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2013北京昌平高三二模理科数学试题及答案


昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数 学 试 卷(理科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.4 考生须知: 1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅

笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹 的签字笔作答, 作图时可以使用 2B 铅笔。 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) (1)已知集合 A ? {x | 2 x ? 1} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 1} D.

{x | x ? 1}

(2)已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是 A. 命题 ?p : ?x ?R,x ≤ 2 C.命题 ?p : ?x ? R,x ≤ ?2 (3)圆 x ? ( y ? 2) ? 1 的圆心到直线 ?
2 2

B.命题 ?p : ?x ? R,x ? 2 D.命题 ?p : ?x ? R,x ? ?2

? x ? 3 ? t, ( t 为参数)的距离为 ? y ? ?2 ? t
C. 2 D. 2 2

A.

2 2

B.1

(4)设 ?

? x ? y ? 0, 2 与抛物线 y ? ?4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y ) ?x ? y ? 0

为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 A. ?1 B. 0 C. 2 D. 3

(5) 在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ tan xgcos x ?

1 ”发生的概率为 2

第 1 页

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

(6) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示, 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8
2 4 正视图 2 2 俯视图 2 侧视图 3 3

(7)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , E 为 CD 的中点,
?

D

E

C

则 AE ? BD 的值为 A.1 B. 3 C. 5

??? ??? ? ?

A
D. 7

B

(8) 设 等 比 数 列 {an } 的 公 比 为 q , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件 a1 ? 1 ,

a99a100 ?1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ① 0 ? q ? 1; ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;
③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ 使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198. 其中正确的结论是 A. ① ③ B. ① ④ C. ②③ D. ②④ 共 110 分)

第Ⅱ卷(非选择题 一、

填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

3 (9)二项式 (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为___________.
5

1 x

B

y2 2 (10)双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,则 b
b?
.

D E C O A
第 2 页

(11) 如图, AB 切圆 O 于点 A , AC 为圆 O 的直径,

BC 交圆 O 于点 D , E 为 CD 的中点,且

BD ? 5, AC ? 6, 则 CD ? __________;
AE ? __________.
(12)执行如图所示的程序框图,
开 始

若①是 i ? 6 时,输出的 S 值为
若①是 i ? 2013 时,输出的 S 值为

; .

i ? 1, S ? 0

? 4 ( x ? 4) ?1 ? , (13)已知函数 f ( x) ? ? x ?log 2 x, (0 ? x ? 4) ?
若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, 则实数

ai ? cos

i? ?1 2
i ? i ?1

S ? S ? ai

否 输 出

k 的取值范围是

.



(14) 曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线

S
结 束 图1

l2 : y ? 1 的距离之积等于常数 k ? k ? 0? 的点
2

的轨迹.给出下列四个结论: ①曲线 C 过点 (?1,1) ; ②曲线 C 关于点 (?1,1) 对称; ③若点 P 在曲线 C 上,点 A, B 分别在直线 l1 , l2 上,则 PA ? PB 不小于 2 k . ④设 P0 为曲线 C 上任意一点,则点 P0 关于直线 x ? ?1 、点 (?1,1) 及直线 y ? 1 对
称的点分别为 P1 、 P2 、 P3 ,则四边形 P0 P P2 P3 的面积为定值 4k 2 . 1

其中,所有正确结论的序号是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2x) ? 2 3 cos2 x, x ? R .

第 3 页

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

(16) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD , 2
P D A F B E C

E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ;
(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G, 使得 二面角 C ? PD ? G 的余弦值为

1 ?说明理由. 3

(17) (本小题满分 13 分) 某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满 意”度的调查.现随机抽取 40 位市民,对他们的生活满意指数进行统计分析,得到如下分 布表: 满意级别 满意指数(分) 人数(个) 非常满意 90 15 满意 60 17 一般 30 6 不满意 0 2

(I)求这 40 位市民满意指数的平均值; (II)以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数 很多)中任选 3 人,记 ? 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求 ? 的分布 列; (III)从这 40 位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个 人,记他的满意指数为 n ,求 n ? m ? 60 的概率. (18) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

第 4 页

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 13 分)

y M Q N P F O H l x

x2 y 2 如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长 a b
轴为 AB ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直,椭圆

3 的离心率 e ? , F 为椭圆的左焦点,且 2

AF gBF ? 1 .
(I)求此椭圆的方程;

A

B

(II)设 P 是此椭圆上异于 A, B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使 得 HP ? PQ . 连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系. (20) (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) (其中 k 、b 、
*

p 是常数) .
(I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (III)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭 数列”.当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 , 试问:是否存在这样的“封闭数列”

?an ? ,使得对任意 n ? N* ,都有 Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值; ? ? ? ? ?? ? 12 S1 S2 S3 S n 18
若不存在,说明理由.

第 5 页

昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 C B A D C C A (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ( 8 ) B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9) 80 (11) 4 ; 2 6 (13) (1, 2) (10) 3 (12) 5 ; 2013 (14) ②③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解 : ( Ⅰ )

? f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ..4 分 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ..6 分 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2 ? 2? ? ? .??????????8 分 (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 的最小正周期 T ? 3 2 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? 2 3 2 12 12 5? ?? ? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z) .???13 分 12 12 ? ?
(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F ,

?

ABCD 为正方形, F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. ∴在 ?CPA 中, EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD

......... ...........2 分 ∴ EF / /平面PAD .........4 分 ........

第 6 页

(Ⅱ)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,

平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD . ∴ CD ? PA .......... 分 ..........6
又 PA ? PD ? 且 ?APD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2
即 PA ? PD

?
2

CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC
? PA ? 面 PDC
又 PA ? 面 PAB , ∴面 PAB ? 面 PDC .????..9 分 (Ⅲ) 如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

z P D O A x G F B E C y

平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
∴ PO ? 平面ABCD , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB , 又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?

2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? 1 . 2

以 O 为原点,直线 OA, OF , OP 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系, 则有 A(1, 0, 0) , F (0,1, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) . 若在 AB 上存在点 G, 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 设 G(1, a,0)(0 ? a ? 2) . 由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? (1,0, ?1) . 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ DP ? (1,0,1), GD ? (?2, ?a,0) ,

1 ,连结 PG, DG. 3

??? ?

?

??? ?

??? ?

第 7 页

∴由 n ? DP ? 0, n ? GD ? 0 可得 ?

? ??? ?

? ????

x ? 0? y ? z ? 0 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? ? , z ? ?1 , a ??2 ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ?
2 2? 2? 4 a2 ? 1 ? , 4 2? 2 3 a 2

? ??? ? ? ? ??? ? 2 n ? PA 故 n ? (1, ? , ?1) ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? a n PA
解得, a ?

1 . 2

所以,在线段 AB 上存在点 G (1, , 0) ,使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 ........14 分 ...... (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记 X 表示这 40 位市民满意指数的平均值,则

1 2

1 . 3

X?

1 (90 ?15 ? 60 ?17 ? 30 ? 6 ? 0 ? 2) ? 63.75 (分)…………………2 分 40

(Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3.

1 1 0 4 P(? ? 0) ? C3 ( ) 0 ( ) 3 ? 5 5 125 1 12 1 4 P(? ? 1) ? C3 ( )1 ( ) 2 ? 5 5 125 4 2 1 1 48 P(? ? 2) ? C32 ( ) ( ) ? 5 5 125 1 64 3 4 P(? ? 3) ? C3 ( ) 3 ( ) 0 ? 5 5 125
? ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125
?????8 分

(Ⅲ)设所有满足条件 n ? m ? 60 的事件为 A
1 ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A21 A17 ? 34 1 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A21 A15 ? 30 1 ③满足 m ? 30且n ? 90 的事件数为: A61 A15 ? 90

第 8 页

? P( A) ?

34 ? 30 ? 90 77 ? 2 A40 780
77 .……………………13 分 780

所以满足条件 n ? m ? 60 的事件的概率为
(18) (本小题满分 13 分) 解: (I) a ? 2, f ( x) ?

1 2 2 x ? 2 ln x, f '( x) ? x ? , 2 x

1 f '(1) ? ?1, f (1) ? , 2

f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0. ………………………..3 分
(Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a.

①若 a ? 1,即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递增, 因此, f ( x ) 在区间 [1, e] 的最小值为 f (1) ?

1 . 2

②若 1 ? a ? e,即 ? a ? e2 , 在 1, a ) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 单调递减;在 a ,e) 上, 1 ( (

f '( x) ? 0 , f (x) 单 调 递 增 , 因 此 f ( x) 在 区 间 [ 1 , e ] 的 最 小 值 为 上
f ( a) ? 1 a(1 ? ln a). 2

③若 a ? e,即a ? e2 , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递减, 因此, f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f (e) ? 综上,当 0 ? a ? 1 时, f min ( x) ?
2 当 a ? e 时, f min ( x) ?

1 2 e ?a. 2

1 1 2 ;当 1 ? a ? e 时, f min ( x) ? a (1 ? ln a ) ; 2 2
……………………………….9 分
2

1 2 e ?a. 2

(III) 由(II)可知当 0 ? a ? 1 或 a ? e 时, f (x) 在 (1, e) 上是单调递增或递减函数,不 可能存在两个零点. 当 1 ? a ? e 时,要使 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,则
2

第 9 页

?1 ? 2 a (1 ? ln a ) ? 0, ? ?a ? e 1 1 2 ? ? ∴ ? f (1) ? ? 0, 即? 1 2 ,此时, e ? a ? e . 2 2 ? ?a ? 2 e ? 1 2 ? ? f (e) ? 2 e ? a ? 0, ?
所以, a 的取值范围为 (e,

1 2 e ). …………………………………………………………..13 分 2

(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, A(?a, 0) , B ( a, 0) , F (?c, 0) ,

AF gBF ? (a ? c)(a ? c) ? 1
? a 2 ? c 2 ? b2 ? 1
又e ?

c 2 a 2 ? b2 a 2 ? 1 3 3 2 ? 2 ? , e2 ? 2 ? ,解得 a ? 4 2 a a a 4 2 x2 ? y 2 ? 1…………………………5 分 4

所求椭圆方程为

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,则 Q( x0 , 2 y0 ) ( x0 ? 2, x0 ? ?2)

由 A(?2,0), 得 k AQ ?

2 y0 x0 ? 2 2 y0 ( x ? 2) x0 ? 2

所以直线 AQ 方程 y ?

由 B(?2, 0), 得直线 l 的方程为x ? 2,
? M (2, 8 y0 ) x0 ? 2 ? N (2, 4 y0 ) x0 ? 2

由 k NQ

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 2 ? x0 x0 ? 4
2 2

又点 P 的坐标满足椭圆方程得到: x0 +4 y0 ? 4 ,

第 10 页

所以 x02 ? 4 ? ?4 y02

k NQ ?

2 x0 y0 2 x0 y0 x ? ?? 0 2 2 x0 ? 4 ?4 y0 2 y0 x0 ( x ? x0 ) 2 y0

? 直线 NQ 的方程: y ? 2 y0 ? ?

化简整理得到: x0 x ? 2 yy0 ? x02 ? 4 y02 ? 4 即 x0 x ? 2 yy0 ? 4 所以点 O 到直线 NQ 的距离 d ?

4 x02 +4 y02

? 2 ?圆O的半径

? 直线 NQ 与 AB 为直径的圆 O 相切.……………………………………. 13 分

(20) (本小题满分 14 分)

解: (I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,

① ②

用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,

②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,???????????2 分 在①中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,
3n ? 1 ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = ???????????????????.4 分 2

(II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ④—③得,

③ ④

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤. ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ,

⑥—⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,. ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,

第 11 页

∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 ????????????????9 分 9?3

(III)由(II)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n? N* ,必存在 p ? N* 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, ············· 10 分 又由已知,
18 18 1 1 11 ? a1 ? 12 . 一 方 面 , 当 ? a1 ? 12 时 , ,故 ? ? 11 11 1 2 S1 18

? Sn ? n n? 1a ?1 ) 0 ,对任意 n ? N* ,都有 (

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . S1 S2 S3 Sn S1 12

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , 则
1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意. S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 ?????????.14 分 11

第 12 页


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