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2.2.3 独立重复试验与二项分布


2.2.3 独立重复试验与二项 分布

教学目标
? 知识与技能:理解n次独立重复试验的模型及二项 分布,并能解答一些简单的实际问题。 ? 过程与方法:能进行一些与n次独立重复试验的模 型及二项分布有关的概率的计算。 ? 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活 的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 ? 教学重点:理解n次独立重复试验的

模型及二项分 布,并能解答一些简单的实际问题 ? 教学难点:能进行一些与n次独立重复试验的模型 及二项分布有关的概率的计算 ? 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多 媒体、实物投影仪

独立重复试验的定义: 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称 为n次独立重复实验
在n次独立重复试验中,“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的影响,即

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An ) 其中Ai (i ? 1,2,?, n)是第i次试验的结果

掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖向下的概 率是q=1-p,连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上 的概率是多少?

用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件,则
B1 ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 )
由于事件A1 A2 A3, A1 A2 A3和 A1 A2 A3彼此互斥, A1 , A2 , A3 , A4相互独立 由概率加法公式和乘法公式得

P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

? q 2 p ? q 2 p ? q 2 p ? 3q 2 p

类似可以得到:

P( B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q p
2

P( B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp 2

P( B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3
可以发现

P( Bk ) ? C p q ,k=0, 1, 2, 3
k 3 k

3?k

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数 为X,在每次试验中事件A发生的概率是P,那么在n次 独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率

A
P( X ? k ) ? C p (1 ? p) ,k ? 0,1,2,?, n
k n k n ?k

?

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。

P( X ? k ) ? C p (1 ? p) ,k ? 0,1,2,?, n
k n k

n ?k

说明: (1)每一次独立重复试验只有两种结果,即某事 件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概 率都是一样的;
(2)此公式仅用于独立重复试验.

P( X ? k ) ? C P (1 ? P)
k n k

n ?k

二项分布公式

? 1 ? P) 是 ( ? P ? 展开式中的第k ? 1项
n

例1 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中 ①击中一次,②第二次击中,③击中两次,④第二、三 两次击中,⑤至少击中一次的概率. 由题设,此射手射击1次,中靶的概率为0.4.
① n=5,k=1,应用公式得

② 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或 击不中都可,它不同于“击中一次”,也不同于“第二次 击中,其他各次都不中”,不能用公式.它的概率就是 0.4. ③n=5,k=2,

例1 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中 ①击中一次,②第二次击中,③击中两次,④第二、三 两次击中,⑤至少击中一次的概率. ④“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五 次可中可不中,所以概率为0.4×0.4=0.16.

⑤设“至少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”, “击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中 五次”,所以概率为 P(B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =0.2592+0.3456+0.2304+0.0768+0.01024 =0.92224. 1-P(0)

例4 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手 在10次射击中, (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率。 解:设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 10 8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? P( X ? 8) ? P( X ? 9) ? P( X ? 10) 8 8 10?8 9 9 10?9 ? C10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? C10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
10 10 10 10?10

? 0.68

例1.设3次独立重复试验中,事件A发 生的概率相等,若已知A至少发生一 次的概率等于19/27,求事件A在一次 试验中发生的概率。

解法一:设事件 A在一次试验中发生的概 率为P, 19 8 2 3 3 则: 1? ( 1 ? P) ? , ? ( 1 ? P) ? , ?1 ? P ? 27 27 3 1 ?P ? 3

解法二 : 设事件A在一次试验中发生的概 率为P, 19 则:C 3 P( 1 ? P) ? C 3 P( 1 ? P) ? C 3P ? 27 19 2 2 3 3P( 1 ? P) ? 3P( 1 ? P) ?P ? 27 19 1 3 P ? 3P( 1 ? P)? , ?P ? 27 3
1 2 2 2 3 3

练习 1.有10门炮同时各向目标各发一 枚炮弹,如果每门炮的命中率都是 0.1,则目标被击中的概率约是 D ( )

A 0.55 B 0.45 C 0.75 D 0.65

1 ? 0.9

10

2.一射手对同一目标独立地进行4 次射击,已知至少命中一次的概率 80 为 ,则此射手射击一次的
81

命中率是( B )

A

1 3

B

2 C 3
4

1 4

D

2 5

80 1 ? (1 ? p) ? 81

3.甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,甲队与乙队实力之比为3:2,若 比赛时均能正常发挥技术水平,则 在5局3胜制中,打完4局才能取胜 的概率为( A )
3 2 2 3 AC ?( ) ? ? 5 5 5
2 3

C

3 3 2 C ?( ) ? 5 5
3 4

3 2 2 B C ?( ) ? 5 3 D C3 ? ( 2 )3 ? 1 4 3 3
2 3

4.一批产品共有100个,次品率为 3% ,从中有放回抽取3个恰有1个 次品的概率是( A )
A C3 ? 0.03 ? (1 ? 0.03)
1 1 2 2

B C3 ? (0.03) ? (1 ? 0.03)
C
C3 ? (0.03)
1 3

D C 3 C 97
1 2

C

3 100

无放回抽取

例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率

P(甲胜3个球) ? ( 0.7 ) ( 1 ? 0.6 ) ? 0.021952
3 3

P(甲胜2个球) ? ( 0.7 ) ? C 3 0.6 ( ? 1 ? 0.6 )
3 1 2

? C 3 0.7 (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.6)
2 2

3

? 0.099884 ? 0.025664 ? 0.125548

例题3.实力相当的甲、乙两队 参加乒乓球团队比赛, 规定5局3胜制. ( 1 )试分别求甲打完 3局、 4局、 5局才取胜的概率; ( 2 )求按比赛规则甲获胜 的概率.
1 3 1 解:( 1 )甲打完3局就取得胜利的概率为 :C 3 ? ( )? 2 8 1 1 1 3 2 2 甲打完4局就取得胜利的概率为 :C 3 ? ( )? ? ? 2 2 2 16 1 3 1 3 甲打完4局就取胜的概率易错误 地写为:C 4 ? ( )? , 2 2
3

这里的C 4 表示甲取胜的 3局顺序可以是: 1、 2、 3; 1、 2、 4; 1、 3、 4; 2、 3、 4; 而顺序为: 1、 2、 3是不合题意的,这点要 特别注意. 1 2 1 2 1 3 2 甲打完5局就取得胜利的概率为 :C 4 ? ( ) ?( ) ? ? 2 2 2 16

3

1 3 3 1 ( 2 )求按比赛规则甲获胜 的概率P ? ? ? ? . 8 16 16 2

练习题.甲、乙两队排球比赛, 已知在一局比赛中, 2 甲队胜的概率为 ,没有平局 .若采用 5局3胜制比赛, 3 先胜三局者为胜, .甲获胜的概率是多少? .

2 3 8 解:P(甲用三局取胜) ? ( )? , 3 27 2 3 8 1 1 P(甲用四局取胜) ?C( )( ) ? , 3 3 3 27
1 2 2 3 16 P(甲用五局取胜) ?C ( ) ( )? , 4 3 3 81 8 8 16 64 ? P(甲胜) ? ? ? ? 27 27 81 81
2

( 2003年全国高考题, 改编)A、B两个代表队进行乒乓球 对抗赛, 每队三名队员, A队队员是A1,A 2,A 3,B队队员是B1,B 2,B 3 . 按以往多次比赛的统计 ,对阵队员之间胜负概 率如下:

对阵队员 A队队员胜的概率 B队队员胜的概率
1 2 3 3 3 2 A 2 对B 2 5 5 3 2 A 3 对B 3 5 5 现按表中对阵方式出场 ,每场胜队得 1分,负队得0分.
A 1 对B1

设A队、B队最后所得总分为 ?、?,求所有的?、?的概率.

解:?的取值可为: ? ? 0, 1 , 2, 3,
2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 3 5 5 3 5 5 2 2 3 2 2 1 2 2 3 28 P( ? ? 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 5 3 3 5 5 75

1 3 3 3 P( ? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25

2 2 2 8 P(? ? 3) ? ? ? ? 3 5 5 75

?的取值可为: 0, 1 , 2, 3.
2 2 2 8 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ? ? ? ? 3 5 5 75 2 2 3 2 2 1 2 2 3 28 P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 5 3 3 5 5 75

2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 3 5 5 3 5 5

1 3 3 3 P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25

例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.

解:设“答对 k题”的事件为 A,用P10 (k)表示其概率,由
1 k 3 10?k ? k ? C 10 ? ( 4 ) ? ( 4 ) ?1 ? ? P10 (k ) 1 k ?1 3 11?k ?11 ? k k ?1 ? 1 ? ?1 C 10 ? ( ) ( ) ? P (k ? 1) ? ? 10 ? ? 3k 4 4 ?? ?? ? ? P10 (k ) ? 1 ? C K 10 ? ( 1 ) K ? ( 3 )10?k ? 3(k ? 1) ? 1 ? ? ? 4 4 ? 10 ? k P ( k ? 1 ) ? 10 ? 1 ? k ?1 1 k ?1 3 9?k ? C 10 ? ( ) ? ( ) 4 4 ? 11 ? ? k ? 2. k ? ? 7 11 ? 4 ?? ? ?k ? 1 2 3 8 2 4 4 ? P2 ( 2) ? C 10 ? ( ) ? ( ) ? 0.28 ?k ? 7 4 4 ? 4 ?

例2.有译电员若干员,每人独立 1 破译密码的概率均为 3 ,若要达 到译出密码的概率为0.99,至少 要配备多少人? (lg2=0.3010,lg3=0.4771)

袋中有12个球,其中白球4个, 甲、乙、丙三人接连从袋中取球, 甲先取然后乙、丙,再又是甲,如此 继续下去,规定先取出一个白球者 获胜.分别求满足下列条件的甲、 乙、丙的获胜率:
(1)抽后放回; (2)抽后不放回.(
9 6 4 77 53 35 , , ; , , , 19 19 19 165 165 165

)


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