当前位置:首页 >> 数学 >>

2016圆锥曲线复习题


专题

圆锥曲线

1.若双曲线 E :

x2 y 2 ? ?1 9 16
B.9

的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 且 D.3【答案】B

PF1 ? 3 ,则 PF2



于( )A.

11 2.过双曲线 x
2

C.5

?

y2 ? 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则 AB ? 3
(B) 2



)(A)

4 3 3

3

(C)6

(D) 4

3 【答案】D

3.已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ,则双曲线 C 的方程为( 2 a b 4
B.



A.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

【答案】 B .

4.已知 M( x0 , y0 )是双曲线 C: 则

???? ? ????? x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 , 2

y0 的取值范围是(

) 【答案】A

(A) (-

3 3 , ) 3 3

(B) (-

3 3 2 2 , ) (C ) (? 6 6 3
) 【答案】D



2 2 3



(D) (?

2 3 2 3 , ) 3 3

5 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长度,得到离心 率为 e2 的双曲线 C2 ,则(

A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 6.设直线 l 与抛物线

B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2
2

y 2 ? 4 x 相交于 A,B 两点,与圆 ? x ? 5 ? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M,且 M 为线
) 【答案】D (D)

段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( (A)

3? ?1,

(B)

4? ?1,

(C)

3? ? 2,

4? ? 2,

7.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 a 2 b2

AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? ( ) 【答案】A B、 ( ??, ?1) ? (1, ??) C、 ( ?

a 2 ? b2

,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

A、 ( ?1, 0) ? (0,1)

2, 0) ? (0, 2)

D、 ( ??, ?

2) ? ( 2, ??)

第 - 1 - 页 共 17 页

8. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
的准线上,则双曲线的方程为(

的一条渐近线过点

? 2, 3 ?

,且双曲线的一个焦点在抛物线

y2 ? 4 7x
(A)

) 【答案】D

x2 y 2 ? ?1 21 28

(B)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 28 21 3 4 4 3
) 【答案】C

9.下列双曲线中,焦点在

y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是(

(A) x

2

?

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D)

y2 ?

x2 ?1 4

10.如图,设抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A , B , C ,其中点 A ,
) 【答案】A.

B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是(

A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°, 则 E 的离心率为( )A.

5

B. 2

C.

3

D.

2 【答案】D
. 【答案】

12.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? 2 a

3 3

抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ,则 p ?

. 【答案】 2

x2 y 2 设 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端 a b
点,则 C 的离心率为 .【答案】

5.
. 【答案】 2

13.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

,渐近线方程是

3, y ??

2 x. 2

14.一个圆经过椭圆 【答案】 ( x ?

x2 y 2 ? ? 1 三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则圆标准方程为 16 4

3 2 2 25 ) ?y ? 2 4
【答案】 2

15.若抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 一个焦点,则 p ?

2

第 - 2 - 页 共 17 页

16 已知点 ? 和 Q 的横坐标相同, ? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, ? 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和

C2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则 C2 的渐近线方程为
17. 平 面 直 角 坐 标 系

y??
. 【答案】

3 x 2

xoy

中,双曲线

C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
的垂心为

的渐近线与抛物线

C2 : x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?


交于点

O, A, B

,若

?OAB

C2

的焦点,则

C1

的离心率

.【答案】

3 2
2

18.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x

? y 2 ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0
.【答案】

的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 19. 已知椭圆 C : 9 x
2

2 2

? y 2 ? m 2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A ,
. (Ⅰ)证明: 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ) 若 l 过点 (

线段 AB 的中点为 M B,

m , m) , 3

延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明 理由. 解(Ⅰ)设直线 l : 入 9x
2

y ? kx ? b (k ? 0, b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .将 y ? kx ? b 代

? y 2 ? m 2 得 (k 2 ? 9) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? m 2 ? 0 ,故 xM ?

x1 ? x2 kb , ?? 2 2 k ?9

第 - 3 - 页 共 17 页

2?

mk (k ? 3) .解得 k1 ? 4 ? 7 , k2 ? 4 ? 7 .因为 ki ? 0, ki ? 3 , i ? 1 , 2 ,所以当 l 的斜率 3(k 2 ? 9)

为4?

7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.
x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2
,且右焦点 F 到

20. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

左准线 l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 分别交直线 l 和 AB 于 点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

解: (1)由题意,得

c 2 ? a 2
2

且c ?

a2 ? 3 ,解得 a ? 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 , c

P

y

A
所以椭圆的标准方程为

x (2) 当 ?? ? x 轴时,?? ? 2 , 又 C? ? 3 , ? y 2 ? 1. 2

O l

C B

x

不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时, 设直线 ?? 的方程为

y ? k ? x ? 1? ,? ? x1 , y1 ? ,

? ? x2 , y2 ? ,将 ?? 的方程代入椭圆方程, ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,


x1,2 ?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

, C 的坐标为 ?

? 2k 2 ?k ? , ,且 2 2 ? ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?
2

?? ?
若k

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ?
2

?1 ? k 2 ? ? x2 ? x1 ? ?

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.

21 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 2 a b 2

. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设

直线 x

9 = my - 1,(m ? R )交椭圆 E 于 A, B 两点, 判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系, 4

并说明理由.

第 - 4 - 页 共 17 页

【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得

y A

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 x2 y 2 ? c ? = , 解得 í b = 2 ,所以椭圆 E 的方程为 + = 1 . í 2 4 2 ? a ? ? a 2 = b2 + c2 , ? c = 2 ? ? ?
( Ⅱ ) 设 点

G B
. 由

O

x

A( x1 y1 ), B(x2 , y2 ),

AB

中 点 为

H( x0 , y 0 )

ì x = my - 1 ? 得(m 2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, í x2 y 2 ? + =1 ? ? 4 2
y0 =
2





y1 + y 2 =

2m 3 , y1y 2 = 2 , 2 m +2 m +2





2 9 2 5 2 5 25 2 2 2 2 2 .所以 GH| = ( x0 + ) + y 0 = (my 0 + ) + y 0 = (m +1) y 0 + my 0 + . m +2 4 4 2 16

|AB|2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 (m 2 +1)( y1 - y2 )2 (m 2 +1)[( y1 + y 2 ) 2 - 4 y1 y 2 ] = = = = (m 2 +1)(y 0 2 - y1 y 2 ) , 4 4 4 4
故 |GH|
2

-

|AB|2 5 25 5m 2 3(m 2 +1) 25 17 m 2 + 2 = my 0 + (m 2 +1) y1 y 2 + = + = >0 4 2 16 2(m 2 + 2) m 2 + 2 16 16(m 2 + 2)

|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 ???? ??? ? 9 9 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y 2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ). 4 4
所以 |GH|>

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 得(m 2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , y2 m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2 ???? ??? ? 9 9 5 5 从而 GA ? GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2 4 4 4 4

5 25 5m 2 3(m 2 +1) 25 17 m 2 + 2 = (m 2 +1) y1 y 2 + m( y1 + y 2 ) + = + = >0 4 16 2(m 2 + 2) m 2 + 2 16 16(m 2 + 2)
所以 cos狁 GA, GB

???? ??? ?

???? ??? ? 9 所以 ?AGB 为锐角.故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. > 0, 又GA, GB 不共线, 4

22.已知椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 对称. (1)求实数 m 的取值范围; 2 2

(2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

第 - 5 - 页 共 17 页

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 解: (1) 由题意知 m ? 0 , 可设直线 AB 的方程为 y ? ? 由? , x?b, m ?y ? ? 1 x ?b ? m ?
消去

y

,得

1 1 2b ( ? 2 ) x2 ? x ? b2 ? 1 ? 0 2 m m

,∵直线

y??

1 x?b m

与椭圆

x2 2mb m 2b 4 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点,∴ ? ? ?2b 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,①,将 AB 中点 M ( 2 , 2 )代 2 m ?2 m ?2 m m2 ? 2 6 6 1 入直线方程 y ? mx ? 解得 b ? ? ,②。由①②得 m ? ? 或m ? ; (2)令 2 2m 3 3 2
?2t 4 ? 2t 2 ? 1 t ? 2
2

1 6 6 t ? ? (? , 0) ? (0, ) ,则 | AB |? t 2 ? 1 ? m 2 2

3 2

,且 O 到直线 AB 的距离为

1 2 ,设 ?AOB 的面积为 S (t ) , S (t ) ? 1 | AB | ?d ? 1 ?2(t 2 ? 1 ) 2 ? 2 ? 2 d? 2 2 2 2 2 t ?1 t2 ?
且仅当 t
2

,当

?

2 1 时,等号成立,故 ?AOB 面积的最大值为 2 2
xoy 中,已知椭圆 C :

.

23.平面直角坐标系

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

,左、右焦点分别是

以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆 C 上.(Ⅰ)求椭圆 C F1 , F2 ,

的方程; (Ⅱ) 设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 ,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 4a 2 4b 2
交椭圆 E 于点 Q .( i )求



A, B 两点,射线 PO

OQ OP

的值; (ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

解: (I)由题意知 2a

?4

,则 a

?2

,又

c 3 2 2 ? , a ? c ? b2 a 2

可得 b

?1

,所以椭圆 C 的标准方程为

x2 x2 y 2 2 ? y ? 1 .(II)由(I)知椭圆 E 的方程为 ? ? 1, 4 16 4
(i)设 P

? x0 , y0 ? ,

OQ OP

??

,由题意知 Q

? ?? x0 , ?? y0 ?

因为

2 x0 2 ? y0 ? 1, 4

第 - 6 - 页 共 17 页

? ?? x0 ? 又
16

2

? ?? y0 ? ?
4

2

?1

,即

2 ? 2 ? x0

2? ? ? y0 ? ? 1 4 ? 4 ?

,所以 ?

?2

,即

OQ OP
E

?2

.

( ii ) 设

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?



y ? kx ? m
,可得 m
2

代 入 椭 圆

的 方 程 , 可 得

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4 m2 ? 16 ? 0 由 ? ? 0

? 4 ? 16k 2 …①

则 有

x1 ? x2 ? ?


8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
轴 交 点 的 坐 标

所 以

x1 ? x2 ?

4 16k 2 ? 4 ? m 2 1 ? 4k 2
所 以

因 为 直 线

y ? kx ? m



? 0, m ?

?OAB







S?

2 16k 2 ? 4 ? m 2 m 2 (16k 2 ? 4 ? m 2 ) ? m 2 1 ? ?2 m ? x2 ? x2 ? 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2
,将

? m2 ? m2 4 ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k



m2 ?t 1 ? 4k 2

y ? kx ? m

代入椭圆 C 的方程可得

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0



??0

,可得

m 2 ? 1 ? 4k 2

②由①②可知
2

0 ? t ?1

因此

S ?2

?4 ? t ?t ? 2

?t 2 ? 4t

,故

S?2 3

当且仅当 t

?1

,即 m

? 1 ? 4k 2

时取得最大值 2

3

由(i)知, ?ABQ 面积为 3S ,所

以 ?ABQ 面积的最大值为 6

3

.

24 设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 0 ? ,点 B 的坐标为 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, a 2 b2

b ? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 0,
点 C 的坐标为

? 2 MA

,直线 OM 的斜率为

5 .(I)求 E 的离心率 e; (II)设 10
7 ,求 E 的方程. 2

? b ? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ? 0,

第 - 7 - 页 共 17 页

25.已知椭圆

x2 y 2 3 , 点 M 在椭圆上且位于第一象限, + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F ( ?c,0) ,离心率为 2 a b 3
2

直线 FM 被圆 x

+y 2 =

b4 4

截得的线段的长为 c, |FM|=

4 3 .(I)求直线 FM 的斜率;(II)求椭圆的方程; 3

(III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于

2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率的取值范围.

解(I) 由已知有

c2 1 2 2 2 2 2 又由 a ? b ? c , 可得 a ? 3c , 设直线 FM 的斜率为 k ( k ? 0) , ? , b 2 ? 2c 2 , a2 3
y ? k ( x ? c ) ,由已知有
2 2

则直线 FM 的方程为
2

? kc ? ? c ? ? b ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?


,解得 k

?

x2 y2 3 .(II)由(I)得椭圆方程为 ? ? 1 ,直线 FM 的方程 3c 2 2c 2 3

5 y ? k ( x ? c ) ,两个方程联立,消去 y ,整理得 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因 3
2

?2 3 ? ? 2 3 ? 4 3 为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 ? c, c ? 0? ? c ? ,由 FM ? ( c ? c ) 2 ? ? 3 3 ? ? 3 ? ?



x2 y2 ? ?1 解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t

?

y ,即 y ? t ( x ? 1) ( x ? ?1) ,与椭圆方程 x ?1

第 - 8 - 页 共 17 页

? y ? t ( x ? 1) 6 ? 2 x2 ? 2 2 2 2 t ? ? 2, 联立 ? x 2 ,消去 ,整理得 ,又由已知,得 2 x ? 3 t ( x ? 1) ? 6 y y 3( x ? 1) 2 ? ?1 ? 2 ?3
3 y ? x ? ?1 或 ?1 ? x ? 0 ,设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ? ,即 y ? mx ( x ? 0) ,与椭圆 2 x 2 2 2 方程联立,整理可得 m ? 2 ? . x 3
解得 ? ①当 x ? ? ?

? 3 ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ? 2 ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3
②当 x ?

? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? ? 2 3? 2 3? ? 2 2 3? m ? ? ??, ? , ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ? ??? ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ?
26.如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 的直线交椭圆于 P, Q a 2 b2

两点,且 PQ

? PF1(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程(2)若 PF1 ? PQ ,

求椭圆的离心率 e. 解 (1)由椭圆的定义, 2a

=| PF1 | + | PF2 |= 2 + 2 + 2 -

(

) (

2 = 4,故a =2.学优高考网

)

y P

设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF 1

? PF2 ,因此

F1

O

F2

x

2c =| F1F2 |= | PF1 |2 + | PF2 |2 =
从而 b

(

2+ 2

) (
2

+ 2-

2

)

2

= 2 3, 即 c= 3.

Q

= a 2 - c 2 = 1 故所求椭圆的标准方程为

x2 2 +y =1 . 4

(2)解法一:如图(21)图,设点 P ( x0 , y 0 ) 在椭圆上,且 PF 1

? PF2 ,则


x0 2 y 0 2 + 2 =1, x0 2 + y0 2 = c 2 2 a b

求得

c 2 b2 2 x0 = ? a ? 2b , y 0 ? ? . a c
2

| P F1 | = | PQ |>| P F2 |

,得

x0 >0

, 从 而

?c ? | PF1 | = ? a 2 ? 2b 2 +c? ?a ?
2

2

2 ? b2 ? ? ? ? ? 2? a 2 ? b 2 ? ? 2a a 2 ? 2b 2 ? a ? a 2 ? 2b 2 . ?c?

?

?

由 椭 圆 的 定 义 ,

第 - 9 - 页 共 17 页

| PF1 | + | PF2 |= 2a,| QF1 | + | QF2 |= 2a | QF1 |= 4a - 2 | PF1 |
又 由

,







| PF1 | = | PQ | = | PF2 | + | QF2 |






PF1 ? PF2



| PF1 | = | PQ |

| QF1 |= 2 | PF1 |
2

, 因 此

(

2+ 2 | PF a于 1 | =4

)

(

1? ? 4 ? ? 1? 2 + 2 a + a - 2b = 4a. 解得 e ? ?1 ? ? 2? ? ? 2? 2 ?

)(

2

2

)

? ? ? 6? 3. ? ?

27.如图,椭圆 E:

x2 y2 2 + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 2 a b 2

,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B

两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 不存在,请说明理由.

2 .(1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角
恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若

QA PA ? QB PB

解(1)由已知,点 (

1 ? 2 ? a 2 ? b 2 ? 1, 解得 a 2,1) 在椭圆 E 上.因此, ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? ?c ? 2 , ? 2 ?a

? 2, b ? 2 .

所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点.如果存在定点 Q 满足条件,则

| QC | | PC | ? ? 1 ,即 | QC |?| QD | .所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为 (0, y0 ) . | QD | | PD |
当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点.则 M (0,

2), N (0, ? 2) ,



| y0 ? 2 | 2 ?1 | QM | | PM | ? ,有 ,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 . ? | QN | | PN | | y0 ? 2 | 2 ?1

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点的坐标只可能为 Q (0, 2) . 第 - 10 - 页 共 17 页

下面证明:对任意的直线 l ,均有

| QA | | PA | . ? | QB | | PB |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为

y ? kx ? 1 ,A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? , 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 .其判别式 ? ? 16k 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 , 联立 ? 4 2 ? y ? kx ? 1 ?
所以, x1 ?

x2 ? ?

4k 2 1 1 x1 ? x2 , x1 x2 ? ? 2 .因此 ? ? ? 2k . 2 2k ? 1 2k ? 1 x1 x2 x1 x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为

B?(? x2 , y2 ) .
28.一种作图工具如图 1 所示. 短杆 ON 可绕 O 转动, 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON O 是滑槽 AB 的中点, 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运 动时, 带动 ( D 不动时, N 也不动) ,M 处的笔尖画出的曲线记为 C . 以 O 为原点, AB ..N 绕 O 转动一周 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有 且只有一个公共点,试探究: ?OQP 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理 由.

y
N

N
A D O B

D M
第 - 11 - 页 共 17 页

O

x

M

解(Ⅰ)设点 D (t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y ) ,依题意,

y P N D M O Q x

2 2 ???? ? ???? ? ?t ? x ? 2 x0 ? 2t , ?( x0 ? t ) ? y0 ? 1, 即 ? 且 MD ? 2 DN , 且 , 所 以 (t ? x, ? y ) ? 2( x0 ? t , y0 ) , 且 ? 2 2 ? ? y ? ?2 y0 . ? x0 ? y0 ? 1.

t (t ? 2 x0 ) ? 0. 由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ?
代入 x0 ? y0 ? 1 ,可得
2 2

x y , y0 ? ? , 4 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,即所求的曲线 C 的方程为 ? ? 1. (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不 16 4 16 4
1 ? 4 ? 4 ? 8 . ( 2 )当直线 l 的斜率存在时,设直线 2
2 2 2

存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S ?OPQ ?

? y ? kx ? m, 1 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 由 ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 16 ? 0 .因为直
2 2 2 2
2 2

线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以 ? ? 64k m ? 4(1 ? 4k )(4m ? 16) ? 0 ,即 m ? 16k ? 4 . ① 又由 ?

? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 可得 P ( , ) ;同理可得 Q( , ). x ? 2 y ? 0, 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2k ?
|m| 1? k
2

由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

和 | PQ |? 1 ? k | xP ? xQ | ,可得
2

第 - 12 - 页 共 17 页

29 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线的 a 2 b2

距离为

1 5 2 2 (I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 的一条直径,若 c. 2 2

椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求椭圆 ? 的方程.

解 :( I ) 过 点

? c, 0 ? , ? 0, b ?

的直线方程为

bx + cy - bc = 0

,则原点

?

到直线的距离

d?

bc b2 ? c2

?

1 bc 2 2 ,由 d = c ,得 a = 2b = 2 a - c 2 a
2

,解得离心率

c 3 . = a 2

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x 且 | AB |=

+ 4 y 2 = 4b 2 .(1)依题意,圆心 ? ? ?2,1? 是线段 ?? 的中点,

10 .易知, ?? 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得


(1 + 4k 2 ) x 2 + 8k (2k +1) x + 4(2k +1) 2 - 4b 2 = 0
x1 + x2 = k= 1 2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),
,得



8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 由 x1 + x2 = - 4 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2
.
2

.

8k (2k +1) = - 4, 1 + 4k 2


解得





x1 x2 = 8 - 2b 2
2 2 ? 4x x 1 2? 10(b ? 2) .



5 ?1? | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x 2 |? 2 ?2?
由 | AB |=

? x 1? x 2?

10 ,得 10(b 2 - 2) = 10 ,解得 b 2 = 3 .故椭圆 ? 的方程为
2

x2 y 2 + =1. 12 3

解法二:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x

+ 4 y 2 = 4b 2 .

(2)

第 - 13 - 页 共 17 页

. 30.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 4

与直线

y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 两点,

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解: (Ⅰ)由题设可得 M (2 ∵

a , a) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a) .


y? ?

1 x 2

,故

y?

x2 4

x

=

2 2a

处的到数值为

a


,C 在

(2 2a, a)

处的切线方程为

y ? a ? a ( x ? 2 a ) , 即 ax ? y ? a ? 0 . 故 y ?

x2 4

x =- 2 2a 处 的 到 数 值 为 - a

,C 在

(?2 2a, a) 处 的 切 线 方 程 为 y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) , 即 ax ? y ? a ? 0 .

故所求切线方程为

ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 .
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将

y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 .

∴ x1 ?

x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a .

∴ k1 ? k2 当b

?

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k (a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

? ?a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,

故∠OPM=∠OPN,所以 P (0, ? a ) 符合题意. 31.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 1? 和点 A ? m ,n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 点 P ?0 , 2 a b 2

上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存在点 Q ,使得 第 - 14 - 页 共 17 页

?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

32 已知抛物线 C1 : x

2

?

4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2

:

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,C1 与 C2 的公 a 2 b2

共弦的长为 2 两点,且

6 .(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D

???? ??? ? AC 与 BD 同向(ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率
A 处的切线与 x 轴的交点为 M
2

(ⅱ)设 C1 在点

,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形

解: (1)由 C1 : x ∴

? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,∵ F 也是椭圆 C2 的一焦点,
, C1 与 C2 都关于

a 2 ? b 2 ? 1 ①,又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6

y 轴对称,且 C1 的方程为

3 9 6 2 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) , ∴ 联立①, ②, 得a ?9, x2 ? 4 y , ? 2 ? 1 ②, 2 2 4a b
b 2 ? 8 ,故 C2 的方程为
(i) ∵

x2 y 2 ? ? 1; (2) 如图 9 8

y P N D M O Q x

, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,C ( x3 , y3 ) ,D ( x4 , y4 ) ,

???? ??? ???? ??? ? ? AC 与 BD 同向, 且 | AC |?| BD | , ∴ AC ? BD , 从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,

第 - 15 - 页 共 17 页

于是

? x1 ? x2 ?

2

设直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , ? 4 x1 x2 ? ? x3 ? x4 ? ? 4 x3 x4 ③,
2

由?

? y ? kx ? 1 2 得 x ? 16kx ? 64 ? 0 , 而 x1 , x2 是这个方程的两根, ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 2 ? x ? 4y
? y ? kx ? 1 ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 9 ?8









33 已知椭圆 x

2

? 2 y 2 ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 ? 、 ? 和 C 、 D ,记得到的平行四

边形 ??CD 的面积为 S .(1)设 ? 并证明 S

? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,
1 ,求面积 S 的值. 2

? 2 x1 y1 ? x2 y1

; (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ?

解证明: (1)直线 l1 :

y1 x ? x1 y ? 0 ,点 C 到 l1 的距离 d ?
,所以 S

y1 x2 ? x1 y2 x12 ? y12

.

?? ? 2 ?? ? 2 x12 ? y12
解: (2)设 l1 :

? 2S ???C ? 2 ?

1 ?? ? d ? 2 x1 y2 ? x2 y1 2

.

y ? kx ,则 l2 : y ? ?

1 x .设 ? ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? . 2k

第 - 16 - 页 共 17 页



? y ? kx ? 2 2 ?x ? 2 y ? 1

, 得

x12 ?

1 1 ? 2k 2

. 同 理

2 x2 ?

1 ? 1 ? 1? 2? ? ? ? 2k ?
2

?

2k 2 2k 2 ? 1

. 由

?1?



? 2k 2 ? 1? 2k x1 ? x2 2k 2 ? 1 S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? x2 ? kx1 ? ? x1 x2 ? , 2k k k 1 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 1
整理得 S

? 2.

第 - 17 - 页 共 17 页


相关文章:
2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线 老师专用
2016 年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线 1.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文数 5T)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆 中心到 l 的距离为其短轴长...
2016年高考数学试题分类汇编(理科):圆锥曲线
2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、(2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y ? 2 px(p ? 0) 上任意一点,M...
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、(2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P ...
2016圆锥曲线复习题
2016圆锥曲线复习题_数学_高中教育_教育专区。精选此复习试题,为2016高考成功提供必要训练。专题 圆锥曲线 1.若双曲线 E : x2 y 2 ? ?1 9 16 B.9 的左...
2016高考数学复习之圆锥曲线基础题
2016高考数学复习圆锥曲线基础题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学复习圆锥曲线基础题 x2 ? y 2 ? 1的离心率等于___ 1.双曲线 4 2.已知双曲...
2016年期末考试精彩试题解析(圆锥曲线)
2016年期末考试精彩试题解析(圆锥曲线)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。对于高中阶段最后一次期末考试,相信考生、学校及命题人都会高度重视,试题的质量也相对较高....
圆锥曲线(练习题) 2016 高考 数学
圆锥曲线(练习题) 2016 高考 数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线练习题(备战 2016 高考) 一:选择题 1.双曲线 x ? 2 y2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离...
2016圆锥曲线复习
2016圆锥曲线复习_数学_高中教育_教育专区。高考真题 1.【2011 ? 北京理,19】...北京理,19】已知椭圆 C : 一模试题 1.【2016 ? 北京朝阳理,19】已知点 P...
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线
2016年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、(2016 年四川高考)设 O 为坐标原点,P ...
2016届圆锥曲线高考练习题
2016圆锥曲线高考练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学理科圆锥曲线联系题 1.平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2.已知椭圆 C: 9 x2 ? y...
更多相关标签: