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2014届高考数学第一轮复习单元练习题26


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2014 高考数学一轮复习单元练习--不等式

I 卷 一、选择题 x-2 1. 已知集合 S={x| x <0}, T={x|x2-(2a+1)x+a2+a≥0, a∈R}, 若 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( A.-1≤a≤1 C.0≤a≤1 【答案】C
?3x ? 1, x ? 1 ? f ( x) ? ? 2 ?| x ? ax |, x ? 1, ?

)

B.-1<a≤1 D.0<a≤1

2.已知函数 ( )

若 f ( f (0)) ? 4 ,则 a 的取值范围是

3 A. (-6,-4) B. (-4,0) C. (-4,4) D. (0, 4 )

【答案】B
?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ? x? y?2?0 ? x ? 0, y ? 0 3. 设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z=ax+by(a>0,
2 3 ? b>0)的最大值为 12,则 a b 的最小值为( 25 8 11 A. 6 B. 3 C. 3 D.4

)

【答案】A
1 1 (? , ) 4.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 2 3 ,则 a ? b 等于(
2



A.-10

B.10 C.-14

D.14
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【答案】B 5.下列命题中,为真命题的是( )

A.a、b、c∈R 且 a>b,则 ac2>bc2 a b B.a、b∈R 且 ab≠0,则b+a ≥2 C.a、b∈R 且 a>|b|,则 an>bn(n∈N*) a b D.若 a>b,c>d,则c>d 【答案】C 6 . 函 数 f(x) ? a
x ?1

? 3(a ? 0, 且a ? 1)

的图象过一个点 P,且点 P 在直线 )

mx ? ny ? 1 ? 0(m ? 0 且n ? 0)

1 4 ? 上,则 m n 的最小值是(

A.12 B.13 C.24 D.25 【答案】D
? 2 x ? y ? 4, ? ? x ? y ? 1, ? x ? 2 y ? 2, ?

7.设 x, y 满足

则 z ? x? y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 【答案】B 8.当|x|≤1 时,函数 y=ax+2a+1 的值有正也有负,则实数 a 的取 值范围是( 1 A.a≥-3 ) B.a≤-1 1 D.-1≤a≤-3
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1 C.-1<a<-3

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答案:C y=ax+2a+1 可以看成关于 x 的一次函数,在-1,1 上具有单调性, 因此只需当 x=-1 和 x=1 时的函数值互为相反数, 即(a+2a+1)(- 1 a+2a+1)<0,解这个关于 a 的一元二次不等式,得-1<a<-3. a2+b2 9.已知 a>b,ab=1,则 的最小值是( a-b A.2 2 D.1 【答案】A
?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ? ax ? y ? 1 ? 0 10.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? ( ? 为常数)所表

) C.2

B. 2

示的平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为( A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

)

【答案】B
? ?1,(a<b), 11.在两个实数之间定义一种运算“#” ,规定 a#b=? ? ?-1,(a≥b).

1 则方程|x-2|#2=1 的解集是( 1 A.{4} 1 C.(-∞,4) 【答案】B

) 1 B.(4,+∞) 1 D.[4,+∞)

12.对于函数 f (x),在使 f(x)≤M 恒成立的所有常数 M 中,我们把
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x2+2x+1 M 中的最小值称为函数 f(x)的 “上确界”已知函数 f(x)= . + x2+1 a(x∈-2,2)是奇函数,则 f(x)的上确界为( A.2 9 B.5 C.1 4 D.5 【答案】C )

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II 卷 二、填空题 13.下列命题
2 2 ① 设a, b是非零实数,若 a ? b,则ab ? a b



若a ? b ? 0,则

1 1 ? a b

y?

2( x 2 ? 3) x 2 ? 2 的最小值是 4

③函数 ④

若x,y是正数,且

1 4 ? ? 1,则xy有最小值16 x y

其中正确命题的序号是 【答案】②④

1 1 14.设 a,b,c∈R+,则(a+b+c)( +c)的最小值为__________. a+b 【答案】4 1 1 15.设 a>b>0,则 a2+ab+ 的最小值是________. a(a-b) 【答案】4 ax-1 1 16.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(-2+∞), x+1 则 a=________. 【答案】-2

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三、解答题 1 1 17.已知函数 f(x)=3ax3-4x2+cx+d(a,c,d∈R)满足 f(0)=0,f ′(1)=0,且 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; 3 b 1 (2)若 h(x)=4x2-bx+2-4,解不等式 f′(x)+h(x)<0. 【答案】(1)∵f(0)=0,∴d=0, 1 ∵f′(x)=ax2-2x+c. 1 又 f′(1)=0,∴a+c=2. ∵f′(x)≥0 在 R 上恒成立, 1 即 ax2-2x+c≥0 恒成立, 1 1 ∴ax2-2x+2-a≥0 恒成立, 显然当 a=0 时,上式不恒成立. ∴a≠0, ∴

?a>0, ? 1 1 (-2)2-4a(2-a)≤0, ?



?a>0, ? 1 1 a2-2a+16≤0, ?



?a>0, ? 1 ?(a-4)2≤0,
1 1 解得:a=4,c=4.

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1 (2)∵a=c=4. 1 1 1 ∴f′(x)=4x2-2x+4. 1 1 1 3 b 1 f′(x)+h(x)<0,即4x2-2x+4+4x2-bx+2-4<0, 1 b 即 x2-(b+2)x+2<0, 1 即 (x-b)(x-2)<0, 1 1 当 b>2时,解集为(2,b), 1 1 当 b<2时,解集为(b,2), 1 当 b=2时,解集为 ? . 2x2+2x 18.设函数 f(x)= ,函数 g(x)=ax2+5x-2a. x2+1 (1)求 f(x)在[0,1]上的值域; (2)若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使得 g(x0)=f(x1)成立, 求 a 的取值范围. 2x2+2x 2(x2+1)+2x-2 2(x-1) 【答案】(1)f(x)= = =2+ , x2+1 x2+1 x2+1 2t 令 x-1=t,则 x=t+1,t∈[-1,0],f(t)=2+ ,当 t=0 时, t2+2t+2 f(t)=2; 2 当 t∈[-1,0),f(t)=2+ 2 ,由对勾函数的单调性得 f(t)∈[0,2), t+ t +2
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故函数 f(x)在[0,1]上的值域是[0,2]. (2)f(x)的值域是[0,2],要使 g(x0)=f(x1)成立, 则[0,2]? {y|y=g(x),x∈[0,1]}. ①当 a=0 时,x∈[0,1],g(x)=5x∈[0,5],符合题意; 5 ②当 a>0 时,函数 g(x)的对称轴为 x=-2a<0,故当 x∈[0,1]时,函 数为增函数,则 g(x)的值域是[-2a,5-a],由条件知[0,2]? [-2a,5-

?a>0, ? a],∴?-2a≤0, ?5-a≥2 ?

? 0<a≤3;

5 ③当 a<0 时,函数 g(x)的对称轴为 x=-2a>0. 5 5 当 0<-2a<1,即 a<-2时,
? -8a2-25? ? -8a2-25? ?或?5-a, ?, g(x)的值域是?-2a, 4a 4a ? ? ? ?

5 5 由-2a>0,5-a>0 知,此时不合题意;当-2a≥1,即-2≤a<0 时, g(x)的值域是[-2a,5-a],由-2a>0 知,此时不合题意. 综合①②③得 0≤a≤3. 19.整改校园内一块长为 15 m,宽为 11 m 的长方形草地(如图 A), 将长减少 1 m,宽增加 1 m(如图 B).问草地面积是增加了还是减少 了?假设长减少 x m,宽增加 x m(x>0),试研究以下问题:

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x 取什么值时,草地面积减少? x 取什么值时,草地面积增加? 答案:原草地面积 S1=11×15=165(m2), 整改后草地面积为:S=14×12=168(m2), ∵S>S1,∴整改后草地面积增加了. 研究:长减少 x m,宽增加 x m 后,草地面积为: S2=(11+x)(15-x), ∵S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x, ∴当 0<x<4 时,x2-4x<0,∴S1<S2; 当 x=4 时,x2-4x=0,∴S1=S2. 当 x>4 时,x2-4x>0,∴S1>S2. 综上所述,当 0<x<4 时,草地面积增加, 当 x=4 时,草地面积不变, 当 x>4 时,草地面积减少. 20.A、B 两地分别生产同一规格产品 12 千吨、8 千吨,而 D、E、F 三地分别需要 8 千吨、6 千吨、6 千吨,每千吨的运价如下表.怎样 确定调运方案,使总的运费为最小?

【答案】设从 A 到 D 运 x 千吨,则从 B 到 D 运(8-x)千吨;从 A 到
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E 运 y 千吨,则从 B 到 E 运(6-y)千吨; 从 A 到 F 运(12-x-y)千吨,从 B 到 F 运(x+y-6)千吨,则线性约

?0≤x≤8, ? 束条件为?0≤y≤6, ?6≤x+y≤12, ?
线性目标函数为 z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+4(x+ y-6)=-3x+y+110, 作出可行域,可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值,即从 A 到 D 运 8 千吨,从 B 到 E 运 6 千吨,从 A 到 F 运 4 千吨,从 B 到 F 运 2 千吨,可使总的运费最少. 1 21. 定义在-1,1 上的奇函数, 已知当 x∈-1,0 时的解析式 f(x)=4x- a 2x(a∈R). (1)写出 f(x)在 0,1 上的解析式; (2)求 f(x)在 0,1 上的最大值. 【答案】(1)设 x∈0,1, 1 a 则-x∈-1,0,f(-x)= - =4x-a·2x, 4-x 2-x ∴f(x)=-f(-x)=a·2x-4x,x∈0,1. (2)∵f(x)=a·2x-4x,x∈0,1, 令 t=2x,t∈1,2, a a2 ∴g(t)=a·t-t2=-(t-2)2+ 4 .

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a 当2≤1,即 a≤2 时,g(t)max=g(1)=a-1; a a a2 当 1<2<2,即 2<a<4 时,g(t)max=g(2)= 4 ; a 当2≥2,即 a≥4 时,g(t)max=g(2)=2a-4. 综上,当 a≤2 时,f(x)的最大值为 a-1; a2 当 2<a<4 时,f(x)的最大值为 4 ; 当 a≥4 时,f(x)的最大值为 2a-4.

?f(x+2),x≤-1 ? 22.已知函数 f(x)=?2x+2,-1<x<1. ? ?2x-4,x≥1
1 (1)求 f(2),f[f(-2)]的值;
?x≥-1 ? (2)解不等式组:? . ? ?f(x)≤2

1 1 【答案】(1)f(2)=2×2+2=3, f[f(-2)]=f[f(0)]=f(2)=22-4=0. (2)①当 x=-1 时,f(-1)=f(1)=21-4=-2<2,满足不等式组;
?-1<x<1 ? ②? ?-1<x≤0; ? ?2x+2≤2 ?x≥1 ? ③? ?1≤x≤log26. ? ?2x-4≤2 ? ?x≥-1 综上所述,不等式组? 的解集为 x∈[-1,0]∪[1,log26]. ?f(x)≤2 ?

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