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函数与方程及函数图象与性质


函数、函数与方程及函数图象与性质 A组 一、选择题 1 1.(2013· 河南豫南九校四次联考)已知函数 f(x)=2x3-2x2+m 的图象上 A 点处的切线与直线 x-y+ 3=0 的夹角为 45° ,则 A 点的横坐标为( A.0 答案:C B.1 1 C.0 或6 ) 1 D.1 或6

命题立意:本题考查导数的应用,难度中等.

解题思路:直线 x-y+3=0 的倾斜角为 45° , 1 ∴ 切线的倾斜角为 0° 或 90° ,由 f′(x)=6x2-x=0 可得 x=0 或 x=6,故选 C. 易错点拨:常见函数的切线的斜率都是存在的,所以倾斜角不会是 90° .
1-x x≤1, ?2 , 2.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ?1-log2 x,x>1,

)

A.[-1,2]

B.[0,2]

C.[1,+∞)

D.[0,+∞)

答案:D 命题立意:本题考查分段函数的相关知识,求解时可分为 x≤1 和 x>1 两种情况进行求 解,再对所求结果求并集即得最终结果. 解题思路:若 x≤1,则 21-x≤2,解得 0≤x≤1;若 x>1,则 1-log2 x≤2,解得 x>1,综上可知, x≥0.故选 D. ? π π? 3.函数 y=x-2sin x,x∈?-2,2?的大致图象是( ? ? )

答案:D 解析思路:因为函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,B.函数的导数为 f′(x) 1 π π =1-2cos x,由 f′(x)=1-2cos x=0,得 cos x=2,所以 x=3.当 0<x<3时,f′(x)<0,函数单调递减,

π π π 当3<x<2时,f′(x)>0,函数单调递增,所以当 x=3时,函数取得极小值.故选 D. 1 ? 4.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=2x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f?2+log2 ? 1 A.24 1 B.12 C.12 D.24 1? =( 3? ? )

答案:D 命题立意:本题考查指数式的运算,难度中等. 1 1 解题思路:利用指数式的运算法则求解.因为 2+log2 3=2+log2 3∈(3,4),所以 1 1? ? f?3+log2 3?=f(3+log2 3)=23+log2 3=8×3=24. ? ? x≤0, ?x+1, 5.已知函数 f(x)=? 2 若关于 x 的方程 f2(x)-af(x)=0 恰好有 5 个不同的实数解, x - 2 x + 1 , x > 0 , ? 则 a 的取值范围是( A.(0,1) ) 1 ? f?2+log2 ? 1? = 3? ?

B.(0,2) C.(1,2) D.(0,3)

答案: A 解题思路:设 t=f(x),则方程为 t2-at=0,解得 t=0 或 t=a,

即 f(x)=0 或 f(x)=a. 如图,作出函数的图象, 由函数图象可知,f(x)=0 的解有两个, 故要使方程 f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的解,则方程 f(x)=a 的解必有三个,此时 0<a<1.所以 a 的取值范围是(0,1). 6.(2013· 太原五中月考)若 R 上的奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且当 0<x≤1 时,f(x) 1 =log2 x,则方程 f(x)=4+f(0)在区间(2 010,2 012)内的所有实数根之和为( A.4 020 B.4 022 C.4 024 D.4 026 )

答案:B 命题立意:本题考查函数性质的应用及数形结合思想,考查推理与转化能力,难度中等. 解题思路:由于函数图象关于直线 x=1 对称,故有 f(-x)=f(2+x),又函数为奇函数,故-f(x)=f(2 +x),从而得-f(x+2)=f(x+4)=f(x),即函数以 4 为周期,据题意其在一个周期内的图象如图所示.

1 1 又函数为定义在 R 上的奇函数,故 f(0)=0,因此 f(x)=4+f(0)=4,因此在区间(2 010,2 012)内的 函数图象可由区间(-2,0)内的图象向右平移 2 012 个单位得到,此时两根关于直线 x=2 011 对称,故 x1 +x2=4 022. ?1? ?1 ? 7.(2013· 广东韶兴一模)已知函数满足 f(x)=2f?x?,当 x∈[1,3]时,f(x)=ln x,若在区间?3,3?内, ? ? ? ? 函数 g(x)=f(x)-ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是( ?ln 3 1? A.? 3 ,e? ? ? ?ln 3 1 ? B.? 3 ,2e? ? ? 1? ? C.?0,2e? ? ? ) 1? ? D.?0,e? ? ?

1 ?1 ? 答案:A 思路点拨:当 x∈?3,1?时,则 1< x≤3, ? ? 1 ?1? ∴f(x)=2f? x?=2lnx=-2ln x. ? ? 1 ? ? ?-2ln x,x∈? ?3,1?, ? ? ∴f(x)=? ? ?ln x,x∈[1,3].

f?x? ?1 ? ?1 ? g(x)=f(x)-ax 在区间?3,3?内有三个不同零点, 即函数 y= x 与 y=a 的图象在?3,3?上有三个不同 ? ? ? ? 的交点. 2ln x ?1 ? 当 x∈?3,1?时,y=- x , ? ? y′= 2?ln x-1? <0, x2 2ln x ?1 ? ∴y=- x 在?3,1?上递减, ? ?

∴y∈(0,6ln 3).

ln x 当 x∈[1,3]时,y= x , y′= 1-ln x , x2

ln x ∴ y= x 在[1,e]上递增,在[e,3]上递减. f?x? ?ln 3 1? 结合图象,所以 y= x 与 y=a 的图象有三个交点时,a 的取值范围为? 3 ,e?. ? ? 1? ? 8.(山西大学附中高三模拟)若函数 f(x)=loga?x2-ax+2?有最小值,则实数 a 的取值范围是( ? ? A.(0,1) 答案:C B.(0,1)∪(1, 2)
2

)

C.(1, 2)

D.[ 2,+∞)

2 1 a 1 1 ?a? a 解题思路:设 t=x -ax+2,由二次函数的性质可知,t 有最小值 t?2?= 4 -a×2+2=2- ? ?

a>1, ? ? a2 2 ? 4 ,根据题意,f(x)有最小值,故必有?1-a >0, ?2 4

解得 1<a< 2.故选 C.

x≤0, ?x, 9.(2013· 山东青岛高三质检)已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零 ?x -x,x>0, 点,则实数 m 的取值范围为( ? 1 ? A.?-2,1? ? ? ? 1 ? B.?-2,1? ? ? ) ? 1 ? C.?-4,0? ? ? ? 1 ? D.?-4,0? ? ?

答案: C 命题立意:本题考查函数与方程以及数形结合思想的应用,难度中等.

? 1? 解题思路: 由 g(x)=f(x)-m=0 得 f(x)=m, 作出函数 y=f(x)的图象, 当 x>0 时, f(x)=x2-x=?x-2? ? ?
2

1 1 -4≥-4, 所以要使函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点, 只需直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个

1 交点即可,如图.只需-4<m<0,故选 C. 10.(2013· 信息优化卷)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的 实数,且具有性质: (1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a;

(2)对任意 a∈R,a*0=a; (3)对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c. 1 关于函数 f(x)=(3x)*3x的性质,有如下说法:①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数;③函 1? ?1 ? ? 数 f(x)的单调递增区间为?-∞,-3?,?3,+∞?.其中所有正确说法的个数为( ? ? ? ? A.0 B.1 C.2 D.3 )

1? 1 1 1 ?0]1? ? 答案: B 解题思路: f(x)=f(x)*0=??3x?*3x?*0=0]3x×3x+[(3x)*0]+? ?)-2×0=3x×3x+3x+3x ? ? ?3x ? 1 =3x+3x+1. 1 1 当 x=-1 时, f(x)<0, 故①错误; 因为 f(-x)=-3x- +1≠-f(x), 所以②错误; 令 f′(x)=3- 2>0, 3x 3x 1? ?1 1 1 ? ? 得 x>3或 x<-3,因此函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,-3?,?3,+∞?,即③正确. ? ? ? ? 二、填空题
x ?2 +1,x<1, 11.已知 f(x)=? 2 若 f[f(0)]=4a,则实数 a=________. ?x +ax,x≥1,

答案:2

命题立意:本题考查了分段函数及复合函数的相关知识,对复合函数求解时,要从内到

外逐步运算求解. 解题思路:因为 f(0)=2,f(2)=4+2a,所以 4+2a=4a,解得 a=2. 12.(2013· 济南 4 月高考模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,在(-∞,0)上有 2xf′(2x)+f(2x)<0 且 f(-2)=0,则不等式 xf(2x)<0 的解集为________. 答案:(-1,0)∪(0,1) 命题立意:本题考查函数的奇偶性与单调性的应用,难度中等.

解题思路:[xf(2x)]′=2xf′(2x)+f(2x)<0,故函数 F(x)=xf(2x)在区间(-∞,0)上为减函数,又由 f(x)为奇函数可得 F(x)=xf(2x)为偶函数,且 F(-1)=F(1)=0,故 xf(2x)<0?F(x)<0,当 x<0 时,由单 调性可得不等式的解集为(-1,0);同理可得当 x>0 时,不等式解集为(0,1),故原不等式解集为(-1,0) ∪(0,1). ?1? 13.(2013· 太原高三模拟)函数 f(x)=?2?|x-1|+2cos πx(-2≤x≤4)的所有零点之和为________. ? ? 答案:6 命题立意:本题考查数形结合及函数与方程思想的应用,充分利用已知函数的对称性是

解答本题的关键,难度中等. ?1? ?1? 解题思路:由于函数 f(x)=?2?|x-1|+2cos πx 的零点等价于函数 g(x)=-?2?|x-1|,h(x)=2cos πx 的图象 ? ? ? ? 在区间[-2,4]内交点的横坐标. 由于两函数图象均关于直线 x=1 对称, 且函数 h(x)=2cos πx 的周期为 2, 结合图象可知两函数图象在一个周期内有 2 个交点且关于直线 x=1 对称, 故其在三个周期[-2,4]内所有 零点之和为 3×2=6.

14.(2013· 哈师大、东北师大附中联考)已知函数 f(x)=ln 则 ab 的取值范围是________. 1? ? 答案:?0,4? ? ? 中等. 解题思路:由题意可知,ln a b +ln =0, 1-a 1-b

x ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1, 1-x

命题立意:本题主要考查对数函数的运算,函数的值域,考查运算求解能力,难度

b ? a b ? a 即 ln?1-a×1-b?=0,从而 × =1, 1-a 1-b ? ? 化简得 a+b=1, 1? 1 ? 故 ab=a(1-a)=-a2+a=-?a-2?2+4, ? ? 1 又 0<a<b<1,故 0<a<2, 1? 1 1 ? 故 0<-?a-2?2+4<4. ? ? B组 一、选择题 ?5? 1.(2013· 沈阳一模)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递减,则满足不等式 f(2x-1)>f?3?成立的 x ? ? 取值范围是( ? 1 4? A.?-3,3? ? ? ) ? 1 4? B.?-3,3? ? ? ?1 4? C.?3,3? ? ? ?1 4? D.?3,3? ? ?

答案:B 解析思路:因为偶函数的图象关于 y 轴对称,在区间[0,+∞)单调递减,所以 f(x)在(- 5 5 ?5? ∞,0]上单调递增,若 f(2x-1)>f?3?,则-3<2x-1<3, ? ? 1 4 故-3<x<3,故选 B. f?x2?-f?x1? ?1? 2.已知 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数,?x1≥0,?x2≥0,若 x1≠x2,则 <0.如果 f?3? ? ? x2-x1 3 1 =4,4f(log8 x)>3,那么 x 的取值范围为( 1? ? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,2? ? ? )

1? ?1 ? ?1 ? ? C.?2,1?∪(2,+∞) D.?0,8?∪?2,2? ? ? ? ? ? ?

答案:B 命题立意:本题考查函数的性质——单调性与奇偶性,难度中等. 1 1 3 解题思路:依题意得,函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数,不等式 4f(log8 x)>3 等价于 f(log8 x)>4, 1 1 1 1 1 1 1 ?1? f(|log8x|)>f?3?,|log8 x|<3,即-3<log8 x<3,由此解得2<x<2,故选 B. ? ?

3.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 答案:A

)

命题立意:本题主要考查函数性质的运用,突出考查了考生对函数奇偶性的理解及代数

推理论证能力.函数是高中数学最重要基础知识之一,在高考中占有举足轻重的地位,在选择题和填空 题中,主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象的识别等知识. 解题思路:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x)=ex+ ae-x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,所以 h(0)=0,解得 a=-1. 4.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的函数,其图象关于坐标原点对称,且当 x∈(-∞,0)时,不等 1? ? 1? ? 式 f(x)+xf′(x)<0 恒成立,若 a=20.2f(20.2),b=ln 2f(ln 2),c=?log2 4?f?log2 4?,则 a,b,c 的大小关 ? ?? ? 系是( ) C.c>a>b D.a>c>b

A.a>b>c B.c>b>a 答案:C

命题立意:本题考查函数性质的综合运用,考查考生分析问题、解决问题的能力.根据

已知可得函数 f(x)为奇函数,且 g(x)=xf(x)在(-∞,0)上单调递减,然后根据函数性质即可得出结果. 解题思路:构造函数 g(x)=xf(x),则 g′(x)=f(x)+xf′(x),当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故函数 y=g(x)在(-∞,0)上单调递减,由于函数 y=f(x)的图象关于坐标原点对称,所以 y=f(x)是奇函数,故函 数 y=g(x)是偶函数,根据偶函数的性质,函数 y=g(x)在(0,+∞)上单调递增.又 a=g(20.2),b=g(ln 2), c=g(-2)=g(2).由于 0<ln 2<ln e=1,根据指数函数的性质 1=20<20.2<21=2,所以 ln 2<20.2<2, 故 c>a>b. 5.函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 答案:D B.f(x)是奇函数 )

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

命题立意:本小题主要考查奇函数的定义以及相应函数的图象所具有的性质,通过这个

小题可以充分考查考生对于函数的奇偶性的理解程度,从而起到有效检验考生对于重要知识点的掌握程 度. 解题思路:依题意得 f(-x+1)=-f(x+1),即 f(-x)=-f(2+x),f(-x-1)=-f(x-1),即 f(-x)= -f(-2+x),于是 f(2+x)=f(-2+x),即 f(4+x)=f(x),f(-x+3)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x+3),即 f(-x+3)=-f(x+3),因此 f(x+3)是奇函数. 6.(2013· 辽宁大连高三双基测试)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单 调性也相同的是( 1 A.y=- x 答案:C ) B.y=log2 |x| C.y=1-x2 D.y=x3-1

命题立意:本题主要考查函数的单调性、奇偶性、函数图象,意在强调处理函数问题时

注意从函数性质的角度来分析问题,体现函数性质在解题中的作用. 解题思路:函数 y=-3|x|为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,选项 B 是偶函数但单调性不符合,

只有选项 C 符合要求. 7.(2013· 昆明重点高中检测一)已知 e 为自然对数的底数,则函数 y=xex 的单调递增区间是( A.[-1,+∞) B.(-∞,-1] 答案:A C.[1,+∞) D.(-∞,1] )

命题立意:本题主要考查函数的单调性、指数函数的性质等知识,考查函数与方程、化

归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力. 解题思路:令 y′=ex(1+x)≥0,又 ex>0,∴ 1+x≥0,∴ x≥-1,故选 A. 8.(2013· 江西新余一中模拟)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)= (2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解题思路:本题考查指数函数、幂函数的单调性,考查四种条件的判定.由题意,若函

数 f(x)=ax 在 R 上为减函数,则有 0<a<1.函数 g(x)=(2-a)x3 为增函数,则有 2-a>0,所以 a<2,所 以“函数 f(x)=ax 在 R 上为减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 为增函数”的充分不必要条件. 9.定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( A.f(-1)<f(3) 答案:A 能力. 解题思路:依题意得 f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数 f(x)在(-∞,2)上是增函数,得 f(-1) <f(1)=f(3).故选 A. ??4-a?x,x<2, 10.已知函数 f(x)=? x 在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是( x≥2 ?a , A.(1,4] B.(2,4) C.[2,4) D.(4,+∞) ) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) )

命题立意:本题主要考查函数的对称性与单调性等基础知识,意在考查考生转化问题的

答案:C

?4-a>0, 解题思路:由题意知?a>1, ?2?4-a?≤a2,
故 2≤a<4.



?a<4, ?a>1, ?a≥2或a≤-4,

二、填空题 11.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是 ________. 答案:(-7,3) 命题立意:本题考查综合运用函数图象与性质解不等式.
2 ?f?x?=x -4x<5, 解题思路:由? ?0≤x<5,又由偶函数知,f(x)<5 的解集为-5<x<5,∴ 不等 ?x≥0

式 f(x+2)<5 的解集为-5<x+2<5,即-7<x<3. 技巧点拨:用好偶函数的性质,以及 f(x+2)与 f(x)图象的关系,是捷径. 12.(2013· 宁夏银川一中月考)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, 则 a 的取值范围是________. 答案:(-∞,1] 解题思路:本题考查函数的单调性,考查学生的计算能力.令 t=|x-a|,则 t=|x

-a|在区间[a,+∞)上单调递增,而 y=et 为增函数,所以要使函数 f(x)=e|x-a|在[1,+∞)单调递增,则 有 a≤1,所以 a 的取值范围是(-∞,1].
? ? 1 13.(2013· 湖北黄冈期末考试)设 n∈?-1,2,1,2,3?,则使得 f(x)=xn 为奇函数,且在(0,+∞) ? ?

上单调递减的 n 的个数为________个. 答案:1
? ? 1 解题思路:本题考查幂函数及其单调性的判断.设 n∈?-1,2,1,2,3?,则使得 f(x) ? ?

=xn 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减的函数是 y=x-1,只有 1 个. |x2-1| 14.(2013· 云南师大附中月考)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则 x-1 实数 k 的取值范围是________. 答案:(0,1)∪(1,4) 解题思路:本题考查函数图象的交点,考查数形结合的数学思想,考查学生分 析解决问题的能力.函数 y= ?-x-1,-1≤x<1, +1|=? ?x+1, x<-1. |x2-1| |?x-1??x+1?| = ,当 x>1 时,y=|x+1|=x+1,当 x<1 时,y=-|x x-1 x-1

x+1, x>1, |x2-1| ? 综上函数 y= = -x-1, -1≤x<1 x-1 ? ?x+1, x<-1.



作出其图象,要使函数与 y=kx-2 有两个不同的交点,结合图象可知当直线经过点(1,2),(0,-2) 时,k= 2-?-2? =4,综上实数 k 的取值范围是 0<k<4 且 k≠1,即 0<k<1 或 1<k<4. 1-0

技巧点拨:研究函数图象的交点问题,关键是正确作出函数图象,体现数形结合的数学思想.


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