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第十三讲对数运算


第十三讲 对数运算
1.对数的概念 如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中 a 叫做 对数的底数,N 叫做对数的真数. 自然对数: 常用对数:

2.对数的性质与运算法则 ①a
loga N

=N;

②logaaN=N; ⑤ loga a ? 1

n ③ logam bn = logab m

④ loga 1 ? 0 (换底公式) logaN ⑥logbN= ; logab (运算法则) ① loga(M· N)=logaM+logaN; 1 n ④loga M= logaM. n

1 ⑦logab= , logba

⑧logab· logbc· logcd=logad.

M ②loga =logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); N

【典例精析】
例 1. 对数的基本运算 (1) log6 x ? 1 ,则 x ? (3) (2) log3 x ? 5 ,则 x ? (4) __________

log 1 x ? 3 ,则 x ? _______________
2

logx (2 ? 3 ) ? ?1 ,则 x ?

(5)

loga a ? ________________

__________

(6) loga 1 ? _______________________________________

(7) log5 125 ? _____________________________ (9) (11)

(8) log2 (10) (12)

1 ? ___________________________________________ 32
3

log 4 8 ? _______________________________

log 1 27 ? _______________________________________
lg 25 ? lg 4 ? _________________________________

lg 2 ? lg 5 ? _________________________

(13) log3 18 ? log3 2 ? ________________
(15) log3 2 ? log2 3 ?

(14) log4 2 ? log4 8 ? _______________________________
(16). 6
log 6 10

? _____________________________________________

例 2 .计算

(1)(log43+log83)log32;

(2) log

2

2 ? log27 9
log22

1 1 (1)原式=( + )log32 log34 log38

(2)原式=

log22 1 1 =( + )log32 2log32 3log32 1 1 5 = + = . 2 3 6

1 2

)+

log332 1 2 2 8 3= + =2+ = . log33 1 3 3 3 2

例 3. 计算(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;

7 3

1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 1 4 3 1 原式= (5lg 2-2lg 7)- · lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5 2 2 1 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= . 2 2 2 2 2

7 (1)解析:lg 14-2lg +lg 7-lg 18 3 =lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)

=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.

2 (3)lg 52+ lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 3 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2

=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.

例 4. 计算: (1 )

?lg 2?2 ? lg 5 ? lg 20

(2)

1 lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 ? lg ? lg 0.06 6

例 5. 计算: log

2

3 ? log

3

4 ? log

4

5 ? log

5

6 ? log

6

7 ? log

7

8?

例 6.

解方程: (1) 2lg x ? lg( x ? 12)

(2) lg2 ( x ? 10) ? lg( x ? 10)3 ? ?2

答案: (1)4 ; (2)0 或 90. (1)? x2 ? x ? 12, x2 ? x ? 12 ? 0 ? x ? 4或x ? ?3(舍) (2) lg2 ( x ? 10) ? 3lg( x ? 10) ? 2 ? 0 ? (lg( x ? 10) ?1)(lg( x ? 10) ? 2) ? 0
x ? 10 ? 10或x ? 10 ? 100 ? x ? 0或x ? 90

【巩固练习】
1. (1) log4 x ? 0 ,则 x ?

__________ _;

(2) log2 x ? ?5 ,则 x ?

__________ _;

(3)

log 3 x ? 4 ,则 x ? __________ _;

(4)

log7 ( x 2 ? 1) ? 0 ,则 x ? __________ _;

(5) log 8 ? ? x

1 ,则 x ? __________ _; 2 (13) lg 0.0001 ? ___________;

(6) log 1 x ? ?2 ,则 x ?
3

__________ _;

(14) lg1 ? __________ _;

(15) log9 81 ?

__________ _;
)

2. 有以下 4 个等式(其中 a ? 0 且 a ? 1, x ? 0, y ? 0 ),正确的是 ( A. loga ( x ? y) ? loga x ? loga y B.

loga ( x ? y) ? loga x ? loga y

C. loga x ? loga y ? loga ( xy)

D.

loga

x 1 ? loga x ? loga y y 2

3. 计算:(1) log2 16 ? 2log3 6 ? log3 12

(2). 1.10

? 3 64 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2lg 2 ?

(3). lg 25 ? lg 4 ? 7

log 7 2

? 4 ? (?9.8)0 ? log3

4

27 3

(4). (log3 2 ? log9 2)(log 16 3 ? log2 3)

4. (1).解方程: log 2 ( x ? 1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1)

(2).解方程: lg

2

( x ? 10) ? lg( x ? 10)3 ? 4

5. 已知 loga x ? 2 , logb x ? 3 , logc x ? 6 求 logabc x 的值.


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