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吉林省舒兰市第一中学高中数学《2.3变量间的相关关系》导学案 新人教A版必修3


吉林省舒兰市第一中学高中数学《2.3 变量间的相关关系》导学案 新人教 A 版 必修 3
【学习目标】 1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义. 2.会作散点图,并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系. 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程解决有关问题. 【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程 课前预习案 【知识链接】 问题 1:在学

校里,老师对学生经常这样说:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问 题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表(在空格中打“√” ): 好 你的数学成绩 你的物理成绩 问题 2: 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了 一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的 天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结 论:天 鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性? 【知识梳理】 1.相关关系 (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定 的______性,那么这两个变 量之间的关系,叫做相关 关 系. (2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域,那么这两个变量的相关 关系称为正相关,如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域,那么这两个变量的相关关系称 为负相关. 2.线性相关 (1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近,我们就称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做__________. ^ ^ ^ (2)最小二乘法:求线性回归直线方程y =bx+a时,使得样本数据的点到它的______________最小的方法 ^ ^ 叫做最小二乘法,其中a,b的值由以下公式给出: ∑ ? xi - x ? ? yi - y ? i= ∑1xiyi-n x y ? ^ i=1 ?b = = , n n ∑1 ? xi - x ?2 ∑1x2 i -n x 2 ? i= i= ? ?^ a= , ^ ^ 其中,b是回归方程的____________, a是回归方程在 y 轴上的______. 小结: 线性回归分析涉及大量的计算, 形成操作上的一个难点, 可以利用计算机非常方便地作散点图、 回归直线, 并能求出回归直线方程.因此在学习过程中,要重视信息技术的应用.
1





n

n

自主小测 1、下列图形中具有相关关系的两个变量是(

)

2、某单位为了解用电量 y(千瓦时)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制 作了对照表: 气温/℃ 用电量/千瓦时 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ ^ ^ ^ ^ 由表中数据得线性回归方程y =bx+a中b≈-2,则a ≈_ _________. 课 上 导 学 案 教师点拨 1: 两个变量间的关系分为三类:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系;另一类是变量间 确实存在关系,但又不具备函数关系所 要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,这种关系就是相关关 系,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系,我们称它们为相关关系;再一类是不相关, 即两个变量间没有任何关系. 教师点拨 2:①相关关系与函数关系的异同 相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点:函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时间 t 与路程 s 的关系;相关关系是一种非确定 的关系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,可能是伴随关系. ②线性回归直线方程的性质 (1)回归直线过样本数据的 中心. 所谓样本数据的中心,对于单变量样本数据而言,平均数是样本数据的中心;对于以(xn,yn)为样本数据 而言,( x , y )为样本点的中心,根据最小二乘法原理,回归直线一定过样本点的中心. (2)回归直线的单调性与样本数据的相关性. 如果样本数据对应的点具有线性相关关系,从回归直线方程来看,当系数 b>0 时,直线单调递增,此时 这两个变量正相关;当 b<0 时,直线单调递减,此时这两个变量负相关. 【例题讲解】 【例题 1】 设对变量 x,y 有如下观察的数据: x y 151 40 152 41 153 41 154 41.5 156 42 157 42.5 158 43 159 44 160 45 162 45 163 46 164 45.5
2

(1)画出散点图. (2)判断变量 x,y 是否具有相关关系?如果具 有相关关系,那么是正相关还是负相关? 【例题 2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨 标准煤)的几组对照数据: x y (1)请画出上表数据的散点图; ^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据(2)求出的线性回归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤? (参考数值:3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5) 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

【例题 3】 下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A.圆的周长和它的半径之间的关系 B.价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D.正方形面积和它的边长之间的关系 【当堂检测】 1.已知 x,y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 )

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 y =0.95x+a,则 a=(

?

A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0 2. 某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查, y与x 具有相关关系,回归方程为 y =0.66x+1.562.若某城市居民人均工资为 9 000 元,则其居民人均消费水平 为__________千元. 3.某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y(单位:元)的对应数据如下: x y 3 4
6

?

5 6

2 3
6 i

8 9

9 12

12 14

y =________,i ?1 则 x =________,
使用年限 x

? xi 2
2

=__________,i ?1 3

?x y

i

=__________, 回归直线方程为__________. 5 6
3

4.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: 4

维修费用 y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料知 y 对 x 成线性相关关系.试求: (1)线性回归方程 y = bx ? a 的回归系数 b 与 a ; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

?

?

?

?

?

【问题与收获】

基础知识答案:1.(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下 2.(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和 ^ y -b x 斜率 截距

自主小测答案: 1、 C A 项中显然任给一个 x 都有唯一确定的 y 和它对应,是一种函数关系;B 项也是一种函数关系;C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,而且是一种线性相关关系; D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系,因此变量间是不相关的. 2、60 x= 18+13+10-1 24+34+38+64 =10, y = =40, 4 4

^ ^ 则a= y -b x ≈40+2× 10=60. 例题答案: 【例题 1】 解:(1)画出散点图.

(2)具有相关关系.根据散点图,左下角到右上角的区域,变量 x 的值由小变大时,另一个变量 y 的值也由 小变大,所以它们具有正相关关系. 【例题 2】 解:(1)散点图,如图所示.

4 (2)由题意,得i= ∑ 1xiyi=3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5,
4

x= y=

3+4+5+6 =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 =3.5, 4

4 ∑1x2 i =32+42+52+62=86, i= 4.5× 3.5 66.5-63 ^ 66.5-4× 则b= = =0.7, 86-4× 4.52 86-81 ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7× 4.5=0.35, ^ 故线性回归方程为y =0.7x+0 .35. (3)根据线性回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7× 100+0.35=70.35, 故消耗能源减少了 90-70.35=19.65(吨). 【例题 3】 正解:因选项 A,B,D 中的两个变量间都有唯一确定的关系,因而它们都是函数关系;而选 项 C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响, 但高收入未必有高消费, 因而选项 C 中的关系才是相关关 系.故选 C. 当堂检测答案: 1 . B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点 ( x , y ) ,由取值表可计算 x =

0 ?1? 3 ? 4 2.2 ? 4.3 ? 4.8 ? 6.7 9 9 ? 4 4 =2, y = = 2 ,知回归方程为 y =0.95x+a,又经过点(2, 2 ),代入
得 a=2.6. 2.7.502 当 x=9 千元时,y=0.66× 9+1.562=7.502. 3.6.5 8 327 396

? y =1.14x+0.59 根据公式代入即可求得,也可以利用计算器求得, x =6.5, y =
i i

8,

? xi 2
i ?1

6

=32 7,

?x y
i ?1

6

=396,回归直线方程为 y =1.14x+0.59.

?

5


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