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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷和答案


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2006.4.2 8:00~11:00
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)

一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. 已知数列﹛an﹜的通

项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log 3 x

a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )

y

y

1 o
(A ) 1

1 x o
(B ) 1

x

y

y

1 o
1

1 x o
1

x

(C ) (D) 2 3. 已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O, 则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共
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有( ) (A)0 条

(B)1 条

(C)4 条

(D)无数多条

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 的边为 1,则最短边的长为( A. )

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长 2 10

2 5 5

B.

3 5 5

C.

4 5 5

D.

5 5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分.
7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O≤m≤6}, 则集合 AUB 的所有元素之和为 8.设 COS2θ=
2 3

2 4 4 ,则 COS θ+sin θ 的值是 3
5

9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为
10.已知

1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2

y ? ≥0 ? ? 3x ? y ≥0 ?x ? 3y ? 3 ? ≥0

,则 x +y 的最大值是

2

2

则当 n=

时, f (n) 有最大值.

12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? ? ? x?a ? 2 ? ?

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x2 y 2 ? ? 1的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其 9 4 中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的 2 倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直角.

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16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

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答案 1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8.

11 9. 27 18

10. 9

11. n=12 12. AC1∈(4,5)

13. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略 16. 质数 p 为 2 或 3 6.解:由 cos B ?

3 10 1 知 B 为锐角.? tan B ? 10 3

tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短
故 tan C ? tan(? ? A ? B) ? ? tan(A ? B) ? ?

? sin B ?

10 2 , sin C ? 10 2

?由正弦定理

b c 得 ? sin B sin C

b?
11.解

c sin B 5 ? sin C 5

即最短边的长为

5 . 5

1 n ( n ?1) 1 an ? 2002 ? (? )n ?1 , f (n) ? 2002n ? (? ) 2 2 2 ∵ | f (n ? 1) | ? 2002 , | f ( n) | 2n

∴当 n≤10 时, | f (n ? 1) | ? 2002 >1,∴ | f(11) |>| f(10) |>…>| f(1) |; n
| f ( n) | 2

当 n≥11 时,

| f ( n ? 1) | 2002 ? n <1,∴ | | f ( n) | 2

f(11) |>| f(12) |>…

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 ,∴ f (n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.
202012 ? ( )66 1 2020 2 ∵ f (12) ? ? 20203 ? ( )30 ? ( 10 )3 ? 1 , f (9) 1 20209 ? ( ? )36 2 2 2 1

1 ∴ 当 n=12 时, f (n) 有最大值为 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 2

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16.解: 当 p=2 时,p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个,故 p=2 满足要求.当 p=3 时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10 个,故 p=3 满足条件. 当 p>3 时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数 p 必为 3k±1 型的奇数 p-1、p+1 是相邻的两个偶数,且其中必有一个是 3 的倍数.所以,(p—1)(p+1)是 24 的倍数, 从而 p2+71 是 24 的倍数. 设 p2+71=24×m,m≥4. 若 m 有不同于 2、3 的质因数,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若 m 中含有质因数 3,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10; 若 m 中仅含有质因数 2,则 p2+71 的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3 不满足条件.综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

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