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指数函数与对数函数的解题策略


指数函数与对数函数的解题策略:
指数的运算性质:
m

(1) a n ? (2) a
m? n

n

am

? a m ? a n 转化为抽象函数 ? f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? a m?n 转化为抽象函数 ? f (m ? n) ?

r />mn n

(3) a

m?n

f ( m) f ( n)

(4) (a ) ? a
m n

转化为抽象函数 ? f (m) ? f (mn)

指数函数的图像与性质:
图像

f ( x) ? a x

a ?1

0 ? a ?1

性质:
(1)定义域 (2)值域 R R

R?

R?


(3)单调性 增 (4)函数图像恒过定点(0,1) (5)(I) ?

?x ? 0 ?y ?1

(II) ?

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 (III) ? (IV) ? ?y ?1 ?0 ? y ? 1 ?0 ? y ? 1

注意: (1)指数的定义可以判定指数函数 (2)函数的值 f ( x) ? 0 即 a ? 0 可以传递范围
x

(3)单调性由 a 确定的 (4)四种情况的作用:单调生的判定,比较大小 (5)抽象函数等价情况在上面

对数的运算性质:

(1) log a m b ?
n

n log a b m

(2) loga (mn) ? loga m ? loga n 转化为抽象函数 ? f (mn) ? f (m) ? f (n) (3) log a

m m ? log a m ? log a n 转化为抽象函数 ? f ( ) ? f (m) ? f (n) n n

(4) loga mn ? n loga m 转化为抽象函数 ? f (mn ) ? nf (m)

对数函数的图像与性质:

图像:

f ( x) ? loga x
性质: (1)定义域: (2)值域: (3)单调性: (4)函数图像恒过

a ?1

0 ? a ?1

R?
R 增

R?
R 减

(1,0)

(1,0)

(5)(I) ?

?x ? 1 ?x ? 1 ?0 ? x ? 1 ?0 ? x ? 1 (II) ? (III) ? (IV) ? ?y ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0

注意:与指数函数注意是一样理解的 函数模型:
(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

(I)奇偶性:奇函数 (II)单调性: ?

?a ? 1, 增函数 ?0 ? a ? 1, 减函数
?x

(2) f ( x) ? a ? a
x

(I)奇偶性:偶函数 (II)单调性: x ? (0,??) ,增

x ? (??,0) ,减

(3) f ( x) ?

a x ?1 a x ? a?x ( f ( x ) ? , ) ax ?1 a x ? a?x

(I)奇偶性:奇函数 (II)单调性: ?

?a ? 1, 增函数 ?0 ? a ? 1, 减函数

(III)值域: ( ?1,?1) (4) f ( x) ? log a

1? x 1? x

(I)奇偶性:奇函数 (II)单调性: ?

?a ? 1, 增函数 ?0 ? a ? 1, 减函数

(III)定义域 (?1,1) 值得关注的是: (3)与(4)之间是互为反函数的关系,它们关于 y ? x 对称。 (5)函数 f ( x) ?

ax ax ? a

(I)若 x1 ? x2 ? 1,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 (II)求 f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n ?1 ) 的值 n

这里 a 的取值是任意的, (如 2,3,4 等等)

题组一:指数运算练习
已知 x ? x
1

1 2

?

1 2

? 3 计算下列各式的的值:
(2) x ? x
2 ?2

(1) x ? x (5) x ? x
1

?1

(3) x ? x
3

?3

(4) x ? x
3

3 2

?

3 2 ? 3 2

?1

(6) x ? x
2

?2

(7) x ? x
3

?3

(8) x 2 ? x

(9) x 2 ? x

1

?

1 2

(10)

x 3 ? x ?3 ? 2 x1 ? x ?1 ? 7

指数函数题组训练:
注意: f ( x ? a) , f ( x) ? a , f ( x ? a) , f ( x ? a ) 作图程序切勿混乱

一.基础通关训练:

1.作函数(1) y ? 2 , (2) y ? 2

x

x?2

(3) y ? 2

x ?2

,并指出单调区间,值域。

?1? 2.已知函数 f ( x) ? ? ? ? 2?

x 2 ? 2 x ?3

,求函数的的单调区间及值域

3.已知 x ? [0,2] ,求 f ( x) ? 22 x ? 3 ? 2 x?2 ? 1 的值域 4.已知函数 f ( x) ? 2
x ?1 ? x

,求函数的的单调区间及值域

5.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,研究函数的单调性,奇偶性,及最值 6.已知函数 f ( x) ?

2x ?1 ,研究函数的单调性,奇偶性,及最值 2x ?1
2 为奇函数,求 a 2 ?1
x

7.若函数 f ( x) ? a ?

8.求函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 在 x ? [1,2] 的值域 9.对任意的 x ? [1,2] , m ? 3 ? 3 恒成立,求 m 的取值范围
x ?x

二.能力提高:
1.方程 2 ? 2 ? x 根的个数
x

2.已知函数 f ( x) ? a
x

2x

? 2a x ?1,(0 ? a ? 1) 在区间 [ ?1,1] 上函数的最大值为 14,求 a 的值
x ?1

3.若关于 x 的方程 4 ? 2

? a 有两个不同的实数根,求 a 的取值范围

2 4.二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 f (0) ? 3 , f (1 ? x) ? f (1 ? x)

求证:当 x ? 0 时,都有 f (b ) ? f (c )
x x

5.已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?a , (a ? 1) x ?1

(1)证明: f ( x) 在 (?1,??) 上为增函数 (2)证明: f ( x) ? 0 没有负数根 6.比较 a 与 b 的大小关系,其中 0 ? a ? b ? 1
b a

7.已知函数 f ( x) ? a , ( 0 ? a ? 1 )求证:对任意的 x1 , x2 ? R ,
x

都有 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

8.已知函数 f ( x) ?

100 x2 1 ,求 ( f (k ) ? f ( )) 的值 ? 2 x ?1 k k ?1
x x

9.求证:方程 3 ? 5 ? 7 有且只有一个解。
x

10.已知 a, b, c 均为正实数,且 a ? b ? c
2 2

2

求证: a ? b ? c , ( n ? 3, n ? N ? )
n n n

对数的运算练习:
1.已知 lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771,计算 lg15 2.已知 loga 2 ? m , loga n ? 3 ,计算 a 3.化简: (1) ?lg 5? ? lg 2 ? lg 50
2
2m?n

的值
1 ?lg 4 ? lg5 2

(2) 100
z

(3) log 2 ?

3

(2 ? 3 )

4.已知 x, y , z 均为正数, 3 ? 4 ? 6
x y

(1)求使得 2 x ? py 成立的 p 的值, (2)求与(1)所求 p 的差的绝对值最小的整数

(3)求证:

1 1 1 ? ? 2y z x

(4)比较: 3 x , 4 y , 6 z 的大小关系

对数函数的题组训练: 一.基础通关训练:
1.作函数的简图:(1) y ? log2 ( x ? 2) ? 1 ,(2) y ? lg x ,(3) y ? lg x ,(4) y ? lg x 2.求函数 f ( x) ? lg( x ? 3x ? 2) 的单调区间
2

3.讨论 f ( x) ? loga loga x 在区间 (1,??) 的单调性 4.已知函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a)
2

(1)定义域为 R,求 a 的取值范围 (2)值域为 R,求 a 的取值范围 变式: f ( x) ? lg(ax ? ax ? 1) 上面情况是什么呢
2

5.已知函数 f ( x) ? log a

1? x , ( 0 ? a ? 1) 1? x

(1)求函数的定义域 6.已知函数 f ( x) ?

(2)解 f ( x) ? 0

1 1? x ? lg x?2 1? x 1 2

(1)判断单调性,并证明 (2)解不等式: f ( x ? 1) ?

二.能力提高:
1.已知函数 f ( x) ? lg x (1)若 0 ? a ? b , f (a) ? f (b) ,则 a ? b ? 1 (2)若 0 ? a ? b , f (a) ? f (b) ,则 a ? b ? 1 2.设 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 2 ,求 M ? log2 (4x ? y 2 ? 1) 的最值 3.若函数 f ( x) ? (1 ? x) log3 a ? x ? 1在 x ?[0,1] 上恒正,求 a 的取值范围 4.若函数 f ( x) ? lg

1? 2x ? a ? 4x 在 x ? (??,1] 上都有意义,求 a 的取值范围 3
2 2

5.已知函数 f ( x) ? log3 x , x ?[1,9] ,求 y ? f ( x) ? f ( x ) 的最大值 6.已知函数 f (log a x ) ? (1)求 f ( x)

a ( x ? x ?1 ) a ?1
2

, ( 0 ? a ? 1)

(2)判断 f ( x) 的单调性

2 (3)规定函数 f ( x) 定义域为 (?1,1) ,解不等式: f (1 ? x) ? f (1 ? x ) ? 0

7.若函数 f ( x) ? loga (2 ? ax) 在 x ?[0,1] 上为减函数,求 a 的取值范围 8.若 x2 ? logm x ? 0 在 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的取值范围 9.若关于 x 的方程 4 ? m ? 2
x x ?1

1 2

? 5 ? 0 有两个不同根,求 a 的取值范围

x ?x 10.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0

11.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2
x

?x

,求方程 f ( x) ? f (2 x ? 3) 的所有根之和

指数函数
1.已知指数函数 f ( x) ? (2a ? 1) x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围为( ) A. (0,1) B. (0,2)
2

C. ( ,1)

1 2

D. ( , 2 )

1 2

2.函数 f ( x) ? 2? x A. [0,2]

? 2 x ?1

的值域是( ) C. [0,4] D. (0,4]

B. (0,2]

3.已知指数函数 f ( x) ? a x , (a ? 1) ,对任意 x1 , x2 ? R ,下列正确的是( ) A. ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 B. f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. [ f ( x1 )] 2 ? f ( x1 ? x2 )
x

x ?x 4.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) 的解集为( )

A. (0,??)

B. ( ,?? )

1 2

C. (?? , )

1 2

D. (??,1)

x ?x 5.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 的解集( )

A. (??,0)

B. (?? , )

1 2

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

6.已知函数 f ( x) ? A.1006

2014 4x k ,则 f( ) =( ? x 4 ?2 2014 k ?0

) D.2014 ) D. (3,1)

B.1007

C.2013

4 ? 2x ? 2 7.已知函数 f ( x) ? 的对称中心为( 2x ? 1
A. (0,1) B. (0,3) ) C.969 C. (1,3)

8. ( 2 ? 3)6 的整数部分是( A.999
x

B.979

D.989

9.已知 2 ? ? x ? 4 与 log2 x ? ? x ? 4 的根分别为 ,则 x1 ? x2 =() A.1
x

B.2
x x

C.3

D.4

10.求证:方程 3 ? 5 ? 7 有且只有一个解

对数函数
1.已知函数 f ( x) ? log2 x ?1 ( x2 ? 3x ? 2) 的定义域是() A. ( ,1) ? (2,?? ) 2.已知函数 f ( x) ? lg

1 2

B. (??,1) ? (2,??)

C. (1,2)

D。 ( , 2 )

1 2

1? x ,则不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 的解集是() 1? x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (0,2) 2 2 ln 2 ln 3 ln 5 , , 3.比校 的大小,下面正确的是() 2 3 5 ln 3 ln 2 ln 5 ln 3 ln 2 ln 5 ln 3 ln 5 ln 2 ln 2 ln 5 ln 3 ? ? ? ? ? ? ? ? A. B. C. D. 3 2 5 3 2 5 3 5 2 2 5 3 1 x 4.已知方程 lg x ? ( ) ? 0 的两根分别为 x1 , x2 ,下面说法正确的是() 2
A. 0 ? x1 ? x2 ? 1 B. x1 ? x2 ? 1 C. x1 ? x2 ? 2 D. 1 ? x1 ? x2 ? 2

5.已知函数 f ( x) ? lg(ax ? x ? 1) 的值域为 R,则 a 的取值范围是() A. a ?

1 4

B. 0 ? a ?

1 4

C. a ? 0或a ?

1 4

D. a ? 0

6.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x 则下面正 确的是() A. D..

f (1) ? f (?2) ? f (3)

B..

f (1) ? f (?2) ? f (3)

C..

f (1) ? f (3) ? f (?2)

f (3) ? f (?2) ? f (1)
?loga x ? 2a ? 1, x ? 1 在定义域 R 上为增函数, 则 a 的取值范围________ ?(a ? 2) x ? 1, x ? 1

7.已知函数 f ( x) ? ?

8. 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 当

) ? f (?2015 ) ? _______________ x ? (0,1], f ( x) ? l o g 2 ( x ? 1) ,则 f (2014
9.已知函数 f ( x) ? ? 范围____________ 10. 已 知 函 数

?? ln(x ? 1), x ? 0 ,存在 x1 , x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 a 的取值 ?? x ? a ? 2, x ? 0
f ( x) ? ln x



?x1, x2 , x3 ? (1,2],?x4 ? (1,2]

使



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ?f ( x4 ) 成立,则 ? 的取值范围______________


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