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2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛


2 0 1 3年第 4期 

2 0 1   2年全 国高中数学联赛江苏赛 区复赛 
中图分类号 : c 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3) 0 4—0 0 2 7— 0 4  

第 一 试 


+ 号= 音 l

( 口 > >> b > O u )  
“ 



,  
P  

Z  
肼 



填 空题 ( 每 小题 8分 , 共6 4分 )  
. 则 

的右 焦 点 为 F, 右 准  线 Z与  轴 交 于 点  \ 、 、   Ⅳ, 过 椭 圆上 一点 P  

/ 

1 . 已知 4  一 3 a   1 6 , l o g 2 口=  
:   .  

N 。 '  

2 . 已知圆周上的 3 0 个点将圆周等分. 任  取 其 中j个 不 同 的 点 , 则这 j个 点 顺 次 联 结 
形 成正 j 角形 的概率 为  .   .   3 . 已知 正 i 棱 锥 的底 面边 长 为 6 , 侧 棱  为4 . 则此正 j棱 锥 的外接 球半 径 为 

作P M上 z 于 点  网 I   若P N平 分  F P M.   且 四边形 O F MP为平 行 四边形 , 证明 :  
2  

> 了‘  
四、 ( 2 0分 ) 解 关 于  的方 程 

4 . 在等差数列 { a   } 中, 若  ≤ 4 , S   ≥1 5 ,   则a   的最小值是 
5 . 设 n∈ N  , 且 


( c o s   0 尸 3 + 3 c o s   0 — 4 ) x + s i n   = 0 .  
加 试 


.  
‘  

4+ 2 n 。 +5 n  + l 2 , l +5  



( 4 0分 ) 设 A、   是 o0 。 与o0   的两 

为完全平方数. 则n =   6 . 若不等式 
口s i n   +c o s   ≥ 2—1  

.   ’  

对任意的   ∈ R恒成立 , 则实数 a的取值范 
同是  .  

7 . 在△ A B C中 , 已知 A B=l O 。 边A B 上 

个交点 , 过A作一条直线分别与6 3 o . 、 o0 : 交  于点 C 、 D, 过c 、 D分别作oD . 、 0D : 的切线,   并过点  作这两条切线 的垂线 , 垂足分别为  P 、 Q . 证 明: P Q是 以 A B为直径 的圆 的一 条  切 线.   二、 ( 4 0分 ) 设  (  :l , 2 , …, 凡 ) 为实数 , 且 
; = l+3s i n   0 i .  

的高为 3 . 若当A C? B C最小时 , 则A C+ B C  
8 . 存给 定 的一 个 正 n ( n≥l O ) 边形 的 n  

证明:  

个顶点中任取 k 个点 , 使这 k 个点 中存在 四   个 点是 某个 四 边形 的顶 点 , 且 该 四边 形 有 j  条边 是所 给定 的正 n边 形 的 边. 则 k的 最 小  值 是  .  
二、 ( 1 6分 ) 设△ A B C的_ 一个 内 角 所 对 

c   一 +   : + … +   , ( : } +   + … + 寺 ) ≤ ( 詈 )   .  
三、 ( 5 0分 ) 数列 {   } 满 足 

, = 3 ,   =[   ]( n∈ N+ ) .   求所有的 n , 使 得  、  + 。 、  +   成 等 差  数列 , 其 中, [  ] 表示不 超 过实数  的最大  整数 .   四、 ( 5 0分) 设 P为质数 , n为正整数 , 且 
n=n 0+ni p + … +n, p‘
,  

应的边长分别为 a 、 b 、 C , 且 a+ b + C = 1 6 . 求 

b 。 2 e o s 2 丁 C + c 2   C O S 2 丁 B + 2 b e e o s 丁 B ? c o s 手 . s i n 手  
的值.  

其中 , n   ∈ N, 0 ≤凡   ≤ p— l , i = 0 , l , …, t .  

三、 ( 2 0分 ) 如图 l , 已知椭 网 

令I s   表示 满足下列条件 的有序  元数 

中 等 数 学 

组 ( a , b , c )的集合 :  
( 1 ) a 、 b 、 C∈ N;  

7 . 4 v / 1 0.  

由三 角形 的面积公 式 知 
1  
. 

( 2 ) a+b+ C =/ 7 , ;   ( 3 ) p   -  

1  

二 

c ? B C s i n   c= ÷× 3 ×1 0= 1 5 .  
二 

所 以, A C? B C   >3 I 0 .  

问: 集合 s   中共有 多 少 个 有 序三 元 数 组 
( a , 6 , C ) ?  

当且仅 当  C= 9 0 。 时, 上式等号成立.  
则A C  + B C   =1 0 0 .  

参 考 答 案 
第 一 试 


故( A C+   C )  = A C   +   + 2 A C ? B C= 1 6 0 ,  
即 A C+ B C= 4 、 /   .  



1 .1 6.  

8 . f L   挈 4   J 1   + 1 .  
将 这 正 n边 彤 的 n个 J 贝点 顺 次 杯 记 为  

由l o g 2  

a b = 2  ’ .  

代入 4 “ 一 3 a  =1 6 , 得 
2   一6   x2。一1 6=0.  

A   , …, A   . 一个 四边形 的 三条 边 为所 给定  的正 n边 形 的充 分必 要条 件是其 四个 顶点 是  正 几边形 的 四个 相邻 的顶 点?  
。,

解得 2 “ = 8或 一2 ( 舍去 ) .  
所以, a  : 2 ” =1 6 .  
, 

A   A   ( | i } = 1   2一 , 【 詈 】 , 其  
中 , [   ] 表 示 不 超 过 实 数   的 最 大 整 数 . 1 及 A  
(  ̄4 1 n , 则A   = A 4 【 } 】 ) 以外的点集? 显然 , 集  合 A中无正 n 边形中四个连续的顶点 , 故 

‘ 4 06 ‘  

从3 0个 点 中取三个 不 同 的点 有 c  种 方  法, 而形成 正三 角形 的共有 1 O种.  

故概率为  .  
I L . , 3 0  

≥ 【  卜t .  

3 . 4 .  

反 之 , 正 凡 边 形 中 任 意 [  】 + l 点 构 成  
的集 合 中 , 一定 有 四个 相邻 的顶点 , 即在 r / , 个 

由题 意 , 知点 A到底面 B C D 的 距 离 为  2 , 其 外接球 的半 径为 尺 . 则 
R  一1 2=( R 一2 )  j  R=4 .  
4 . 7.  

点 中 删 除 了 【   】 个 点 后 . 而  
¨  

设公差 为 d . 由题设 知 
2a 4 ≤ 2+3 d,  ≤ Ⅱ 4—4  

【   ]  
故 删除 的相邻 两 点 中 , 必 有 一 个 包 含 四个 顶  点 相邻 的顶点 .  

j  2 a 4 ≤2+3 d <2+  ̄ 3 ( a 4 — 3 )  
吼 ≥7 .  

5 . 1或 2 .   由( n   +n+ 2 )  
<n 4+2n   +5 几  +1 2 , l+5  

所 以 ,   ≤ 【  】 + 1 .  
二、 解法 I 事实 上 ,  
b 。 = c 。 s z   C

<( n  +n+4)  

j  n 4 + 2 n   + 5 n   +1 2 n+ 5= ( / / 2 + n+ 3 )  

j  n=l 或2 .  
6 . a =0 .  



令 C O S   =一l , s i n戈= 0 .  
由题设 得 a   ≤0   a= 0 .   而当 a= 0时 , 原式 显然恒 成立.  


丁 B 十 2 6 c c 。 s 手 . c o s 孚 . s i n 争   4 R   ( s i n  。 s 2   C + s i n   c . c o s 导 +   2 s i n 日 ? s i n   c ? c o s 导 ? e o s 导 ? s i n 孚 )   ? 6   c o s   詈 ? c o s   C ( s i n   导 + s i n   詈 +  
+c 2 c 。 s 2

2 0 1 3年第 4期 

2 s i n 孚 . s i n 等 . s i n 导 )  
1 6 R2 c 。 s 2   B


四 、 若 c 。 s 詈 = 0 , 则 s i n   = 0 . 故   = 0 ?  
+  

. c o s 2   C (  

若 s i n 号 : 0 , 则 c 。 s 。 虿 0 = l , s i n   = 0 .  
从而 ,  = 0或 ±1 .  



— —  + 型 警 盟 — — — — — —   — — — — 一} ) ,     t 6 R   ( c 。 s   A ? c 。 s   B ? c 。 s 詈 )  


若 c 。  0≠0 且 s i n   2=  ̄0, 则 x#O , 且 




R   ( s i n   A+s i n   B+s i n   C)  

原 方程 化 为 





(  

) 。 =   .  
’ 

3 - 4 s e e 2 0 )   + 2 t a n 导 = o  

解法 2 如图 2 , 延长线段 c分别到点  E、 F, 使 C E=A C=b ,  F=A B =C , 联 结 E、   A   设  、 4 尸的 中点 分别 为 M 、   联结 B N、  
CM NM.   .  



 

鸯 
AN  C C O S   B


( 4 t a n   o + 1 )   + 2 t a n 詈 = 0   4 x t a n 2 詈 一 2 t a n 詈 +   一   3 = 0   导 = 号 或   2 t a n 詈 或 一 t a n 詈 ± s e c 导 .  



t a n



综上 , 原方 程 的解 是 
则A  : 6 c 。  C
,  

当 c 。 s 导 = o ,  ̄ P   0( 2 k + 1 ) 丌 ( J } ∈ z ) 时 ,  


/ M A N =   , 4 + ÷ (  + Z c ) = 詈 +  .   故   2 c o s 2 丁 C + c 2 c o s 2 詈 + :   c o s 詈 ? c o s 等 ? s . n 争  
=AM  +AN  一2 AM ?AN  C O S  


0:  

MAN 

M N   = ( 半 ) 2 =   .  

当 c 。 s 詈 ≠ 0 , 即 o # ( 2 k + 1 ) 7 c ( 后 ∈ z )   时 ,   = 2 t a n   0 或 一  导 ± s e c 詈 ( s i n 号 = 0  
时 的 情 形 包 含 在 其 中 ) .  



三、 因  N P F=   N P M=   P N F. 妖以 ,  
PF :NF.  

试 
与 D 0交于 点 E .  

又 四边 形 O F MP为平行 四边 形 , 则 
pM =0F.  


如图 3 . 设 

故e =   P F=   N F=  


: 一


1:  
e‘  

一1 .  

C 

从而 , e   +e   =1 .  

因为 函数  t )= t 。 +£   当t >0时单 调 增 
加, 而 

) =  + 吾 =   <   =   e   ,  
^ 

图3  

所以, e > ÷ .  

则/B D Q=1 8 0 。 一   B A D  

中 等 数 学 
=  

B=  

BcP.  


故 B、 C、 E、 D 四点共 圆 , 即点 B在△ C D E  
的外 接 网上.  

÷ ( 挚 ) 2 = (  
] =   + [   [   ] ] .   ① 

三、 由   、  + . 、  + : 成等差数列 , 知 

作B H   C D千  H.   由西 姆松 定理 知 P、  、 Q二 乏 点共线 .   设 0为 A B的 中点. 因 为△ A H B的外 接 
网即是 以 A   为直径 的 圆 , 所以,  
OH P=   O HB+/ B HP  
=  

2 [  

又 一 1 < [  ] ≤   , 贝 4  

2 [  

] ≤ 2 √ 2  .  
] ] >  +   [   卜 1  

故  + [   [  

>  + √ 2 l ( √   x   一 1 ) 一 1  
=3 x  一   一1 .  

OBH +   OBH +  

BC P  BAC =9 0。 .  

=  

结合式①得 
3   一   一1<2   <7+5   <1 5 .  

因此 , O H上 P Q .  

从而 , P Q是 以 A   为 直 径 的 圆 的 ~ 条 
切线.   二、 注 意到 ,   1 ≤   ≤4 ( i =1 , 2 , …, / 1 , ) .  

接下来证 明, 数列 {  t ( n ≥1 ) 为递增 
数列.  
事 实上 ,  

由均 值不 等式得 

l = 3 ,   2 =[ 3   ] - - 4 >   I  

≥3 .  

c   +   : + … +  (   1 + 丢 + … +   )   ( ≥ +   X 2 + … + 等 ) ( 暑 +   2   + … +   )  


贝 0  + 。 = [ √ 乏 戈   ] > √   一1  
=   +  (   一1 )一l  

≥  + 3 ( √ 2—1 l )一 1 >  .  
由计算 得 
I=3,  2=4,  3=5, X 4=7,  



} ( ≥ +   X 2 + … + 等 + 暑 +   + … +   ) 。  
1 ( I   ≥ +   2 ,   +   X 2 +   2 : ,   + … ’ ” +   鲁 +   ) J ‘ . ’  
) 在区间[ 1 , 2 ] 为减 函数 , 在区  

5 = 9 ,   6 =1 2 ,   7 = 1 6 .  
所以, 当n ≥7时 ,   >1 5 .  
因此 , n ≤6 .  

② 

=  

考 虑 函 数  ) = - y   + 吾 (   E [ 1 , 4 ] ) .  
易得 ,  
间[ 2 , 4 ] 为增 函数.  

故南结论② , 知满足条件的 / t ' = l 或3 .  
四、 设 P为质 数 , n∈ N+ .  

若P “ l , l , 但P  ‘  n , 则记  ( n ) = o t . 故 
n )=   ,  

从而,  
最 大值 .  

) 在 区间 [ 1 , 4 ] 的端点处取得 

其中, [   ] 表示不超过实数  的最大整数.  

又  1 ) =  4 ) = ÷, 则当1 ≤   ≤ 4 时,  

若n = n o + n i p +… + n , p   , 其中,  
0≤  ≤p一 1 , 0≤  ≤z ,  

) ≤ ÷ 、   = = >   ) ≤ ÷( 、  i = 1 , 2 , …,   ) .  

! ) =  

.  

① 

故 ÷  2 _ + 等 + 2   + . . ? +  

不妨设 

2 0 1 3年 第 4期 

3 l  

2 0 1 2年全 国高中数学联赛 黑龙江赛 区预赛 
中图分类号: c 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 4— 0 0 3 1 —0 5  





选择题 ( 每小题 5分 , 共6 0分)  

1 . (  )   。 : c  ) .  
( A) i ( B) 一i ( c) 2   叭 ’ ( D )一2   叭 ’  

2 . 设集合 
A={ 1 , 2 , …, 6 } , B={ 4 , 5 , 6, 7 } .  
( A)   ( B)  
J   ‘ Y 

则满足 S _ C A且 s n  ≠   的集合 s的个 
数为(   ) .  
( D) 8  
( C)  

1   、 
l   盂  

( A) 5 7   ( B ) 5 6   ( C) 4 9  


3 . “ 三个数 l g  、 l g  、 l g   z 成等差数列” 是  Y   = 艋” 成立的(   ) 条件.  
( A) 充 分且 不必 要 
( B) 必要且 不 充分 
网 1  

厂  
( D)  

5 . 函数 Y=e  的 图像 与 直 线  =0 、 Y:e  
所 围成 的 区域面 积是 (   ) .   ( A) 1  ( B) e一1  ( C ) e ( D) 2 e—l  

( C ) 充分必 要  ( D) 既不 充 分也不 必要  4 ? 函数 , , =   ( 0< n<1 ) 图像 的大 致形  状 是 图 l中的 (   ) .  

6 . 将十个相 同的小球装人编号为 l 、 2 、 3   的三个盒子 ( 每次要把十个球装完 ) 中, 要求  每个盒子里的个数 不少于盒子的编号数. 则  即将数 P进制表示后 , a 、 b 、 c的数字 和的和  等于其和  的数字和 , 当且仅 当在将 a 、 b 、 c  

n=n 0 + n i p+… +n , p ‘ ( 0 ≤n   ≤p一1 ) ,  

a=a 0 + a j p+… + a t P 。 ( 0 ≤口   ≤ p一1 ) ,   b =b 0 +b l p+… + b , p   ( O ≤6 f ≤ p一1 ) ,  
C =   + c l p+… + c , p   ( 0 ≤c   ≤p一 1 ) ,  
冥中, n=a+b+c .  

( p 进制表示 ) 做竖式加法运算 时, 不产生进 
位, 即当且仅 当 
n i = a i + b i + c i ( 0≤   ≤£ ) .  

则p  

当且 仅 当 

又 不定 方 程  +Y+z =m 的非 负 整 数解 

( n ! )=  ( 口! )+  ( 6   1 )+  ( c ! ) .  

的个数为 c  

因此 , 满足 条件的有序 i元 

南式①知p  

当且仅当 

组( a , b , c ) 的个数为 
l   I s   I =c     。+: c . +   …c : 。 + : .  

∑凡   = ∑( 口   + { ,   + c   ) ,  

( 吴忠麟

提供 )  


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