当前位置:首页 >> 研究生入学考试 >>

微积分学 P.P.t 标准课件12-第12讲函数的连续性


高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学(一)
—— 一元微积分学
第十二讲 函数的连续性

脚本编写,教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

第三章 函数的极限与连续性
本章学习要求: 了解函数极限的概念,知道运用"ε-δ"和 "ε-X "语言描 述函数的极限. 理解极限与左右极限的关系.熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限. 理解无穷小量的定义.理解函数极限与无穷小量间的关系. 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 理解极限存在准则.能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限. 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型.了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理,最值定理). 理解幂级数的基本概念.掌握幂级数的收敛判别法.

第三章 函数的极限与连续性
第七,八节 函数的连续性及其性质 一,连续函数的概念 二. 函数的间断点 三. 连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性

一,连续函数的概念 极限形式 增量形式

1.函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域 定义 可减弱:x0 为聚点

设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
x→ x0

lim f ( x) = f ( x0 )

则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.

函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点: (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义;(包括在点 x0 处有定义)

(2) lim f ( x) = a 存在;( x → x0 时, f ( x ) 有极限 )
x → x0

(3) a = f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)

例1 解

函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? ∵ y = x 2 在 U(0) 内有定义,

又 且

lim x = 0
2 x→0

y

x =0

=x

2

x =0

=0

∴ 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.

2.连续性的《 ε-δ 语言》形式
定义

设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义.

x = x x0

ε > 0, 若 δ > 0, 当 | x x0 | < δ 时, 有 | f (x) f (x0) | < ε
y = f ( x) f ( x0 )

成立, 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用《 ε δ 》语言描述它.

3.连续性概念的增量形式
定义

在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的 增量, 记为 u = u2-u1.
u 是一个整体记号, 它可以取正值,负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.

设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, x∈U(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. 此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 y y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
O x0 y y = f (x) y x x x

连续性概念的增量形式
定义

设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若
x →0

lim y = 0

(x = x x0 )

则称 f (x) 在点 x0 处连续.
自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.

4.函数的左,右连续性
定义 设函数 f (x) 在 [x0, x0+δ ) 内有定义. 若
x→x0

lim f ( x) = f ( x0 ) +

则称 f (x) 在 x0 点处右连续. . 设函数 f (x) 在 (x0– δ , x0 ] 内有定义. 若
x→ x0

lim f ( x) = f ( x0 )

则称 f (x) 在 x0 点处左连续. 其中, δ > 0 为任意常数.

定理

x→x0

lim f ( x) = f ( x0 )


x→x

lim f (x) = lim f (x) = f (x 0) +
0

x→x0

函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.

例2

讨论 y = | x |, x∈(∞,+∞) 在点 x = 0 处 的连续性. y



∵ lim | x |= 0
x→0

y=|x|

y x =0 = | x | x =0 = 0

O

x

∴ y = | x | 在点 x = 0 处连续.

例3

讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性. 1, x > 0, sgn x= 0, x = 0, 1, x < 0.
x →0



lim+ sgn x = lim+ 1 = 1
x →0
x →0

x →0

lim sgn x = lim (1) = 1

sgn x|x=0=sgn 0 = 0 故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.

例4

讨论函数 f (x) =

x2,

x ≤1,

x + 1, x >1,

在 x = 1 处的连续性. 解
x →1

∵ f (1) = x
x →1

2

x =1

= 1,
x→1

lim f ( x) = lim x 2 = 1

lim f ( x) = lim( x + 1) = 2 + +
x→1

∴ 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续. 但由于
x →1

lim f ( x) = 1 = f (1)

故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.

5.函数在区间上的连续性
定义

设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义. 若 x0∈(a, b), f (x) 在点 x0 处连续, 则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为 f (x)∈C( (a, b) ).

定义

若 f (x)∈C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处 右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 记为 f (x)∈C( [a, b] ).
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性

一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) ∈C( I ) .

例5

介绍李普希茨(Lipschitz)连续性, 赫尔德(hlder)连续性.

如果存在常数 L 使得 x1 , x2 ∈ [a, b], 有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | ≤ L | x1 x2 | 成立, 则称 f ( x) 在 [a, b] 上是李普希茨连续的.

其中, | f ( x1 ) f ( x2 ) | ≤ L | x1 x2 | 称为李普希茨条件.
如果 f ( x) 在 [a, b] 上是李普希茨连续的, 则 f ( x) ∈ C ([a, b]). 反之不真.

如果函数 f ( x) 在区间[a, b] 上满足赫尔德条件 :

| f ( x1 ) f ( x2 ) | ≤ L | x1 x2 |α

x1 , x2 ∈ [a, b]

其中, L, 0 < α ≤ 1 为常数 , 则称 f ( x) 在区间[a, b] 上

是赫尔德连续的.

α 称为赫尔德指数, α = 1 时, 即为李普希茨连续.
如果 f ( x) 在 [a, b] 上是赫尔德连续的, 则 f ( x) ∈ C ([a, b]). 反之不真.

李普希茨条件是线性的 赫尔德条件是非线性的 , .

由李普希茨连续性 连续性; 赫尔德连续性 连续性 的证明, 请自己完成.



f ( x) = x

1 3

( x0 = 0).

二. 函数的间断点
通常将函数的不连续点叫做 函数的间断点.

函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点: (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义)

( 2) lim f ( x) = a 存在 ; ( x → x0 时, f ( x ) 有极限 )
x → x0

(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)

1.函数间断点的定义
定义 若函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内有定义, 且在点 x0 处 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点: (1) f (x) 在 x0 处无定义.
(2) lim f ( x ) = a 不存在 .
x → x0


求函数间断点的途径: 求函数间断点的途径:
(1) f (x)在 x0 处无定义, 但 f (x) 在 U( x0 ) 内有定义. (2) lim f ( x) 与 lim f ( x) 中至少有一个不存在.
+ x → x0 x → x0



(3) xlim f ( x) 与 xlim f ( x) 存在, 但不相等. →x →x
+ 0 0

(4) lim+ f ( x) = lim f ( x) = a, 但 a ≠ f (x0 ).
x → x0 x → x0

2.函数间断点的分类

函 数 的 间 断 点
类间断点 类间断点

(1) 第一类间断点
定义

若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且
+ x → x0

lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在 , 则称 x0 为函数
x → x0

f (x) 的第一类间断点.

例6

讨论函数 f (x)=

x +1 1 2 sinx y

x>0
x=0

x<0

在 x = 0 处的连续性. 由图可知, 函数在 点 x0 处间断. y=x+1
1 1 2

y = f (x)

O y = sinx

x



1 f (0) = 2
x →0

( f ( x) 在 x = 0 处有定义 )
x →0

∵ lim+ f ( x) = lim+ ( x + 1) = 1
x →0

lim f ( x) = lim sin x = 0
x →0
x →0

∴ lim+ f ( x) ≠ lim f ( x)
x →0

故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. 将左,右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.

例7

x 1 讨论 f ( x ) = 在 x = 1 处的连续性. x 1
2

解 ∵函数在 x =1 无定义,

y P(1,2) 1 O 1 x

∴ x =1 为函数的间断点.
x2 1 而 lim = lim( x + 1) = 2 x →1 x 1 x →1

故 x =1 为函数的第一类间断点.
进一步分析该间断点的特点.

分析

x2 1 由于 lim =2 x →1 x 1
x2 1 y | x =1 = lim =2 x →1 x 1

补充定义

即定义

f * (x) =

x 2 1 x 1
2

x ≠1
x=1

则函数 f *(x) 在 x =1 连续.

这个间断点的特点是该处的左,右极限存 在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点 处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将 这种间断点称为可去间断点.

补 充 定 义 f * (x) =

f ( x) ,
x→ x0

x ≠ x0

lim f ( x) , x = x0

第 一 类 间 断 点 间断点 跳跃型间断点

(2) 第二类间断点
定义

凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点. .
即左右极限至少有一个不存在的点. 即左右极限至少有一个不存在的点

这算定义吗?

例8

1 讨论函数 f ( x ) = 在 x = 0 处的连续性. x
1 y= x

1 y 解 ∵ f ( x) = 在 x = 0 无定义, x



x = 0为函数的间断点,
O

1 又 lim± f ( x ) = lim± = ±∞, x →0 x →0 x

x

1 故 x = 0为函数 f ( x) = 的第二类间断点. x
由于 lim f ( x) = ∞ 所以称它为无穷间断点.
x →0

例9

1 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0 处的连续性 . x

1 解 ∵ f ( x ) = sin 在 x = 0 处无定义, x

∴ x = 0 为函数的间断点 .
1 又 lim f ( x ) = lim sin 不存在, x→0 x→0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.

y
1

1 y = sin x

O
1

x

1 称 x = 0 为 f ( x) = sin 的振荡型间断点 . x

第 二 类 间 断 点

无穷型间断点
无穷

型间断点

间断点

三.连续函数的运算 及其基本性质

回忆函数极限的四则运算
lim f ( x) = a ,
lim g ( x) = b ,


x → x0

x → x0

x → x0

lim [ f ( x ) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = a ± b
x → x0 x → x0

x → x0

lim f ( x) g ( x) = lim f ( x) lim g ( x) = a b
x → x0 x → x0

f ( x ) x → x0 a lim = = x → x0 g ( x ) lim g ( x) b
x → x0

lim f ( x)

(b ≠ 0)

回忆函数极限的四则运算
f, lim f ( x) = a ( x0 )
g, lim g ( x) = b ( x0 )


x → x0

x → x0

现在怎么说?
x → x0

x → x0

lim [ f ( x ) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = a ± b
x → x0

x → x0

lim f ( x) g ( x) = limx0f )(xg ( x0 ) = [ x) x) agbx )] x = x ) lim g ( f ( = ( f(
x → x0 x → x0

0

limx f )( x) f (a ) fx x f ( x) x →(0 0 = = lim = x → x0 g ( x ) limxg)( x) g (b ) g( 0 x
x → x0

( (b ≠ 0) g ( x0 ) ≠ 0 )
x = x0

1.连续函数的四则运算 设函数 f (x), g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 即
x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0

lim g ( x) = g ( x0 ) ,
(1, 2, , n)

x → x0

lim f i ( x) = f i ( x0 )



(1) 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即
x → x0

lim [ f ( x ) ± g ( x )] = f ( x0 ) ± g ( x0 )

x → x0

lim [ f1 ( x ) + f 2 ( x ) + + f n ( x )] = f1 ( x 0 ) + f 2 ( x 0 ) + + f n ( x 0 )

(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是 一个在点 x0 处的连续函数. 即
x → x0
x → x0

lim [ f ( x ) g ( x )] = f ( x 0 ) g ( x 0 )

lim [ f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )] = f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) f n ( x0 )

(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即

f ( x) x→x0 f ( x0 ) lim = = x→x0 g ( x) lim g( x) g( x0 )
x→x0

lim f ( x)

(g(x0 ) ≠ 0)

2.几个重要定理
这些定理与极限中的定理类似

定理 1 若 f (x) 在区间 I 上连续, 则 | f (x) | 仍 在 I 上连续. y y = | f (x) |

O y = f (x)

x



x0∈I , 由 f (x) 在 x0 的连续性:

ε > 0 , δ > 0 , 当| x x0 | < δ 时, 有 | f ( x) f (x0) | < ε 此时, 由绝对值不等式得 | | f (x) | | f (x0)| | ≤ | f (x) f (x0) | < ε 由 x0 的任意性, | f (x) | 在区间 I 上连续.
(若 I 为闭区间, 则对区间端点时指的 左, 右极限. )

注意:
该定理的逆命题不成立.
1, 例如, f (x) = 1, x 为无理数. x 为有理数,

例10

设 f ( x),g ( x) ∈ C ( I ), 则函数

1 ( x) = min{ f ( x), g ( x)},
x∈I

2 ( x) = max{ f ( x), g ( x)}
x∈I

在区间 I 内连续.




f ( x) + g ( x) | f ( x) g ( x) | 1 ( x) = , 2 f ( x) + g ( x)+ | f ( x) g ( x) | 2 ( x) = , 2

运用连续函数四则运算法则, 立即可证.

定理 2

(保号性定理)

若函数 f (x) 在点 x0 连续, 且 f (x0) > 0, (或 f (x0) < 0) , 则必 δ > 0, 使当 x∈U(x0, δ) 时, 有 f (x) > 0 (或 f (x) < 0 ).

y

y = f (x)
f ( x0 )

能看出一点 什么问题来 吗?
f ( x0 ) 2

.

O

x0

x

保号性的几何示意图

推论

设函数 f (x) 在点 x0 处连续. 若 f (x0) > 0, 则必 δ > 0, 使当 x∈U(x0 , δ ) 时, 有

1 f ( x) > f ( x0 ) 2

反函数的连续性
y
从几何上看: x = f -1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 从而, 单调性, 连续性保持.

y = f (x)

x = f 1 ( y )

y = f 1 ( x)

O

x

y = f -1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性,连续性仍保持.

定理 3

(反函数连续性定理) 设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加

x = f 1 ( y ) 在相应的 (减少) 且连续, 则其反函数
区间 I* = { y | y = f (x) , x∈I } 上严格单调增加 (减少) 且连续.

例11 y
π
2

y
π

1
π

2



O
1

x

1


O
π
2

1

x

2

y = sin x ∈ C ( [ 单调 增加

π π
2 , 2

])

y = arcsin x ∈ C ( [1, 1] ) 单调 增加

讨论复合函数的连续性
如果 y = f (u) 在 u0 处连续, 则 ε > 0 , η > 0 , 当 | u u0| < η 时, 有 | f (u) f (u0) | < ε

再假设 u = (x) , 且在 x0 处连续, 即
x → x0

lim ( x) = ( x0 ) , 亦即 lim u = u 0 .
x → x0

故 对上面的 η > 0 , δ > 0 , 当 | x x0| < δ 时, 有 | u u0 | = | (x) (x0) | < η 则 ε > 0 , δ > 0 , 当 | x x0| < δ 时, | u u0 | = | (x) (x0) | < η 且有(假设可以构成复合函数) | f (u) f (u0) |=| f ( (x)) f ( (x0) ) | < ε

有上面的推导, 你想到了什么? 是关于复合函数的连续性定理? 怎么写出以上推导的结论 ?

自己想一想, 动手写一下.

定理 4

(复合函数连续性定理) 设函数 u = (x) 在点 x0 处连续, 且

u0 = (x0) ,

函数 y = f (u) 在 u0 处连续.

若复合函数 y = f ( (x)) 在 U(x0) 内 有定义, 则 y = f ( (x)) 在 x0 点处连续.

这个条件有必要吗?

例12

尽管 y = u , u = cos x 1 是在定义域内

连续的函数, 但由它们构成的复合函数

y = cos x 1
的定义域是一个孤立点集 D = { x | x = 2kπ , k∈Z } 从而, 函数 y = cos x 1 在其定义域内的 每一点均不连续.

推论

在定理 4 的条件下,
x → x0

lim f ( ( x)) = f ( lim ( x))
x → x0

在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序.

例13

求 lim e
x→ 0
2

sin

2

x



lim e
x→0

sin x

= e x→0
0

lim sin 2 x

= e =1

定理 5
lim 设函数 u = (x) 的极限存在: x → x ( x) = a,
0

函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续. 若复合函数 f ( (x)) 在 U ( x 0 ) 内有定义, 则 复合函数 f ( (x)) 当 x → x0 时的极限存在, 且
x → x0


lim f ( ( x)) = f ( lim ( x )) = f (a )
x → x0

例14 解

sin x 求 lim ln x → x0 x

y = ln u 在其定义域内连续,
sin x u= 在点 x = 0 处无定义, x

sin x 但 lim = 1, x →0 x

( y = ln u 在 u = 1 处连续)

sin x sin x = ln [ lim ] = ln 1 = 0 故 lim ln x →0 x →0 x x

由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式:
设 lim g ( x) = a , lim h( x) = b (a > 0, b 为有限数 ) , 则
x → x0 x → x0

x → x0

lim g ( x) h ( x ) = a b .
x → x0

设 lim g ( x) = 0, lim h( x) = ∞, 则
x → x0

x → x0

lim (1 + g ( x))
x → x0

h( x)

=e

x → x0

lim ( h ( x ) g ( x ))

设 lim g ( x) = 1, lim h( x) = ∞, 则
x → x0 x → x0

lim g ( x)

h( x)

=e

x → x0

lim h ( x ) [ g ( x ) 1]

函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域 一般应要求 g(x) > 0. 当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) > 0 时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.

例15

(1)

lim( x + 2 x + 5)
2 x →0

cos 2 x

=5
1 sin x x→ 0 x lim

( a = 5, b = 1)

(2) lim (1 + sin x ) = e
x→ x→0

1 x

=e =e
1

( 1∞ )

(3) lim x
x →1

1 x 1

=e

lim

1 [ x 1] x →1 x 1

=e =e
1

( 1∞ )

四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续.

注意两者的区别!

例16

x 2 + ln(2 x) 求 lim x →1 arctan x
x + ln(2 x) 12 + ln(2 1) 4 lim = = x →1 arctan x arctan 1 π
2



连续性给极限运算带 来很大方便.

例17

讨论函数 f ( x) = lim n 2 + (2 x) n + x 2 n 的连续性,
n →∞

其中, x ≥ 0.



1 当 0 ≤ x ≤ 时, 有 2
n

2 ≤ n 2 + (2 x) n + x 2 n ≤ n 4.
注意夹逼定理

1 当 < x < 2 时, 有 2

2 x ≤ n 2 + (2 x) n + x 2 n = 2 x n 2(2 x) n + 1 + 2 n x n ≤ 2 x n 3.

当 2 ≤ x < +∞ 时, 有
x 2 ≤ n 2 + (2 x) n + x 2 n = x 2 n 2 x 2 n + 2 n x n + 1 ≤ x 2 n 3.
由于 lim n 2 = 1, lim n 3 = 1, lim n 4 = 1,
n →∞ n →∞ n →∞



1, f ( x) = 2 x , x2 ,

0 ≤ x ≤ 1/ 2 1/2 < x < 2 2 ≤ x < +∞

夹逼定理

由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,

1 1 所以, f ( x) 在 [ 0, ), ( , 2 ), (2, + ∞) 内是连续的. 2 2



x→

lim f ( x) = 1 ,
1 2

x→

lim+ f ( x) = 1 ,
1 2

x →2

lim f ( x) = 4 ,
1 f ( ) = 1, 2

x →2

lim+ f ( x) = 4 ,

f ( 2) = 4 ,

从而, f ( x) ∈ C ( [ 0, + ∞ ) ) .

例18

x 2 n +1 + ax 2 + bx 设 f ( x ) = lim , 2n n→∞ x +1 问 a, b 取何值时, f ( x ) 在 ( ∞,+∞) 上连续. ax 2 + bx, x, x 2 n +1 + ax 2 + bx a b 1 f ( x ) = lim = 2n , n →∞ x +1 2 a + b + 1 , 2 | x |< 1 | x |>1 x = 1 x =1



由于 f ( x ) 在 ( ∞,1), ( 1, 1), (1 ,+∞) 上为初等函数,
所以在其上是连续的.

要 f ( x ) 在 ( ∞,+∞) 上连续, 只需 f ( x ) 在 x = ±1
处连续即可. 即应有
x →1

lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) , +
x →1

x → 1

lim+ f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 1) ,
x → 1

由 f ( x ) 的表达式, 得到方程组

a + b = 1 a b = 1
解此方程组得所求: a = 0 , b = 1 .


相关文章:
更多相关标签: