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高中数学必修2第二章点线面之间的位置关系导学案


§ 2.1.1 平面
学习目标
1. 2. 3. 4. 了解平面的描述性概念; 掌握平面的表示方法和基本画法; 掌握平面的基本性质; 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P40~ P43,找出疑惑之处) 引入:平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪 些性质呢?

二、新课导学 探究 1:平面的概念与表示 问题:生活中哪些物体给人以平面形象?你觉得平面可以拉伸吗?平面有厚薄之分吗?
新知 1:平面是平的;平面是可以无限延展的;平面没有厚薄之分. 问题:通常我们用一条线段表示直线,那你认为用什么图形表示平面比较合适呢?

新知 2:如上图,通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母 ? , ? , ? 来表示,也可以 用平行四边形的四个顶点来表示,还可以简单的用对角线的端点字母表示 .如平面 ? ,平面 ABCD ,平面 AC 等. 规定:①画平行四边形,锐角画成 45 °,横边长等于其邻边长的 2 倍;②两个平面相交时, 画出交线,被遮挡部分用虚线画出来;③用希腊字母表示平面时,字母标注在锐角内. 问题:点动成线、线动成面.联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系怎么表示?直线 和平面呢? 新知 3:⑴点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 在平面 ? 外,记作 A ? ? .⑵点 P 在直线 l 上, 记作 P ? l , 点 P 在直线外, 记作 P ? l .⑶直线 l 上所有点都在平面 ? 内,则直线 l 在平面 ? 内 (平面 ? 经过直线 l ),记作 l ? ? ;否则直线就在平面外,记作 l ? ? . 探究 2:平面的性质 问题:直线 l 与平面 ? 有一个公共点 P ,直线 l 是否在平面 ? 内?有两个公共点呢?

新知 4:公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.用集合符 号表示为: A ? l, B ? l, 且 A ?? , B ?? ? l ? ? 问题:两点确定一直线,两点能确定一个平面吗?任意三点能确定一个平面吗?

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新知 5:公理 2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面 ABC . 完成 P42 思考 新知 6:公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. 平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ,记作 ? ? ? l .公理 3 用集合符号表示为 P ? a , 且 P ? ? ? ? ? ? l ,且 P ? l

典型例题 例 1 P43
例 2 如图在正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,判断下列命题是否正确,并说明理由: ⑴直线 AC 在平面 ABCD 内; C? D? O ? ⑵设上下底面中心为 O, O ? ,则平面 AA?C ?C 与平面 BB? B? D?D 的交线为 OO? ; ? A ⑶点 A, O, C ? 可以确定一平面; ⑷平面 AB?C ? 与平面 AC ?D 重合. D C 练习 P43: 1、 2 、3、 4 O A B 三、学习小结 1. 平面的特征、画法、表示; 2. 平面的基本性质(三个公理); 3. 用符号表示点、线、面的关系. 当堂检测: 1. 下面说法正确的是( ). ①平面 ABCD 的面积为 10cm 2 ② 100 个平面重合比 50 个平面重合厚③空间图形中虚线都是 辅助线④平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列结论正确的是( ). ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线, 可以确定一个平 面③经过两条平行直线,可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 D 3. 如图在四面体中,若直线 EF 和 GH 相交,则它们的交点一定( ). E G A.在直线 DB 上 B.在直线 AB 上 C.在直线 CB 上 D.都不对 A C

H B 4. 直线 l1 , l2 相交于点 P , 并且分别与平面 ? 相交于点 A, B 两点, 用符号表示为____________. 5. 两平面不重合,在一个面内取 4 点,另一个面内取 3 点,这些点最多能够确定___个平面. 6.如图在正方体中, A 是顶点,B, C 都是棱的中点,请作出经过 A, B, C 三点的平面与正方体 的截面. F

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§ 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系
学习目标
1. 2. 3. 4. 正确理解异面直线的定义; 会判断空间两条直线的位置关系; 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用; 会求异面直线所成角的大小.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P44~ P47,找出疑惑之处) 复习 1:平面的特点是__ ____、 __ _ ____ 、____ ___. 复习 2:平面性质(三公理) 二、新课导学 探究 1:异面直线及直线间的位置关系 问题:平面内两条直线要么平行要么相交(重合不考虑),空间两条直线呢? 观察:如图在长方体中,直线 A?B 与 CC ? 的位置关系如何?

结论:直线 A?B 与 CC ? 既不相交,也不平行. 新知 1:像直线 A?B 与 CC ? 这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 试试:请在上图的长方体中,再找出 3 对异面直线. 问题:作图时,怎样才能表示两条直线是异面的? 新知 2:异面直线的画法有如下几种( a , b 异面):
b
?

b

a

b

?

?

a

a

?

试试:请你归纳出空间直线的位置关系. 探究 2:平行公理及空间等角定理 问题:平面内若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行,空间是否有类似规 律? 观察:在长方体中,直线 C ?D ? ∥ A?B? , AB ∥ A?B? ,那么直线 AB 与 C ?D ? 平行吗?

新知 3: 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 问题:平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或者互补, 空间是否有类似结论? 观察:在图 2-1 中, ?ADC 与 ?A?D ?C ? , ?ADC 与 ?A?B?C ? 的两边分别对应平行,这两组角的 大小关系如何? 新知 4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 探究 3:异面直线所成的角
3

问题:平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?

图 2-2 新知 5: 如图 2-2,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作直线 a ? ∥ a , b ? ∥ b , 把 a? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a , b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直 角,就说这两条直线互相垂直,记作 a ? b . 反思:思考下列问题. ⑴ 作异面直线夹角时,夹角的大小与点 O 的位置有关吗?点 O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少? ⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? 典型例题 例 1 课本 P45 例 2 例 2 在正方体中,求下列异面直线所成的角.⑴ BA? 和 CC ? ⑵ B?D? 和 C ?A

练习: 正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的棱长为 a ,求异面直线 AC 与 A?D? 所成的角.

三、学习小结 1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法; 2. 空间直线的位置关系; 3. 平行公理及空间等角定理. 知识拓展 异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该 点的直线是异面直线.

如图, a ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? a ,则直线 AB 与直线 ? 是异面直线. 当堂检测: 1. a , b, c 为三条直线,如果 a ? c, b ? c ,则 a , b 的位置关系必定是( ). A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对 2. 已知 a , b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a ,那么 c 与 b ( ). A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知 ? ? ? l , a ? ? , b ? ? ,且 a , b 是异面直线,那么直线 l ( ). A.至多与 a , b 中的一条相交 B.至少与 a , b 中的一条相交 C.与 a , b 都相交 D.至少与 a , b 中的一条平行 4. 正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的十二条棱中,与直线 AC ? 是异面直线关系的有___________条. 5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 3 , BC ? 2, AA1 =1,异面直线 AC 与 A1 D1 所成角的余弦值 是______.
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§ 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 § 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学习目标
1. 掌握直线与平面之间位置关系, 理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系; 2. 掌握两平面之间的位置关系,会画相交平面的图形.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种. 复习 2:异面直线是指__________________的两条直线,它们的夹角可以通过__________ 的 方式作出,其范围是___________. 复习 3:平行公理:____________________________;空间等角定理:______ ______. 二、新课导学 探究 1:空间直线与平面的位置关系 问题: 用铅笔表示一条直线, 作业本表示一个平面, 你试着比画, 它们之间有几种位置关系? 观察:如图直线 A?B 与长方体的六个面有几种位置关系?

新知 1:直线与平面位置关系只有三种: ⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行—— 其中,⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外. 反思:⑴从交点个数方面来分析,上述三种关系对应的交点有多少个?请把结果写在新知 1 的——符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来,并想想用符号语言该怎么描述.

探究 2:平面与平面的位置关系 问题:平面与平面的位置关系有几种?你试着拿两个作业本比画比画. 观察:还是在长方体中,你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?

新知 2:两个平面的位置关系只有两种: ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线 试试:请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.

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典型例题 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? . ②若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例 2 已知平面 ? , ? ,直线 a , b ,且 ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 具有怎样的 位置关系?

练 1 课本 P49 练习 练 2. 已知 a , b, c 为三条不重合的直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面: ①a∥c ,b ∥c ? a∥b ; ② a ∥? ,b ∥? ? a ∥b ; ③ a ∥ c , c ∥? ? a ∥? ; ④ a ∥ ? , a ∥ ? ?? ∥ ? ; ⑤ a ?? , b ? ? , a ∥ b ? a ∥? . 其中正确的命题是( ) A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤ 三、学习小结 1. 直线与平面、平面与平面的位置关系; 2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示; 3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. 当堂检测: 1. 直线 l 在平面 ? 外,则( ). A. l ∥ ? B. l 与 ? 至少有一个公共点 C. l ? ? A D . l 与 ? 至多有一个公共点 2. 已知 a ∥ ? , b ? ? ,则( ). A. a ∥ b B. a 和 b 相交 C. a 和 b 异面 D. a 与 b 平行或异面 3. 四棱柱的的六个面中,平行平面有( ). A.1 对 B.1 对或 2 对 C.1 对或 2 对或 3 对 D.0 对或 1 对或 2 对或 3 对 4. 过直线外一点与此直线平行的直线有____条; 过直线外一点与此直线平行的平面有___个. 5. 若在两个平面内各有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一 定是______.

课后作业
1. 已知直线 a , b 及平面 ? 满足: a ∥ ? , b ∥ ? ,则直线 a , b 的位置关系如何?画图表示.

2. 两个不重合的平面,可以将空间划为几个部分?三个呢?试画图加以说明.

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§ 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系(练习)
学习目标
1. 2. 3. 4. 理解和掌握平面的性质定理,能合理运用; 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系; 会判断异面直线,掌握异面直线的求法; 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P40~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:概念与性质 ⑴平面的特征和平面的性质(三个公理); ⑵平行公理、等角定理; ?平行 ?在平面内 ? ? ⑶直线与直线的位置关系 ?相交 ⑷直线与平面的位置关系 ? 相交 ?异面 ? 平行 ? ?
?平行 ⑸平面与平面的位置关系 ? ?相交 复习 2:异面直线夹角的求法:平移线段作角,解三角形求角. 复习 3:图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系 ⑴点与线、点与面的关系; ⑵线与线、线与面的关系; ⑶面与面的关系. 二、新课导学 典型例题 例 1 如图, ?ABC 在平面 ? 外, AB ? ? P , BC ? ? Q , AC ? ? R ,求证: P , Q , R 三

点共线.

小结:证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线, 证明若干点都是这两个平面的公共点, 由公理 3 可推知这些点都在交 线上,即证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线,证明另外一些点也都在这条直线上. 例 2 如图,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 和 CB 上的点, G , H 分别是 CD 和 AD 上 的点,且 EH 与FG 相交于点 K .求证: EH , BD , FG 三条直线相交于同一点.

小结:证明三线共点的基本方法为:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是 二直线所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由公理 3 得证这三线共点. 例 3 如图,如果两条异面直线称作“一对” ,那么在正方体的 12 条棱中,共有异面直线多少 对?

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反思:分析清楚几何特点是避免重复计数的关键,计数问题必须避免盲目乱数,分类时要不 重不漏. 练 1. 课本 P52 B 组 1 练 2. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?

三、 学习小结 1. 平面及平面基本性质的应用; 2. 点、线、面的位置关系; 3. 异面直线的判定及夹角问题. 异面直线的判定方法: ①定义法:利用异面直线的定义,说明两直线不平行,也不相交,即不可能在同一个平面内. ②定理法:利用异面直线的判定定理说明. ③反证法(常用):假设两条直线不异面,则它们一定共面,即这两条直线可能相交,也可能 平行,然后根据题设条件推出矛盾. 当堂检测: 1. 直线 l1 ∥ l2 ,在 l1 上取 3 个点,在 l2 上取 2 个点,由这 5 个点确定的平面个数为( ). A.1 个 B.3 个 C.6 个 D.9 个 2. 下列推理错误的是( ). A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A , B , C ? ? , A , B , C ? ? ,且 A , B , C 不共线 ? ? 与? 重合 3. a , b 是异面直线, b , c 是异面直线,则 a , c 的位置关系是( ). A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________;两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,则另一条和这条直线______. 6.在正方体中 M , N 分别是 AB 和 DD? 的中点,求异面直线 B?M 与 CN 所成的角.

7 如图,已知不共面的直线 a , b , c 相交于 O 点, M , P 点是直线 ? 上两点, N , Q 分别是直线 b , c 上一点. 求证: MN 和 PQ 是异面直线.
O

a

P

M
Q
N
b

c

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§ 2.2.1 直线与平面平行的判定
学习目标
1. 通过生活中的实际情况,建立几何模型,了解直线与平面平行的背景; 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理,并会用其证明线面平行.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P54~ P55,找出疑惑之处) 复习:直线与平面的位置关系有______________,______________,_________________. 讨论:直线和平面的位置关系中,平行是最重要的关系之一,那么如何判定直线和平面是平 行的呢?根据定义好判断吗?

二、新课导学 探究 1:直线与平面平行的背景分析 实例 1:如图 5-1,一面墙上有一扇门,门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时, 观察门扇转动的一边 l 与墙所在的平面位置关系如何?

图 5-1 图 5-2 实例 2:如图 5-2,将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线 l 与桌面 所在的平面具有怎样的位置关系? 结论:上述两个问题中的直线 l 与对应平面都是平行的. 探究 2:直线与平面平行的判定定理 问题:探究 1 两个实例中的直线 l 为什么会和对应的平面平行呢?你能猜想出什么结论吗? 能作图把这一结论表示出来吗? 新知:直线与平面平行的判定定理 定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 如图 5-3 所示, a ∥? .

图 5-3 反思:思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理; ⑵上述定理的实质是什么?它体现了什么数学思想? ⑶如果要证明这个定理,该如何证明呢?

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典型例题 例 1 有一块木料如图 5-4 所示, P 为平面 BCEF 内一点,要求过点 P 在平面 BCEF 内作一 条直线与平面 ABCD 平行,应该如何画线?

图 5-4 例 2 课本 P55 例 1 练 1. 正 方 形 A B C D与 正 方 形 ABEF 交 于 AB , M 和 N 分 别 为 AC 和 BF 上 的 点 , 且 AM ? FN ,如图 5-6 所示.求证: MN ∥平面 BEC .
C

M D
A

B
N

E

图 5-6 F 练 2. 已知 ?ABC , D, E 分别为 AC , AB 的中点, 沿 DE 将 ?ADE 折起, 使 A 到 A? 的位置, 设M 是 A?B 的中点,求证: ME ∥平面 A?CD .

三、学习小结 1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行 ? 线面平行; 2. 转化思想的运用:空间问题转化为平面问题. 知识拓展 判定直线与平面平行通常有三种方法: ⑴利用定义:证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的,往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理,证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到) 当堂检测: 1. 若直线与平面平行,则这条直线与这个平面内的( ). A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是( ). A.平行于同一平面的两直线平行 B.直线 l 与平面 ? 不相交,则 l ∥平面 ? C. A, B 是平面 ? 外两点, C , D 是平面 ? 内两点,若 AC ? BD ,则 AB ∥平面 ? D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个 3. 如果 AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段, 则经过它们中点的平面和直线 AC 的 位置关系是( ). A.平行 B.相交 C. AC 在此平面内 D.平行或相交 4. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的六个面和六个对角面中,与棱 AB 平行的面有________个. 5. 若直线 a , b 相交,且 a ∥ ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是_____________. 6.课本 P562

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§ 2.2. 2 平面与平面平行的判定
学习目标
1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题; 2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用; 3. 进一步体会转化的数学思想.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P56~ P57,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面平行的判定定理是________________________________________. 复习 2:两个平面的位置关系有___种,分别为_______和_______. 讨论: 两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得 好证吗? 二、新课导学 探究:两个平面平行的判定定理 问题 1: 平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行, 则这两 个平面平行吗?由此你可以得到什么结论? 结论:两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题. 问题 2: 一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗?能否只证明一个平面内若干 条直线和另外一个平面平行,那么这两个平面就平行呢? 试试:在长方体中,回答下列问题 ⑴如图 6-1, AA? ? 面AA?B?B , AA? ∥面 BB ?C ?C ,则面 AA?B?B ∥面 BB ?C ?C 吗?

图 6-1 图 6-2 图 6-3 ?D D ? ∥ 面DCC ?D? 吗? ⑵如图 6-2,AA? ∥ EF ,AA? ∥ 面DCC ?D? ,EF ∥ 面DCC ?D? , 则 面AA ⑶如图 6-3,直线 A?C ? 和 B?D? 相交,且 A?C ? 、 B?D? 都和平面 ABCD 平行(为什么),则平面 A?B ?C ?D ? ∥平面 ABCD 吗? 反思:由以上 3 个问题,你得到了什么结论 新知:两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个 平面平行. 如图 6-4 所示, ? ∥ ? .

图 6-4 反思: ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. ⑶如果要证明定理,该怎么证明呢?

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典型例题 例 1 课本 P57 例 2
例 2 如图 6-6,已知 a , b 是两条异面直线,平面 ? 过 a ,与 b 平行,平面 ? 过 b ,与 a 平行, 求证:平面 ? ∥平面 ? b ?

?

a 图 6-6

小结:证明面面平行,只需证明线线平行,而且这两条直线必须是相交直线. 练. 如图 6-7,正方体中, M , N , E , F 分别是棱 A?B? , A?D? , B ?C ? , C ?D ? 的中点,求证:平 面 AMN ∥平面 EFDB . D? F C? N

A?

M D

B?

E

C

A
图 6-7

B

三、 学习小结 1. 平面与平面平行的判定定理及应用; 2. 转化思想的运用. 判定平面与平面平行通常有 5 种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法); ⑵根据两平面平行的判定定理; ⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习);⑷两个平面同时平行于第三个平面,则这 两个平面平行(平行的传递性); ⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线,则这两个平面平行 (判定定理的推论). 当堂检测: 1. 平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( ). A. ? 内有无穷多条直线都与 ? 平行 B.直线 a 与 ? , ? 都平行,且不在 ? 和 ? 内 C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a ∥ ? , b ∥ ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 2. 经过平面 ? 外的一条直线 a 且与平面 ? 平行的平面( ). A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个 3. 设有不同的直线 a , b , 及不同的平面 ? 、? , 给出的三个命题中正确命题的个数是 ( ) . ①若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ②若 a ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ ? ③若 a ? ?,? ∥ ? ,则 a ∥ ? . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,则这两个平面的位置关系是____________. 5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是____________.

课后作业

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§ 2.2.3 直线与平面平行的性质
学习目标
1. 掌握直线和平面平行的性质定理; 2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线” “线面”平行的转化.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P58~ P60,找出疑惑之处) 复习 1:两个平面平行的判定定理是_____________________________________;它的实质 是由__________平行推出__________平行. 复习 2:直线与平面平行的判定定理是______________________________________. 讨论:如果直线 a 与平面 ? 平行,那么 a 和平面 ? 内的直线具有什么样的关系呢?

二、新课导学 探究:直线与平面平行的性质定理 问题 1:如图,直线 a 与平面 ? 平行.请在图中的平面 ? 内画出一条和直线 a 平行的直线 b .

问题 2:我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?),请在上图中把直线 a , b 确定的平 面画出来,并且表示为 ? . 问题 3:在你画出的图中,平面 ? 是经过直线 a , b 的平面,显然它和平面 ? 是相交的,并且 直线 b 是这两个平面的交线,而直线 a 和 b 又是平行的.因此,你能得到什么结论?请把它用 符号语言写在下面. 问题 4:在图中过直线 a 再画另外一个平面 ? 与平面 ? 相交,交线为 c .直线 a , c 平行吗?和 你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?

新知: 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与 此平面的交线都与该直线平行. 反思:定理的实质是什么? 典型例题 例 1 课本 P59 例 3 例 2 课本 P59 例 4 小结:运用线面平行的性质定理证题,应把握以下三个条件①线面平行,即 a ∥ ? ;②面面 相交,即 ? ? = b ;③线在面内,即 b ? ? . 练 1. 如图,已知 a ∥ b , a ? ? , b ? ? , ? ? ? l ,求证: a ∥ b ∥ l .

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练 2. 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线平行.

三、学习小结 1. 直线和平面平行的性质定理运用; 2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.
在证明线线或线面平行的时候,直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交 替使用,相互转换,即线面平行问题往往转化为线线平行问题,线线平行问题又转化为线面 平行问题,反复运用,直到得出结论. 当堂检测: 1. a 、 b 、 c 表示直线, M 表示平面,可以确定 a ∥ b 的条件是( ). A. a ∥ M , b ? M B. a ∥ c , c ∥ b C. a ∥ M , b ∥ M D. a 、 b 和 c 的夹角相等 2. 下列命题中正确的个数有( ). ①若两个平面不相交,则它们平行; ②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面,则这两个平面平行; ③空间两个相等的角所在的平面平行. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. 平行四边形 EFGH 的四个顶点 E 、 F 、 G 、 H 分别在空间四边形 ABCD 的四条边 AB 、 BC 、 CD 、 AD 上,又 EH ∥ FG ,则( ). A. EH ∥ BD , BD 不平行于 FG B. FG ∥ BD , EH 不平行于 BD C. EH ∥ BD , FG ∥ BD D .以上都不对 4. a 和 b 是异面直线,则经过 b 可作_ __个平面与直线 a 平行. 5. 异面直线 a , b 都和平面 ? 平行,它们和平面 ? 内同一条直线的夹角分别是 45 °和 60 °, 则 a 和 b 的夹角为______.

课后作业
1. 如图 7- 6,在 ?ABC 所在平面外有一点 P , D 、 E 分别是 PB与AB上的点 ,过 D, E 作平 面平行于 BC ,试画出这个平面与其它各面的交线,并说明画法的依据.

图 7-6 2. 已知异面直线 AB, CD 都平行于平面 ? ,且 AB 、 CD 在 ? 两侧,若 AC , BD 与平面 ? 相交 AM BN 于 M 、 N 两点,求证: . ? MC ND

14

§ 2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1. 掌握两个平面平行的性质定理; 2. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线、线面、面面”平行的转化.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P60~ P61,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面平行的性质定理是___________________________________________. 复习 2: 平面与平面平行的判定定理是______________________________________________. 讨论:如果平面 ? 和平面 ? 平行,那么平面 ? 内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置 关系? 二、新课导学 探究:平面与平面平行的性质定理 问题 1:如图,平面 ? 和平面 ? 平行, a ? ? .请在图中的平面 ? 内画一条直线 b 和 a 平行.
?
?

a

问题 2:在图中,把平行直线 a , b 所确定的平面作出来,并且表示为 ? . 问题 3:在你所画的图中,平面 ? 和平面 ? 、 ? 是相交平面,直线 a , b 分别是 ? 和 ? 、 ? 的 交线,并且它们是平行的.根据以上论述,你能得出什么结论?请把它用符号语言写在下面. 问题 4:在图中,任意再作一个平面与 ? , ? 都相交,得到的两条交线平行吗?和你上面得出 的结论相符吗?你能从理论上证明吗?
?
?

新知: 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交 线平行. 反思:定理的实质是什么? 练习:课本 P61 典型例题 例 1 如图, ? ∥ ? , AB ∥ CD ,且 A ? ? , C ? ? B ? ? , D ? ? .求证: AB ? CD .
?
?

A

C

B

D

例 2 已知平面 ? ∥平面 ? , AB, CD 夹在 ? , ? 之间,A, C ? ? ,B, D ? ? ,E , F 分别为 AB, CD 的中点,求证: EF ∥ ? , EF ∥ ? .(提示:注意 AB, CD 的关系)

15

小结:应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面. 练. 已知平面 ? ∥平面 ? , A, C ? ? ,B, D ? ? , 直线 AB 与 CD 交于点 S ,且 AS ? 8 , BS ? 9 , CD ? 34 , ⑴当 S 在 ? , ? 之间时, CS 长多少? ⑵当 S 不在 ? , ? 之间时, CS 长又是多少?

三、学习小结 1. 平面与平面平行的性质定理及应用; 2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换. 知识拓展 两个平面平行,还有如下结论: ⑴如果两个平面平行,则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面; ⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等; ⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么这条直线也垂直于另一个平面. ⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交. 当堂检测: 1. 下列命题错误的是( ). A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交 2. m, n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面: ① m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ② m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ③ ? ? ? n , m ∥ n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ? 上面结论正确的有( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. 3 个平面把空间分成 6 个部分,则( ). A.三平面共线 B.三平面两两相交 C.有两平面平行且都与第三平面相交 D.三平面共线或有两平面平行且都与第三平面相交 4. 直线与两个平行平面中的一个平行,则它与另一平面_______________. 5. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等,则这两个平面________________.

课后作业

1. 若面 ? ∥面 ? ,面 ? ∥面 ? ,求证: ? ∥ ? .

2. 设 P, Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D 、面 A1B1C1D1 的中心, 如图,证明:⑴ PQ ∥平面 AA 1B 1B ;⑵面 D1 PQ ∥面 C1 DB .

16

§ 2.2 直线、平面平行的判定及其性质(练习)
学习目标
1. 熟练掌握直线与平面、 平面与平面平行的判定定理和性质定理,能合理选用证明平行关系; 2. 熟练掌握线线、线面、面面之间的相互转化关系. .学习过程 一、课前准备(预习教材 P54~ P63,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么? 复习 2:线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为: 线线平行
理 定 质 理 性 定

判定定理
定 理

线面平行

性质定理

性 质

面面平行

二、新课导学 典型例题 例 1 如图,在正方体中, E , F , G, H 分别为 BC ,CC ?, C ?D ?, A?A 的中点.求证:⑴ BF ∥ HD? ; ⑵ EG ∥ 平面BB?D?D ; ⑶ 平面BDF ∥ 平面B?D?H .

例 2 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点, 证明:直线 MN‖ 平面OCD O
M A B N C D

小结:判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线 面平行,线面平行到面面平行,最后又回到线线平行这一过程, 归根结底还是线线平行. 练 1. 课本 P62 8

判 定

定 判

定 理

17

练 2. 如图,右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在 中间和右边画出(单位: cm )在所给直观图中连结 BC ? ,⑴证明: BC ? ∥ 面 EFG ;⑵求多 面体体积. G

D? F

C?

2

6 4 4

2 2

B?
C B

E D A

练 3. 课本 P63 3

三、 学习小结 线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练运用;平行关系的熟练转化. 当堂检测: 1. 下列条件能推出平面 ? ∥平面 ? 的是( ). A.存在一条直线 a , a ∥ ? , a ∥ ? B.存在一条直线 a , a ? ? , a ∥ ? C.存在两条平行直线 a , b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? D. 存在两条异面直线 a , b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? 2. 设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列三个结论正确的有( )个. ①若 a , b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b ②若 a ∥ ? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b ③若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? A.0 B.1 C.2 D.3 3. AB 和 CD 是夹在平行平面 ? , ? 间的两条异面线段, E , F 分别是它们的中点,则 EF 和 ? ( ). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定 4. 在由正方体棱的中点组成的直线中,和正方体的一个对角面平行的直线有_______条. 5. a ? ? , b ? ? ,试在横线上写出条件,使得 a ∥ b ._____________________________

课后作业
1. 如图,四边形 ABCD 是矩形, E , F 是 AB 、 PD 的中点,求证: AF ∥面 PCE .

2. 如图,在正三棱柱中, E 是的 AC 中点,求证: AB? ∥面 BEC ? .

18

§ 2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 理解直线与平面垂直的定义; 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用; 3. 理解直线与平面所成的角的概念,会求直线与平面所成的角.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P64~ P67,找出疑惑之处) 复习 1: 当两条直线的夹角为______, 这两条直线互相垂直; 它们的位置关系是_____或_____. 复习 2:如图,直线 a ? ? ,请你任意作出至少 3 条和 a 垂直的直线,并感觉作出的直线中 有和平面 ? 垂直的直线吗?

?

a

二、新课导学 探究 1:直线和平面垂直的概念 问题:如图,将三角板直立起来,并且让它的一条直角边 BC 落在桌面上,观察 AB 边与桌 面的位置关系呈什么状态?绕着 AB 边转动三角板,边 AB 与 BC 始终垂直吗?在转动的过 程中,把 BC 看作桌面上不同的直线,你能得出什么结论吗? A

B 新知 1:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记 做 l ? ? . l 叫做垂线, ? 叫垂面,它们的交点 P 叫垂足.如图课本 P64 图 2.3-3 所示.
反思:⑴ 如果直线与平面内无数条直线都垂直,那么它和这个平面垂直吗?⑵用定义证明直 线和平面垂直好证吗?你感觉难在哪里? 探究 2:直线与平面垂直的判定定理 问题:如图,将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 ( BD, DC 与桌面接触 ). 观察折痕 AD 与桌面的位置关系 .如何翻折才能使折痕 AD 与桌面垂 直?

C

结论:当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时, AD 所在的直线与桌面所在的平面 ? 垂 直.如图课本 P65 图 2.3-5 所示. 反思:⑴折痕 AD 与桌面上的一条直线垂直时,能判断 AD 垂直于桌面吗? ⑵如图 10-5,当折痕 AD ? BC 时,翻折后 AD ? ? ,即 AD ? CD, AD ? BD .由此你能得出什 么结论? 新知 2:直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该 直线与此平面垂直. 探究 3:直线与平面所成的角 P 新知 3:如图,直线 PA 和平面 ? 相交但不垂直, PA 叫做平面的斜线, PA 和平面的交点 A 叫斜足; PO ? ? , AO 叫做斜线 PA 在平面 ? 上 ? A O 的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条 直线和平面所成的角.
19

直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0 °角. 典型例题 例 1 如图,已知 a ∥ b , a ? ? ,求证: b ? a .

例 2 课本 P66 例 2 练 1. 课本 P67 练习 1 2

练 2. 如图,在 Rt ?BMC 中,斜边 BM ? 5 ,其射影 AB ? 4 , ?MBC ? 60 °, 求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值.

三、学习小结 1. 直线与平面垂直的定义、判定;线线垂直与线面垂直的转化; 2. 直线与平面所成的角的定义及求法. 当堂检测: 1. 直线 l 和平面 ? 内两条直线都垂直,则 l 与平面 ? 的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能 2. 已知直线 a , b 和平面 ? ,下列错误的是( ).
A. C.
a ??? ??a ?b b ???

).

B.

a / /b ? ??b ?? a ???

a ? b? a / /? ? ? ? a ∥ ? 或 a ? ? D. ? ? a∥b b ??? b ???

3. a , b 是异面直线,那么经过 b 的所有平面( ). A.只有一个平面与 ? 平行 B.有无数个平面与 ? 平行 C.只有一个平面与 ? 垂直 D.有无数个平面与 ? 垂直 4. 两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系是________________. 5. 若平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 a 与 ? _____. 6. 过 ?ABC 所在平面 ? 外一点,作 PO ? ? ,垂足为 O ,连接 PA 、 PB 、 PC ,若 P A ?P B , PB ? PC , PC ? PA ,则点 O 在 ?ABC 的什么位置?

D?
7. 如图,在正方体中, O 是底面的中心, B ?H ? D ?O , H 为垂足,求证: B?H ? 面 AD ?C .

C?

A? H D

B?

C

A
20

O

B

§ 2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1. 理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小; 2. 理解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系; 3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P67~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:⑴若直线垂直于平面,则这条直线____ ____平面内的任何直线; ⑵直线与平面垂直的判定定理为________________________________________. 复习 2:⑴什么是直线与平面所成的角? ⑵直线与平面所成的角的范围为____________ ___. 二、新课导学 探究 1:二面角的有关概念 问题:课本 P67 图 2。2-10 中,水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的 角度.这两个角度的共同特征是什么? 新知 1:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱, 这两个半平面叫二面角的面.图 2.3-11 中的二面角可记作:二面角 ? ? AB ? ? 或 ? ? l ? ? 或 P ? AB ? Q . 问题:二面角的大小怎么确定呢? 新知 2: 图 2.3-12, 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O , 以点 O 为垂足, 在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫直二面角. 反思:⑴两个平面相交,构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系? ⑵你觉的二面角的大小范围是多少? ⑶二面角平面角的大小和 O 点的选择有关吗?除以上作法,二面角的平面角还能怎么作? 探究 2:平面与平面垂直的判定 问题: 教室的墙给人以垂直于地面的形象, 想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个 二面角?它们的大小是多少? 新知 3:两个平面所成二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直. 如图 2.3-13,? 垂直 ? , 记作 ? ? ? . 问题:除了定义,你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢? 新知 4:两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 反思:定理的实质是什么? 典型例题 例 1 课本 P69 例 3

课本 P69 探究 练习 例 2 如图,在正方体中,求面 A?D ?CB 与面 ABCD 所成二面角的大小(取锐角).

D? A? D
A
小结:求二面角的关键是作出二面角的平面角.
21

C?

B?

C

B

二面角的平面角的一个常用作法:如图过平面 ? 内一点 A ,作 AB ? ? 于点 B ,再作 BO ? l 于 O ,连接 OA ,则 ?AOB 即为所求平面角.(为什么?)

练. 如图,在空间四边形 SABC 中, ?ASC =90°, ?ASB ? BSC ? 60 °, SA ? SB ? SC , ⑴求证:平面 ASC ? 平面 ABC . ⑵求二面角 S ? AB ? C 的平面角的正弦值. S

A

C

B

三、学习小结 1. 二面角的有关概念,二面角的求法; 2. 两个平面垂直的判定定理及应用. 知识拓展 当堂检测: 1. 以下四个命题,正确的是( ). A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关 2. 对于直线 m, n ,平面 ? , ? ,能得出 ? ? ? 的一个条件是( ). A. m ? n, m / /? , n / / ? B. m ? n, ? ? ? m, n ? ? C. m / / n, n ? ? , m ? ? D. m / / n, m ? ? , n ? ? 3. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 过 A, C , D 的平面与过 D, B1 , B 的平面的位置关系是 (

) .

A.相交不垂直 B.相交成 60°角 C.互相垂直 D.互相平行 4. 二面角的大小范围是________________. 5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直, 则它和这条斜线的位置关系____. 课后作业 1. 如图, AC ? 面 BCD , BD ? CD ,设 ?ABC = ? 1 , ?CBD ? ?2 , ?ABD ? ?3 ,求证: cos?3 ? cos?1 cos?2

2. 如图,在正方体中, E , F 是棱 A?B? 与 D ?C ? 的中点,求面 EFCB 与面 ABCD 所成二面角的 正切值.(取锐角)

22

§ 2.3.3 直线与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用; 2. 了解反证法证题的思路和步骤; 3. 掌握平行与垂直关系的转化.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P70~ P71,找出疑惑之处) 复习 1: ①什么是二面角?什么是二面角的平面角?②当两个平面所成的二面角__________ 时,这两个平面互相垂直. 复习 2:两个平面垂直的判定定理是_________________________________________. 复习 3:①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________;②垂直于同一平面的两 个平面的位置关系是___________. 二、新课导学 探究:直线与平面垂直的性质定理 问题 1:东升汇景酒店门口竖着三根旗杆,它们与地面的位置关系如何?你感觉它们之间的 位置关系又是什么样的? 问题 2:课本 P70 思考 反思:由以上两个问题,你得出了什么结论?自己能试着证明吗?和其它同学讨论讨论,看 看难在哪里? 典型例题 例 1 如图,已知直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,求证: a ∥ b .

小结:由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明 a ∥ b ,我们假设 a , b 不平行,进而推出 “经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论,说明假设不正确,即原命题正 确: a ∥ b .这种证明命题的方法叫做“反证法”. 新知:直线与平面垂直的性质定理 反思:这个定理揭示了什么? 例 2 判断下列命题是否正确,并说明理由. ⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线; ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面; ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面; ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. B 小结:体会“平行”与“垂直”之间的转化. ? 练 1. 如图, CA ? ? 于点 A , CB ? ? 于点 B , ? ? ? l , a ? ? ,且 a ? AB ,求证: a ∥ l . 垂直于同一个平面的两条直线平行.

C

a

A
l

?

23

练 2. 如图, AB 是异面直线 a , b 的公垂线(与 a , b 都垂直相交 的直线) , a ? ? , b ? ? , ? ? ? c ,求证: AB ∥ c .
?

c

a

A
?
b

B

三、学习小结 1. 直线与平面垂直的性质定理及应用; 2. “平行”与“垂直”关系的相互转化. 知识拓展 设 a, m 和 l 是直线, ? , ? 是平面,则直线与平面垂直还有下列性质: l ?? ? l ??? l ??? (1) (2) (3) ??l ?a; ?? m ?? ?? / / ? a ??? m / /l ? l ? ??
你能把它们用图形表示出来吗? 当堂检测: 1. 下列四个命题中错误的是( ). A. a ? ? , b ? ? ? a ∥ b B. a ? ? , a ∥ b ? b ? ? C. a ? ? , b ∥ ? , ? a ? b D. a ? ? , a ? b ? b ∥ ? 2. 平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是( ). A.平面 ABC 必平行于 ? B.平面 ABC 必垂直于 ? C.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 3. 已知平面 ? 和平面 ? 相交, a 是 ? 内一条直线,则有( ). A.在 ? 内必存在与 a 平行的直线 B. 在 ? 内必存在与 a 垂直的直线 C.在 ? 内不存在与 a 平行的直线 D. 在 ? 内不一定存在与 a 垂直的直线 4. 直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 ? ∥ ? ,则 a ___ b . 5. 设直线 a , b 分别在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中两个不同的平面内, 欲使 a // b ,a , b 应 满足___________________.(至少写出 2 个不同答案)

课后作业
1. 已知 a ? ? , a ? b , b ? ? ,求证: a ∥ ? .

2. 如图,在三棱锥中, PA ? PB , AB ? BC ,若 M 是 PC 的中点,试确定 AB 上点 N 的位 置,使得 MN ? AB .

24

§ 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用; 2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.

学习过程
一、课前准备(预习教材 P71~ P72,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面垂直的性质定理是__________________________________________. 复习 2:直线与平面垂直的判定定理是________________________________________. 复习 3:两个平面垂直的定义是什么?

二、新课导学 探究:平面与平面垂直的性质 问题 1:完成课本 P71 思考⑴、⑵
反思:以上两个问题有什么共性?你得出了什么结论?请用图形和符号语言把它描述在下 面,并试着证明这个结论.

新知: 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直. 反思:这个定理实现了什么关系的转化? 典型例题 例 1 课本 P72 例 4

探究 P72

完成练习 P73

例 2 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是个矩形, AB ? 2, BC ? 2 ,侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB 垂直于底面 ABCD . P ⑴证明:侧面 PAB ? 侧面 PBC ; ⑵求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角.

A B
C

D

练 1. 平面 ? ? 平面 ? , P ? ? ,过点 P 作平面 ? 的垂线 a ,求证: a ? ? .

25

练 2. 如图,平面 ? ? 平面 ? , ? a ? AB ,求证: a ? ? .

? ? AB , a ∥ ? ,

?

B A

a
?

三、学习小结 1. 两个平面垂直的性质定理及应用;可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角; 2. 判定定理和性质定理的交替运用,三种垂直关系的相互转化. ※ 知识拓展 两个平面垂直的性质还有: ⑴如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这 个平面内; ⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面; ⑶三个两两垂直的平面,它们的交线也两两垂直. 你能试着用图形和符号语言描述它们吗?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题错误的是( ). A. ? ? ? ? ? 内所有直线都垂直于 ? B. ? ? ? ? ? 内一定存在直线平行于 ? C. ? 不垂直 ? ? ? 内不存在直线垂直 ? D. ? 不垂直 ? ? ? 内一定存在直线平行于 ? 2. 已知 ? ? ? ,下列命题正确个数有( ). ① ? 内的已知直线必垂直于? 内的任意直线 ② ? 内的已知直线必垂直于? 内的无数条直线 ③ ? 内的任一直线必垂直于 ? A.3 B.2 C.1 D.0 3. 已知 ? ? ? , a ? ? , b ? ? , b 是 ? 的斜线, a ? b ,则 a 与 ? 的位置关系是( ). A. a ∥ ? B. a 与 ? 相交不垂直 C. a ? ? D.不能确定 4. 若平面 ? ? 平面? ,直线 a ? ? ,则 a 与 ? 的位置关系为_____________________. 5. 直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? 满足 m ? n , m ? ? , ? ? ? ,则 n 和 ? 的位置关系为__________.

课后作业
1. 如图 13-6,平面 ? ? 平面 ? , 平面? ? 平面? ,

26

?

? ? l ,求证: l ? ? .

图 13-6

2. 如图 13-7, ? ? ? , CD ? ? , CD ? AB , CE , EF ? ? , ?FEC ? 90 °,求证:面 EFD ? 面 DCE .
?

D
C

A F
?

B

E
图 13-7

§ 2.3.4 直线、平面垂直的判定 及其性质(练习)
学习目标
1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理,能够灵活运用; 2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化,掌握“平行”与“垂直”关系 的相互转换; 3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P64~ P72,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面垂直的有关结论 ⑴如果一条直线_____________________________ _______________,则这条直线和这个平面垂直; ⑵线面垂直的判定定理是_____________________ __________________________________________; ⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面,则______ ______________________________; ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则____ _______________________________________; ⑸面面垂直的性质定理是_____________________ ___________________________________________. 复习 2:平面与平面垂直的有关结论 ⑴两个平面垂直的定义是_____________________
27

__________________________________________; ⑵两个面垂直的判定定理是___________________ __________________________________________. 复习 3:⑴斜线和平面所成的角怎么作?直线和平面所成的角的范围是_____________; ⑵二面角的定义是怎样的?它的平面角又是怎么作的?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 14-1 所示,在正方体中, P 、Q、R、S 分别为棱 A?D? 、 A?B? 、 AB 、 BB? 的中点. 求证:平面 PQS ? B?RC

图 14-1

小结:面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线),线面垂直又 转化为线线垂直,线线垂直往往又用到线面垂直的定义. 例 2 如图 14-2 所示,设 a 、 b 为异面直线, AB 垂直于 a 、 b ,且与 a 、 b 分别交于 A 、 B 两点. ⑴ ? 为平面,若 a ∥ ? , b ∥ ? ,求证: AB ? ? ; ⑵若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? c ,求证: AB ∥ c

A
a
b b

A

a
?

?

B
?

c

B
图 14-2(2)

图 14-(1)

28

小结: “平行”与“垂直”的转化;线面垂直的判定和性质定理的灵活运用. 例 3 如图 14-3, 二面角 ? ? l ? ? 的平面角是个锐角, 点 P 到 ? 、? 和棱 l 的距离分别为 2 2 、 4、 4 2. ⑴分别求直线 PC 与面 ? 和面 ? 所成的角; ⑵求二面角 ? ? l ? ? 的大小.

A
C
l
?

P B

?

图 14-3

※ 动手试试 练 1. 在正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,求证:平面 ACC ?A? ? 平面 A?BD .

练 2. 如图 14-4, VO ? ABC , O ? CD , VA ? VB , AD ? BD ,求证: CD ? AB , AC ? BC .

29

图 14-4

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 垂直关系的证明:根据题设条件,合理、灵活的运用各种判定和性质定理,注意条件的 转化; 2. 求线面角和二面角的关键是利用垂直关系,作出角,然后利用三角形的知识加以解决. ※ 知识拓展 论证垂直问题要注意垂直关系的转化,每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一 垂直,最终达到目的,其转化关系为:
线线垂直
判定定理 性质定理

线面垂直

判定定理 性质定理

面面垂直

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. a ? b ,且 a ∥ ? ,则直线 b 和面 ? 是( ). A. b ? ? B. b 与 ? 相交或 b ∥ ? 或 b ? ? C. b ? ? D. b ∥ ? 或 b ? ? 2. 过平面外一点 P :①存在无数条直线与平面 ? 平行②存在无数条直线与平面 ? 垂直③仅 有一条直线与平面 ? 平行④仅有一条直线与平面 ? 垂直;其中正确结论的个数是( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 下列说法错误的是( ). A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个 B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直 C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直 D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面 4. 两个长方形所在平面互相垂 4 直,长宽如图所示,则 cos? ? 3 与 cos ? 的比值为________. 5. 正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的棱 2 ? 长为 1, P 是 AD 的中点,则二面角 A ? BD? ? P 的大小为________.
课后作业 1. 如图 14-5, VA ? VB ? AC ? BC ? 2 , AB ? 2 3 , VC ? 1 ,求二面角 V ? AB ? C 大小.

30

图 14-5 2. S 为 ?ABC 所在平面外一点, SA ? 平面 ABC ,平面 SAB ? 平面 SBC .求证: AB ? BC .

第二章 点、直线、平面之间的 位置关系(复习)
学习目标
1. 掌握空间点、直线、平面之间的位置关系; 2. 理解并掌握直线、平面平行的判定及其性质; 3. 理解并掌握直线、平面垂直的判定及其性质; 4. 能准确使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系,体验公理化思想,熟悉将空 间问题转化平面问题以及线、面位置关系转化的思想.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P3,找出疑惑之处) 复习 1: 本章知识结构图
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

线与线的位置关系 线与面的位置关系

面与面的位置关系

交 交交 行 交 交 交交 相行 平交 在 相 异 平 面 内 交 面 行 交 行



平 行



相 交

异面直线 所成的角

斜线与平 面所成的角

二面角的 平面角 31

复习 2: 空间平行和垂直关系的转化
线与线平行 线与面平行 面与面平行

线与线垂直

线与面垂直

面与面垂直

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 15-1, AB ? ? P , CD ? ? P , A, D 与 B, C 分别在平面 ? 的两侧, AC ? ? Q , BD ? ? R ,求证: P 、 Q 、 R 三点共线.

图 15-1

例 2 如图 15-2,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. ⑴求证:PC⊥ AB ; ⑵求二面角 B-AP-C 的正切值; P ⑶求点 C 到平面 APB 的距离.

A
C

B

图 15-2

32

※ 动手试试 练 1. 证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

练 2. 如图 15-3,平面 ? , ? , ? 两两相交,a , b, c 为三条交线,且 a ∥ b ,证明:a ∥ c ,b ∥ c .

图 15-3

练 3. 如图 15-4,在 ?ABC 中, B ? 90 °, AC ? 7.5 , D, E 两点分别在 AB, AC 上,使 AD : DB = AE : EC = 2 , DE ? 3 ,现将 ?ABC 沿 DE 折成直二角角,求: ⑴异面直线 AD 与 BC 所成角的大小; ⑵二面角 A ? EC ? B 的正切值.

图 15-4

33

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 点、线、面的位置关系;平行和垂直的证明;角度的求解; 2. 各种定理的灵活运用,转化思想的运用. 1. 知识拓展 欧氏几何 古希腊数学家欧几里得在公元前 300 年完成了著作 《几何原本》 , 共有十三卷, 讲述了三角形全等条件、三角形边和角的大小关系、平行线理论、圆、内接和外切多边形、 相似多边形理论、比例和算术的理论、立体几何知识,包含现代中学课程里初等几何的绝大 部分内容,因此长期以来,人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科 书.属于《几何原本》内容的几何学,人们把它叫做欧几里得几何学,简称为欧氏几何.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 过平行六面体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 任意两条棱的中点作直线,其中与面 DBB?D? 平行的直线 有( ). A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 2. 在正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,下列结论错误的是( ). A. BD ∥平面 CB?D? B. AC ? ? 平面 CB?D? C. AC ? ? BD D. AD 与 CB ? 所成的角为 60 ° 3. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是 ____________. 5. 设直线 l ? ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l 、 ? 都成 30 °角的直线有且只有________条.

课后作业
1. 如图 15-5, 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE ∥CF, ? BCF= ? CEF= 90 ? , AD=

3 ,EF=2.
⑴求证: AE ∥平面 DCF; ⑵当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 ? ?
D A

C
B E

图 15-5

F

2. 如图 15-6 所示,在正方体中,求证:
34

⑴ B1 D ? 平面 A1C1 B ; ⑵ B1 D 与平面 A1C1 B 的交点 H 是 ?A1C1 B 的重心(三角形三条中线的交点).

35


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