,I(2004)+“嘉丽)=1. 所以,“豇1丽)+“1)+/(2 004)=i3.
2.16.

从而,如么圊DC=豳么腓.
所以,Sm哺am,={妒‘髓血么EPC

(k4+loeo)2一(k曩4一k9)2

={舾?脑LEOC=s蝴=5击. 故Sm Sw+S酗“I髓


=4b4。k9=4×訾x器 m嚣×嚣~16
3.4008.

=5+5=10(一).
万方数据  

将口l=1,n'=2代入仉“+l毛.2

2“+a-+l

4-

2005年第5期 口.+2,得口3=3. 由O'nO"n+I
CI.n+2 2

nn+%+I+口n+2,

‰+1口n+2nn+3=%十1+口n+2+口n+3,

所以,稃南≤矛i煮瓣
7■矿而7毫夏7玎丽‘


≥2矿+2a2 b2+2a2 c2.

相减得(口。+3一a。)(口。+1 o,n+2一1)=0. 由于%+i an+2≠1,所以,an+3=%. 因此,数列{‰}是周期数列. 故口l+02+…+吐2似 =(口l+口2+口3)+(n4+n5+n6)+…+ (啦啦+啦003+02科)
=(1+2+3)×668:4008.

同理可得孑‰≤玎孑南,
一2(82+b2+C2)‘





堡:



三式相加得 毒





石—百‘7+了了石—7+了了矿i口

4.挈.
如图6,求得

≤丽‘玉雨+丽{泛而+蕊车泛雨
一生±垒:±£一上
一2(口2+62+c2)一2‘

外公切线加= 4拓,内公切线凹 =朋=8,0l P=


当n=6=c≠0时,上式等号成立. 三、将三个方程的判别式分别记为△.、△2、△3,则

l_30,02P=-205-.由
勾股定理计算得
PC:PF:8PC


△I=(1一∞矿口)2—4嘲口,
△2=(1一Silf口)2—4
sin口,

图6

,PD:艘=芸. PF--4-,PD:艘:擘.


△,=【√篙鬻)。.
显然,如果c憾口<0,则有△l>0.因此,方程
算2一(1一。岔口)茹+o吣a=0有两个不等的实数根.

设删=MF=茗,ND=船=y.
由切线长定理得朋曰=ME. 于是,AB一茹=8+墨.所以,茹=z,N一4. 同理可得y=2,N一4. 此时,计算得

如果幽a.<0,则有△2>0.因此,方程算2一 (1一si叠口)算+siII口=0有两个不等的实数根.

曲鸭02。=—(2—+41)一x446=lz.N.
S瞰慵胁.掰=2(24-6—4),

(kEZ),l—Sin口≠o,则√等>1.所以,

如果c∞口≥o且siII口≥o,由已知口≠罢+2k兀

s曩迫纛耽删=4(2-N一4),

sq一=了8,‰坤=了32.
故S△_=啪一列舂一4)一,《249一41一了8一里3
一丝
一3‘ S.3m.

此时,方程,-√等+百1=o有两个不等的
实数根. 综上可得,题设的三个方程中,至少有一个具有 两个不等的实数根. 四、如图7,联结朋


△3=憾)2小o,

懈=胛+彬一2AkN?加懈么删

=^矿+Aft'一2AB?^C瞄么脚,

曰c2=A矿+^俨一2.4B?AC雠么戤c. 因为么MQ+么烈c=l咿, 嘲么MQ=一嘲么B,tC,

所以,咿+厨=2腑+2^c2. 类似可得麻+膻=2掰+2AC'. 故膨一解=3詹一3曰c2=3m.
二、因为4一+6.t-c.=2口.+∥+64+矿+c.

鐾⑩/ :鲁竽+么∞\影
结肋.列D为嬲的中
点.于是,

么肋 、?/少?、、, =么脱+么G胁於∈二—r产—7rc

r、}~弋仑母\l

,、、、、/,,l\

万方数据  

中等数学

2004年安徽省高中数学竞赛(初赛)
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.设o<b<0.则下列不等关系中,不成 立的是( ).
(A)口sin口+cos口>1 (B)asin口+C080r<1 (C)asin口+cos口=1

(A)丢>百1
(C)I口I>I b I

(B)i毛>吉
(D)02>b2

(D)大小与口的取值有关 5.如图1,正方

2.函数Y=10嘤(2x一嚣2)的单调递减区 间是( ). (A)(0,2) (c)[1,2) (B)[1,+∞) (D)(0,1]

濞ABCD—A1Bl C1D1 的侧面从7曰7曰内有
一点M到两直线 AB、B7C7的距离相 等.那么,肼的轨迹 是( ). 图1 (A)抛物线的 一部分 (B)双曲线的一部分 (C)椭圆的一部分 (D)线段 6.已知A(口,6),曰(c,d),且

3.已知集合S∈{1,2,…,26},且满足5 中任何2个元素的和都不能被5整除.则集 合s中元素的个数最多是( )个.
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13

4.已知口∈《o,号).则asin口+c惦口与
1的大小关系是( ).

:么删+么瑚:华+华.
所以,么IBD=么B/Dj/D=BD. 即

所以,等芋=等≠+并,
aI+2

2口I+I+‰.

作B关于讲的对称点A,,则A。在00上,有
/,4l=IB,么01,4I=么OIB=300.

(2)对数列{alI,由

所以,么BIAI=么OIB+么OIAI=60'. 因此,△AI脚是等边三角形,有AIB=A.I. 又国=liD,则A,D是线段脚的垂直平分线, 也是么R4,f的平分线.

cII=并(n=1,2,…), 得gIi=群-1,啦=筹~+纠.
再由对任意正整数n,都有‰+:=q+。+口I,所 以,数列{口I}中的项都是正整数. 下面证明,任意相邻两项都互质. 如若不然,设(aI+:,吼+。)=d>1.由对任意正 整数拈,都有%+2=日l+l+嵋,则
d=(nl+2,al+I)=(dI+l,nI)=(矗I,嵋一1)=… =(口4,啦)=(a3,oa)=(1,1)=l,

故么脚=ZBA。D=丢LeaI,=j酽.
因此,么R4C=2Lead=600.
五、(1)因为口、p是方程≯一善一l=0的两个 根,根据韦达定理,有 口+p=1,中=一1. 故口。+2一卢‘+2 =(口+卢)(口。+1一卢。+1)一印(吐。一声‘)
=(口。+1一p。+1)+(口l—JB。).

与d>1矛盾. 因此,数列{口I}中任意相邻两项都互质. (周春荔整理)

万方数据  

2004年北京市中学生数学竞赛(高一)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 周春荔

中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2005(5) 1次

引证文献(1条) 1.范花妹.秦庆雄 一道课本习题的加强[期刊论文]-河北理科教学研究 2009(5)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200505012.aspx


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