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2014年各省市信息卷精选理数答案19-24


2014 年各省市信息卷精选答案理数
精选十九 题 号 答 案 13. ? 192 1 B 2 C 14. 3 A 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D 9 D 10 D 11 A 12 D

设平面 PBC 的法向量为 n ,

? ?n ? BC ? 0 ? ? ? n ? BP ? 0

解得 n ?

(0,1, 3 )

17

15. 2 x ? y ? 1 ? 0

16.①②③

sin ? ?
1 5

AP ? n AP n

?

6 4
1 5

17、 (Ⅰ)设数列 ?a n ? 的公比为 q ?q ? 1? ,

?a1 ? a 2 ? a3 ? 7 ? 由已知,得 ? ?a1 ? 3? ? ?a3 ? 4 ? ? 3a 2 ? 2 ?
解得 ?

2 ? ?a1 ? a 2 ? a3 ? 7 ?a1 ?1 ? q ? q ? ? 7 ,即 ? , 也即 ? 2 ? ?a1 ? 6a 2 ? a3 ? ?7 ?a1 ?1 ? 6q ? q ? ? ?7

19、解: (Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 ,
? ? bx ? a 过点 ( x, y ) , 因线性回归方程 y

∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ,
? ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8 ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y

?a1 ? 1 ?q ? 2

故数列 ?a n ? 的通项为 a n ? 2
3n

n ?1


3n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3n ?1 ? 2 , ∴ bn ? ln a3n ?1 ? ln 2 又 bn ?1 ? bn ? 3 ln 2 ,

? 3n ln 2 ,

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ?
P(? ? 2) ?
3 C5 C1C 2 40 10 10 5 ? ? , P(? ? 1) ? 4 3 5 ? ? , 3 84 21 C9 84 42 C9

∴ ?bn ?是以 b1 ? 3 ln 2 为首项,以 3 ln 2 为公差的等差数列 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ?

2 1 3 C4 C5 30 5 C4 4 1 ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? . 3 3 84 14 84 21 C9 C9

3n?n ? 1? ln 2 . 即 Tn ? 2
18、(Ⅰ) 证明:

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n(n ? 1) ln 2 ? ? 2 2 2

其分布列为

?
P

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

∵ AB ? AD ? BD
2 2

2

∴ AD ? BD 又∵ PD ⊥底面 ABCD ∴ PD ? AD 又∵ PD ? BD ? D ∴ AD ? 平面 PBD 又∵ BC // AD ∴ BC ? 平面 PBD ∵ BC ? 平面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 PBD (Ⅱ)如图,分别以 DA 、 DP 、 DB 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 则 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) , P (0,0,1) , C (?1, 3 ,0)

? E? ?

5 10 5 1 4 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

20、解: (Ⅰ)∵双曲线 C 与圆 O 相切,∴ a ?

3,

过 C 的一个焦点且斜率为 3 的直线也与圆 O 相切,得 c ? 2 ,既而 b ? 1 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m , (k ? 0 , m ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

m k 2 ?1

,由 d ? 3 得 m ? 3k ? 3
2 2

AP ? (?1,0,1) , BC ? (?1,0,0) , BP ? (0,? 3 ,1)
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? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3

综上所述: f ( x) 在区间 [ ,2] 的最大值是 1 ? ln 2 ;最小值是 0. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 当 n ? 1 时,令 x ?

1 2

1? x x ?1 ? ln x , f ' ( x) ? 2 ,故 f ( x) 在 [1,??) 上是增函数. x x

6km 3m 2 ? 3 则 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1
AB ? k 2 ? 1 ? x 2 ? x1 ? k 2 ? 1 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2

n ,则当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 . n ?1

? k 2 ?1 ?

36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) 36k 2 (3k 2 ? 3) 12(3k 2 ? 4) 2 ? k ? 1 ? ? ? (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

又 ?AOB 的面积 S ?

1 3 OP ? AB ? AB ? 3 2 ,∴ AB ? 2 6 2 2
解得 k ? ?1 , m ?

n n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,即 ln n ? 1 . n n ?1 n n ?1 n n ?1 n ?1 2 1 3 2 n 1 2 3 n 1 1 1 , ln ? , ln ? ,?, ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? ? ??? ? 1 2 2 3 n ?1 n 1 2 n ?1 2 3 n 1 1 1 ? ln n ? ? ? ? ? . 2 3 n 1 1 1 即对于任意大于 1 的正整数 n ,都有 ln n ? ? ? ? ? . 2 3 n n )? ? f( n ?1 1?
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 BD ,在直角三角形 ABC 中,易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 0



4 3 k 2 ?1 由 ?2 6, 3k 2 ? 1

6,

∴直线 l 的方程为 y ? ? x ? 6 . 21、解: (Ⅰ)? f ( x) ?

1? x ax ? 1 ? ln x ,? f ' ( x) ? (a ? 0). ax 2 ax

? 函数 f ( x) 在 [1,??) 上为增函数, ? f ' ( x) ? 0 对任意 x ? [1,??) 恒成立 . ? ax ? 1 ? 0 对任意

x ? [1,??) 恒成立,即 a ?
取值范围是 a ? 1 .

1 1 对任意 x ? [1,??) 恒成立.? x ? [1,??) 时,( ) max ? 1 , ? 所求正实数 a 的 x x x ?1 1 1 ,? 当 x ? [ ,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ ,1) 上单调递减;? 当 2 x 2 2

所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以

(Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ?
'

BC 2 9 CD BC ,所以 CD ? ? . ? AC 5 BC AC

x ? (1,2] 时, f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1,2] 上单调递增;
1 ? f ( x) 在区间 [ ,2] 有唯一的极小值点,也是最小值点, f ( x) min ? f (1) ? 0 ; 2
1 1 1 3 ln e3 ? ln16 又? f ( ) ? 1 ? ln 2, f (2) ? ? ? ln 2, f ( ) ? f (2) ? ? 2 ln 2 ? . 2 2 2 2 2

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切. 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB , 所以 ?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 90 0 ,所以直线 ED 与圆 O 相切. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 解: (Ⅰ)法一: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ,

1 1 1 1 ? e3 ? 16,? f ( ) ? f (2) ? 0, f ( ) ? f (2), ? f ( x) 在区间 [ ,2] 的最大值是 f ( ) ? 1 ? ln 2 . 2 2 2 2
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∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称,
各省市信息卷精选(理数答案)4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4) 法二: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y ? ? x ①

2 ? ? x ? 20 m 10 10 ? 2 代入得 m ? am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, ? 4 5 5 ?y ? m ? 20 ?
∴d= | m1 ? m2 | =



?x ? 4 ?x ? 0 联立①②解得 ? (舍)或 ? ? y ? ?4 ?y ? 0
所以点 A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由 ? ? 4 2 cos(? ?

10 a, 5

?

) 得圆心 C 极坐标 (2 2 ,? ) , 4 4

?

,所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 . 5
2ay ? 0 ,直线 l 的方程为 y=2x.

所以射线 OC 的方程为 ? ? ? 代入 ? ? 4 2 cos(? ?

?

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 联立 ?
2

?
4

4



? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ? y ? 2x

)得? ? 4 2

所以点 A 的极坐标为 (4 2 ,?

?
4

)

得 5x ?

2ax ? 0
2 a 5 10 a, 5

化为直角坐标得 A(4,-4). (Ⅱ)法一:圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 直线 l 的方程为 y=2x.

2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

解得 x1 ? 0, x 2 ? ?

∴d= 2 2 ? 1 | x1 ? x 2 | =

所以圆心 C(

2 2 a ,? a )到直线 l 的距离为 2 2

?

2 a ? 2a 2 5



所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 . 5

9a 2 10 ∴d=2 a ? = a. 10 5
2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?2 时,设函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2)

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 . 5
2 2

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 >0,
令 g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2ax ? 将?

2ay ? 0 ,

? x ? 2t 化为标准参数方程 ? y ? 4t

??2 x ? 3 ? 则 g ( x) ? ?1 ?2 x ? 3 ?
若 g ( x) ? 0, 则 x ? ?

x ? ?2; ? 2 ? x ? ?1; x ? ?1.

1 5 , x?? . 2 2 或
各省市信息卷精选(理数答案)6

各省市信息卷精选(理数答案)5

所以 f ( x) 定义域为 (??, ? ) ? (? , ? ?) . (Ⅱ)由题意, | x ? 1 | ? | x ? a |? 2 在 R 上恒成立, 因为 | x ? 1| ? | x ? a |?|1 ? a | ,所以 | 1 ? a |? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1 .

5 2

1 2

两式相减得, ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2
n ?Tn ? ? n ? 1? ? 2 ? 1

n ?1

? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? ?1 ? n ? ? 2n ? 1 1? 2

????????????????12 分

(19) (Ⅰ)法一 过点 C 作 OA,OE 的平行线,分别交 OA,OB 或它们的延长线于点 D,E,则四边 形 ODCE 是平行四边形

??? ? ???? ??? ? O C? O D ? O, E x ? OD, y ? OE ? CD
,根据正弦定理,

精选二十 题号 答案 ( 1) ( 2) ( 3) (4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) ( 11) (12)

在 ?ODC 中, ?D ?

?
3

OC CD ? ? sin ?D si ? nC O D

( B) ( D) ( B) ( D) ( B) (A) (C) ( A) (A) (C) ( D) (C) 4 (13)20; (14) ; (15) ? ?1, 4? ; (16)2 3
(17) (Ⅰ)根据正弦定理, ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C ? 0 ,即

1 y x OD ,即 ??5 分 ? ? ? sin ? s ?i nO C D sin ? 2? ? sin ? ?? ? 3 ? 3 ?
?????7 分

?x ?

2 3 2 3 ? 2? ? ? 2? ? sin ? ?? ? , y ? sin ? ,定义域为 ? 0, 3 3 ? 3 ? ? 3 ? ?
? 1 3? ? 2, 2 ? ? ,设 C ? cos ? ,sin ? ? ? ?

2sin A cos B ? sin ? B ? C ? ? 0 ,而在 ?ABC 中, sin ? B ? C ? = sin A

法二 以 O 为原点,以 OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 A ?1, 0 ? , B ? ? 由 cos ? ? x ?

?sin A(2cos B ? 1) ? 0

又 sin A ? 0 ? 2cos B ? 1 =0 ????????????????5 分 得x?

3 1 y y sin ? ? 2 2

cos B = ?

1 2
2

B?

2? 3
2 2

2 3 2 3 ? 2? ? sin ? ?? ? , y ? sin ? 3 3 ? 3 ?
? 3 2 3? ? 2? ?? 2 3 ? 3 sin ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? 2 3 ? ? 3 ?? ?2 ?
?????????10 分

也可用于弦定理求角 B (Ⅱ) b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac
2 2

即 a ? c ? ac =12
2 2

(Ⅱ) x ? y ?

? a2 ? c2 ? 2ac

?1 2? 2 ac

ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时取“=”号)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 AB ? BC ? c ? a ? cos ? ac ? 2 ∴ AB ? BC 的最大值为 2 ??????10 分 3 2
1 1 ? ?1 (18) (Ⅰ)由 an ?1 ? an ? an an ?1 ? n ? 2, n ? N ?? 得 an an ?1
?1? 1 1 ∴数列 ? ? 是公差为 1 的等差数列 = + n ?1 ? n an a1 ? an ?
(Ⅱ) bn ? n ? 2
n ?1

?

2 3 ?? ?? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? , 3 6? 6? ? ?

??

?

? ? ?1 ? ? ? 5? ? ? ?? , ? ? sin ? ? ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6 ? ?2 ? ?
a3 ? a2 ? 9 ? 2

x ? y 的取值范围是 ?1, 2 ? ???12 分
公比 q ?

1 an = n
2 ? n?
2 n?

????6 分
1

(20) (Ⅰ) a2 ? a1 ? 9 ① 由①, a1 ?1 ? 2 ? ? 9 (Ⅱ) bn ? 2n ? 1 ,

a3 ? a2 ?2 a2 ? a1
??????????6 分

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2? ? 3 ? 2 ?? ?n ? ?? 1
0 1 2 1 2 3

n?

2

? a1 ? 3

an ? 3 ? 2n ?1

2 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? 2

n ?1

? n ? 2n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
各省市信息卷精选(理数答案)8

各省市信息卷精选(理数答案)7

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1 Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2
(21) (Ⅰ) f
'

???12 分

?m ? n ? 0 ?

m ?1 n

?m? f ? ? ? f ?1? 而 f ?1? ? 0 ?n?

∴原式成立

??12 分

? x ? ? 2ax ? e x

不等式即 ax ? 2ax ? 15a ? 0
2

(ⅰ)a ? 0 时,不等式解集为 ? ; (ⅱ)a ? 0 时,不等式解集为 ? 5, ?? ? ? ? ??,3? (ⅲ)a ? 0 时, 不等式解集为 ? ?3,5 ? (Ⅱ) f ? x ? 有两个极值点即 f 设 g ? x? = f
' '

精选二十一 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

?????????????5 分

1 C

2 A

3 B

4 C

5 A

6 C

7 C

8 B

9 B

10 C

11 D

12 C

? x ? ? 0 有两个实根
二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 则 g ? x ? ? 2a ? e
' x

? x ? ? 2ax ? e
'

x

13. -3

14. ?? ?,2?

15.-2013

16.2

若 a ? 0 , g ? x ? ? 0 恒成立, g ? x ? 在 R 上递减,方程不可能有两个实根

三、解答题:(共 70 分) 17.(10 分) 解: (1)sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+ ? ? =2sin B,则 sin A+ =sin B.…3 分 3 3 因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ =?-B,故 A+B= ,C= . …6 分 3 3 3 (2)由正弦定理及(1)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = = sin A+sin A+ = 3sin A+cos A=2sin A+ .…9 分 c sin C 3 6 3 a + b ? 当 A= 时, 取最大值 2. …10 分 3 c 18.(12 分)

?a ? 0 当 x ? ln 2a 时 g ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ln 2a 时 g ' ? x ? ? 0 ;
当 x ? ln 2a 时 g ? x ? ? 0 , g ? x ? 取得极大值即最大值 g ? ln 2a ? ?????10 分
'

(

)

(

)

必需且只需 g ? ln 2a ? >0,即 2a ? ln 2a ? 1? ? 0 ∴实数 a 的取值范围是 ?

a?

e 2

[

(

)]

(

)

?e ? , ?? ? ?2 ?

????????????????12 分

(22) (Ⅰ) f

'

? x? ?

x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? 1 x ? x ? 1?
2

解: (1)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列

根据题意,在 ? 0, ?? ? 上恒有 f

'

? x ? ? 0 ,即 x

2

? 2 ?1 ? a ? x ? 1 ? 0

∴ (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d )
2

即d ? 2

…3 分 …4 分

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又∵ b2 ? a2 ? 3,

1? 1? 1 a ? ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 2? x? x

1? 1? ? y ? ? x ? ? ?1 ? 2 2? x?
????????????????6 分

b3 ? a5 ? 9 .
n ?1

?a ? 2

a 的取值范围是 ? ??, 2 ?

∴ q ? 3, b1 ? 1, bn ? 3 (2)∵

…6 分 ①

?m ? 2 ? ? 1? m ? n ? ? 0 由(Ⅰ) (Ⅱ)原式 ? ln ? , a ? 2 时 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 m n ?1 n

c1 c2 c ? ? … ? n ? an?1 bn b1 b2




c1 ? a2 b1

即 c1 ? b1a2 ? 3



c1 c2 c ? ? … ? n ?1 ? an (n ≥ 2) bn ?1 b1 b2
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①-②:

cn ? an ?1 ? an ? 2 bn
n ?1

∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , …10 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3 ∴

(n ≥ 2)

平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
…11 分 ∴ PO ? 平面ABCD , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB ,

( n ? 1) ? 3 cn ? ? n ?1 (≥ 2 ) ?2 ? 3 n
1 2

则 c1 ? c2 ? c3 ? … ?c2013 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? … ?2 ? 3

2013?1

又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?

? 3 ? 2 ? (13 ? 23 ? 33 ? ?

?230 1 2 )
…12 分

? 3? 2?
19.(12 分)

3(1 ? 32012 ) ? 32013 1? 3

2 a AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? . 2 2

→ → → 以 O 为原点,向量OA,OF,OP为 x, y, z 轴建立空间直线坐标系,

(1)解法一:因为面 PAD ? 面 ABCD

平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD
所以 CD ? 平面 PAD 又 PA ? PD ? 且 ?PAD ? ∴ CD ? PA …………………………2 分

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

?
2

a a a a a , 0) , D(? , 0, 0) , P(0, 0, ) , B ( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E ( ? , , ) …………………………2 分 4 2 4 ??? ? a a → a → → a (1)∵ PA ? ( ,0, ? ) ,CD=(0,-a,0) ∴?PA?CD=( ,0,- )?(0,-a,0)=0, 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD ? CD ? D ,
则有 A( , 0, 0) , F (0, ∴ PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAB , ∴平面 PAB ? 平面 PDC . …………………………6 分

a 2

即 PA ? PD

CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC

PA ? 面 PDC
又 PA ? 面 PAB 解法二:
z P E

面 PAB ? 面 PDC …………………………6 分

??? ? a a (2)由(1)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) . 2 2 ? a → → a 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .∵DP=( ,0, )?,BD=(-a,-a,0) 2 2

?a ?x+0?y+a?z=0 ? ??? ? ? ??? ? 2 ∴由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得?2 ?-a?x-a?y+0?z=0
C

D O F A x B

→ 取 x ? 1 ,则 y=-1,z=-1,故 n =(1,-1,-1) …………………………10 分

y

? ??? ? ? ??? ? n ? PA ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? n PA

a 2 a? 3 2

?

6 , 3

如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF .
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6 即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 ,……………………12 分 3
20.(12 分)解: (1)由焦点坐标为 (1, 0)
2

2 2 L(x)在[9, 10+ m]上是增函数,在[10+ m,11]上是减函数。 3 3 2 2 2 m Lmax=L(10+ m)=( 10+ m-5-m)[(20-(10+ m)]2=4(5- )3……9 分 3 3 3 3 ②当 …5 分

可知

p ?1 2

所以 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x (2)当直线垂直于 x 轴时, ?ABO 与 ?MNO 相似,

3 2 ? m ? 3 即 11 ? 10 ? m ? 12 时,L(x)在[9,11]上是增函数, 2 3

Lmax ? L(11) ? (11 ? 5 ? m)( 20 ? 11) 2 ? 81(6 ? m) ,………………11 分

所以

OF 2 1 S ?ABO ?( ) ? , S ?MNO 2 4

…7 分

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M (?2, y M ) , N (?2, y N ) , A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

m 3 ? 4(5 ? ) 3 , 1 ? m ? ? ? 3 2 所以 R(m) ? ? ?81(6 ? m), 3 ? m ? 3 ? 2 ?
答:若 1? m ?

? y ? k (x ? 1), 解? 2 整理得 k 2 x 2 ? (4 ? 2k 2 )x ? k 2 ? 0 , y ? 4 x , ?
所以 x1 ? x 2 ? 1 ,

3 2 , 则 当 每 本 书 定 价 为 10 ? m 元 时 , 出 版 社 一 年 的 利 润 L 最 大 , 最 大 值 2 3 m 3 3 ;若 ? m ? 3 ,则当每本书定价为 11 元时,出版社一年的利润 L 最大,最 R(m) ? 4(5 ? ) (万元) 3 2

…9 分

大值 R(m) ? 81(6 ? m) (万元)…………………………12 分 22. (12 分) (1) h( x) ?

…10 分

a ? ln x ,x (0,+∞) x2

h? ( x) ? ?

2a 1 x 2 ? 2a , ? ? x x3 x3

?

S ?ABO S ?MNO

1 ? AO ? BO ? sin ?AOB AO BO x1 x2 1 ? 2 ? ? ? ? ? , 1 MO NO 2 2 4 ? MO ? NO ? sin ?MON 2
…12 分

①当 a≤0 时,∵x>0,h?(x)>0,函数 h( x)在(0, ??)上单调递增, ②当 a<0 时,由 h?(x)>0 得 x> 2a,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a , ??) h?(x)<0 得 0<x< 2a,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a ) (2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
3 2

综上

S ?ABO 1 ? S ?MNO 4

…………5 分

21.解: (1)该出版社一年的利润 L (万元)与每本书定价 x 的函数关系式为:

L ? ( x ? 5 ? m)( 20 ? x) 2 , x ? [9,11] .……………5 分(定义域不写扣 1 分)
(2) L ( x) ? (20 ? x) ? 2( x ? 5 ? m)( 20 ? x)
/ 2

…………7 分

2 3

? (20 ? x)(30 ? 2m ? 3x) .…………………6 分

x
g '( x)
g ( x)

0

2 (0, ) 3

2 3
0 极 (最) 小值 ? 85

2 ( , 2] 3

2

2 .…………7 分 m 或 x=20(不合题意,舍去) 3 32 2 2 ?1 ? m ? 3 , ? ? 10 ? m ? 12 .在 x ? 10 ? m 两侧 L? 的值由正变负. 3 3 3 3 32 2 ① 当1 ? m ? 即 ? 10 ? m ? 11 时, 2 3 3
令 L? ? 0 得 x ? 10 ?
各省市信息卷精选(理数答案)13

0

?
递减

?
27

?3

递增

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27
各省市信息卷精选(理数答案)14

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

112 , 27

…………9 分 …………10 分

又 A +B +C =π , 所以 sin C =2sin A . 因此 sin A = 2 . (Ⅱ)由 sin A = 2 得 c =2 a .
sin C sin C

(3)当 x ? [ , 2] 时,因为 g(x)max=1, 对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,
? f(x)min≥g(x)max,
2

1 2

1 2

即 f ( x) ?

a ? x ln x ? 1 恒成立 x
…………11 分

等价于 a ? x ? x ln x 恒成立, 记 G(x)=x-x2lnx,x (0,+∞),所以 a≥G(x)max,

由余弦定理 b 2 = a 2 +c 2 -2 a c cos B 及 cos B = ,b =2, 得 4 =a 2 +4 a 2 -4 a 2 × . 解得 a =1,从而 c =2 . 又因为 cos B = ,且 0 < B < π ,所以 sin B = 因此 S = a c sin B = ×1 ×2 × 18 .(本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)从 15 名教师中随机选出 2 名共有 C15 种选法,

1 4

1 4

G?(x)=1 -2xlnx-x,∵G?(1)=0, x ? [ ,1) 时 G?(x)=1-x-2xlnx >0, x [1,2]时,G?(x)<0, G(x)在区间 [ ,1) 上递增,在[1,2]上递减。G(x)max=G(1)=1 所以 a ? 1 …………12 分

1 2

1 2

1 4

15 , 4

1 2

1 2

15 15 = . 4 4

精选二十二 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 . 1. C ; 7. A ; 2. D ; 8. D ; 3. B ; 9. A ; 4. B ; 10 . C ; 5. C ; 11 . B ; 6. B ; 12 . A .

所以这 2 名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是 C 2 = 35 . 15 (Ⅱ)由题意知,ξ 的所有可能取值为 0, 1, 2. 则 P( ξ =0) = C2 = 35 ;P ( ξ =1) = C2 = 105 ;P ( ξ =2) = C2 = 105 . 15 15 15 故ξ 的分布列为
2 C13

1 C1 6C4

8

26

1 C1 2 C13

26

0 C2 2 C13

1

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . -10 ; 14 . ( x -2) 2 + y 2 =
4 ; 5

15 . -

2 3 ; 3

16 . (-∞, -

3 3 ]∪ [ , +∞) . 2 2

ξ P

0
26 35 26 26

1
26 105 1 4

2
1 105

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 17 .(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理,设 sin A = sin B = sin C = k ,
2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A 则 b = = , k sin B sin B a b c

所以ξ 的数学期望 E ξ = 0× 35 +1× 105 +2× 105 = 15 . 19 .(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ BF⊥平面 AEC ,∴ BF⊥ AE , ∵ 二面角 D —AB —E 为直二面角, ∴ 平面 ABCD ⊥平面 ABE , 又 BC⊥ AB ,∴ BC⊥平面 ABE ,∴ BC⊥ AE ,
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所以

cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A = , cos B sin B

即 (cos A -2cos C ) sin B =(2sin C -sin A ) cos B , 化简可得 sin (A +B ) =2sin (B +C ) .
各省市信息卷精选(理数答案)15

又 BF ∩BC =B ,∴ AE ⊥平面 BCE . (Ⅱ)连接 BD 交 AC 于点 G,连接 FG, ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ BD⊥ AC , ∵ BF⊥平面 ACE ,∴ BF⊥ AC , 又 BD ∩BF =B ,∴ AC ⊥平面 BFG . ∴ FG⊥ AC ,∠ FGB 为二面角 B —AC —E 的平面角,由(Ⅰ)可知,AE ⊥平面 BCE , ∴ AE⊥ EB,又 AE=EB,AB=2,∴ AE=BE= 2 , 在直角三角形 BCE 中,CE= BC 2 ? BE 2 = 6 ,BF= 在正方形 ABCD 中,BG= 2 ,
2 BF 6 在直角三角形 BFG 中,sin∠ FGB= BG = 3 = . 3 2

易知 h ( x ) 在 (0 , 1) 上单调递减,在(1 , +∞) 上单调递增, 所以 a =h ( x ) m i n =h (1 ) =3 . 21 .(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f′ ( x ) = [ x 2 +( a -1) x -a ]e x = ( x +a ) ( x -1) e x , ∵ a ≥1 , ∴ 当 x ∈(-∞, -a ) 时,f ( x ) 递增,当 x ∈(-a , 1) 时,f ( x ) 递减,当 x ∈(1 , +∞) 时,f ( x ) 递增 . ∴ 函数 f ( x ) 的极大值点为 x 1 =-a ,极小值点为 x 2 =1 ,
BC ? BE 2 2 2 = = , CE 6 3

而 f (1) = (1 -a ) e ≤0,f ( -a ) =

a?3 > 0, ea 3? a

令 h ( x ) = x 2 +( a -3) x -2 a +3 ,则其图象的对称轴为 x = 2 > -a ,h ( -a ) =a +3 > 0, ∴ 当 x ≤-a 时,h ( x ) = x 2 +( a -3) x -2 a +3 > 0,∴ f ( x ) > 0 . 当 x > -a 时,f ( x ) 的最小值为 f (1) = (1 -a ) e ≤0 . ∴ f ( x ) 的最小值是(1 -a ) e . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ≥1 时,f ( x ) 在 (0 , +∞) 上的值域是 [(1 -a ) e , +∞) ,当 0 ≤ a < 1 时, f ( x ) 在 (0 , +∞) 上的值域是 (0 , +∞) . 而 g ( x ) = 2 -a - x -

即二面角 B —AC —E 的正弦值为

6 . 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG,点 D 到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离,而 BF⊥平面 ACE ,则线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离,即为点 D 到平面 ACE 的 距离 . 故点 D 到平面 ACE 的距离为 20 .(本小题满分 12 分)
1 解: (Ⅰ)令 f′ ( x ) = ln x +1=0 得 x = e ,
2 3 2 = . 3 3

4 4 ≤3 -a - 2 ( x ? 1) ? = -a -1 ,当且仅当 x = 1 时,等号成立, x ?1 x ?1

故 g ( x ) 在 (0 , +∞) 上的值域为(-∞, -a -1] ,
1

① 当 0 < t < e 时,函数 f ( x ) 在 ( t ,e ) 上单调递减,在 ( e , t +2) 上单调递增,
1 1 此时函数 f ( x ) 在区间 [ t , t +2] 上的最小值为 f ( e ) =- e ;

1

1

∴ 当 a ≥1 时,令 (1 -a ) e - ( -a -1) < 1,并解得 a > 当 0 < a < 1 时,令 0 - ( -a -1) < 1,无解 . 因此,a 的取值范围是(
e , +∞) . e ?1

e , e ?1

② 当 t ≥ e 时,函数 f ( x ) 在[ t , t +2 ] 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 在区间 [ t , t +2] 上的最小值为 f ( t ) =t ln t . (Ⅱ)由题意得,f ( x ) -g ( x ) = x ln x +x 2 -a x +2 =0 在 (0 , +∞) 上有且仅有一个根,即 a =ln x +x + x 在 (0 , +∞) 上有且仅有一个根, 令 h ( x ) = ln x +x + x ,则 h ′ ( x ) = x +1- x 2 =
2 1 2
x ? x?2 1 = ( x +2) ( x -1) , 2 x x2
2

1

22 .(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系,易得圆 C 的直角坐标方程是 x 2 +y 2 =16, 直线 l 的直角坐标方程是 3 y +x -6=0, 圆心 C (0 , 0 ) 到直线 l 的距离 d =
? ?6 ? ( 3) 2 ? 1

2

=3,

∴ 圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 3+4=7 .
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23 .(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由题意可得| x -2 a | < 1 可化为 2 a -1< x < 2 a +1, 即 ?2a ? 1 ? 3 ,解得 a =1 .
? ? 2a ? 1 ? 1

3 C10 24 P (? ? 0) ? 3 ? C15 91 1 C52C10 20 ? 3 C15 91

1 2 C5 C10 45 P(? ? 1) ? ? 3 C15 91 3 C5 2 ? ????????????8 分 3 C15 91

P (? ? 2) ?
?2 x ? 2a,x …2a ?

P (? ? 3) ?

(Ⅱ)令 g ( x ) =f ( x ) +x =| x -2 a | +x = ?2a,x ? 2a 所以函数 g ( x ) =f ( x ) +x 的最小值为 2 a , 根据题意可得 2 a < 3,即 a < 2 , 所以 a 的取值范围为(-∞,2 ) .
3 3



?分布列为

?
P
? E? ? 0 ?

0

1

2

3

24 91

45 91

20 91

2 91

24 45 20 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 ????????????????12 分 91 91 91 91

精选二十三 一、选择题: (1)~(5) CABBD; (6)~(10) ACDAC; (11)~(12) DA 二、填空题: (13)-6 ; (14) 三、解答题:

(19)解: 【法一】 (I)证明:如图,取 PC 的中点 O ,连接 OF , OE . 由已知得 OF / / DC 且 OF ?

? ; (15)168; (16)② 4
2



1 DC , 2

又? E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,

B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2 7 得: 2[1 ? cos( B ? C )] ? cos 2 A ? ??????2 分 2 1 2 可得 4cos A ? 4cos A ? 1 ? 0 ∴ cos A ? 2
(17)解: 解: (Ⅰ)由 4sin ∵A ? (0, ? )? A ?

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / /OE 又? OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ? AF / / 平面 PEC · 6? (II)如图,作 AM ? CE 交 CE 的延长线于 M . 连接 PM ,易证得得 PM ? CE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9? ? ?PMA 是二面角 P ? EC ? D 的平面角.即? ?PMA ? 45 o ·

?

3

???????6 分

? ? 2 7 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? 3 (Ⅱ) ? ??????10 分 ?10 3 ? 1 bc sin ? ? 2 3 ? 2 ? (b ? c) ? 169 ,?b ? c ? 13 .
(18) (Ⅰ)15 天中空气质量达到一级的有 5 天, 则恰有一天空气质量达到一级的概率 P ?

? PA ? 1 ? AM ? 1 ,设 AE ? x ,
??????12 分 由 ?AME ? ?CBE 可得 x ?

(2 ? x) 2 ? 1 ? x ?

5 4

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?
o

1 2 C5 C10 45 ? ????????????4 分 3 C15 91

5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12? 4

【法二】 (I)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系 A ? xyz .

(Ⅱ)15 天中空气质量超标的天数为 5 天,?? ? 0,1, 2,3
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z P F D A E y

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 8

???????4 分

(Ⅱ)假设存在点 N ( x0 , 0) 满足题设条件.
C B x

当 PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有 ?PNM ? ?QNM ,即 x0 ? R ; ????6 分 当 PQ 与 x 轴不垂直时,设 PQ 的方程为:y=k(x-1),代入椭圆方程化简得: (k +2)x -2k x+k -8=0 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1 ? x2 ?
2 2 2 2

??? ? 1 1 1 1 则 A(0,0,0) , F (0, , ) ,则 AF ? (0, , ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2? 2 2 2 2 ? E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) ,
设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z )

??

2k 2 k2 ?8 , x x ? 1 2 2 ? k2 2 ? k2

?? ??? ? ? ?m?EC ? 0 ? x ? y ? 0 则 ? ?? ??? , ?? ? ? ?m?EP ? 0 ?? x ? z ? 0 ?? 令 x ? 1 得 m ? (1, ?1,1) ……………………………………… 4?
由 AF ? m ? (0, , )? (1, ?1,1) ? 0 ,得 AF ? m 又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6?

则 k PN ? kQN ?

y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x2 ? x0

=

k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ( x 1 ? x0 )( x2 ? x0 )

??? ? ??

1 1 2 2

??? ?

??

( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) =2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0
=

??? ? (II)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) , ?? 设 E ? (t , 0, 0) ,设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z )

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 ??????????????10 分 2 ? k2 2 ? k2
若 ?PNM ? ?QNM ,则 k PN ? kQN =0 即 k[

?? ??? ? ?? ? ?m?EC ? 0 ?(2 ? t ) x ? y ? 0 则 ? ?? ??? ,令 x ? 1 得 m ? (1, t ? 2, t ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10? ?? ? ? tx ? z ? 0 m ? EP ? 0 ? ? ? ??? ? ? AP ?n 5 o ? ? |? t ? , 由 cos 45 ?| ??? 4 | AP | ? | n |

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 ] =0,整理得 4k(x0-4)=0 2 ? k2 2 ? k2

? k ? R,? x0 ? 4
综上在 x 轴上存在定点 N (4, 0) ,使得 ?PNM ? ?QNM ??????????12 分 (21)解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。

5 故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12? 4
o

(20)解:(Ⅰ)由已知, b ? 2 ,又 e ?

2 , 2

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? ---------2 分 x x x



a2 ? 4 2 ? ,解得 a ? 2 2 , a 2
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(i)若 a ? 1 ? 1即 a ? 2 ,则

各省市信息卷精选(理数答案)22

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

(Ⅱ)因为直线 l 上两点的直角坐标为 M (2, 0), N (0,

2 3 ) …… 6 分 3

故 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

∴ l 的方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心 (2, 3) ,半径 r ? 2 . …… 8 分

d?

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

3 ? r ∴,故直线 l 和圆 C 相交. ……1 0 分 2

故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调递减,在 (0, a ? 1),(1, ??) 单调递增。 (iii)若 a ? 1 ? 1,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调递减,在 (0,1),(a ? 1, ??) 单调递增.----6 分 (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

? ?-3, x<-1, 24. 解: (Ⅰ)f (x)=?2x-1,-1≤x≤2,其图象如下: ? x≥2. ?3,

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2
a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 -----------8 分 x x
?3 分 当 x= 1 1 1 时,f (x)=0.当 x< 时,f (x)<0;当 x> 时,f (x)>0. 2 2 2 ?6 分

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

由于 1<a<5,故 g ?( x) ? 0 ,即 g(x)在(4, +∞)单调递增,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , x1 ? x2

所以 a=0.

当 0 ? x1 ? x2 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 · · · · · · · · ·12 分 x1 ? x2 x2 ? x1

(Ⅱ)不等式 f (x)+4m<m2,即 f (x)<m2-4m. 因为 f (x)的最小值为-3,所以问题等价于-3<m2-4m.解得 m<1,或 m>3. 故 m 的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞). ?10 分

22. 设圆的半径为 r,AD=x,连结 OD,得 OD⊥AC. 故

AD OD x r 4 = ,即 = ,故 x= r. AC BC 8 6 3

16 2 15 2 又由切割线定理 AD =AE·AB,即 r =(10-2r)×10,故 r= . 9 4 由射影定理知 DF=3. 23.解(Ⅰ)由题意知 M (2, 0), N (0, 精选二十四 1—5CDADC 13. 10 6—10DBBAD 14. ? 11—12DC 16. 3?

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P (1, ) , …… 2 分 3 3

1 2
2

15.

1 2

因此直线 PO 直角坐标方程为: y ?

3 3 …… 5 分 x. 极坐标方程为 ? ? (? ? R) 3 3
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17. an ? 2n, S n ? n ? n,

(5 分)

各省市信息卷精选(理数答案)24

1 1 1 1 ? 2 ? ? Sn n ? n n n ? 1

EF ? 面PAB ? EF // 平面PAB
(2) (6 分)

n (10 分) n ?1 ? ? 18. | a ? b |? 7 (6 分) Tn ?
? ? | a ? 2b |? 43
19. A ? ? x | 0 ? x ? (12 分)

? PA ? 面ABC ? PA ? BC

又? AB ? BC

PA ? AB ? A
? BC ? 面PAB ? BC ? PB
又? PB // EF

? ?

1? ? 2?

(5 分)

1? ? B ? ?x | x ? ? ? 3? ? ? A ? B ? ?x | 0 ? x ? ? 1? ? 2?

(10 分)

? BC ? EF

(12 分)

22. (1)a2 ? 4(2)an ? n 2 (3)略 (12 分)

20.(1) cos C ? cos B ? 3 sin A cos B ? 0

? cos(A ? B) ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0

(3 分)

sin A sin B ? cos A cos B ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0
sin A(sin B ? 3 cos B) ? 0

? ?A 为三角形 ABC 的内角
? sin B ? 3 cos B ? 0 ? tan B ? 3

?B ?
(2)

?
3

1 ? b ?1 2

21.(1)? E, F分别为枝BC, PC的中点

? EF //

1 PB 2

又? PB ? 面PAB
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