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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算(二


2.1.1 指数与指数幂的运算(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后, 进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意图

环节 提出 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. 老师提问, 学生回答. 学习 新知前的

a = a ? a ? a ??? a, a = 1 (a ≠ 0)
n 0

,

问题

00 无意义
a
?n

简 单 复 习,不仅

1 = n a

(a ≠ 0)

能唤起学 生 的 记 忆,而且

a m ? a n = a m + n ; (a m ) n = a mn (a ) = a , (ab) = a b
n m mn n n n

为学习新 课作好了 知识上的 准备.

什么叫实数? 有理数,无理数统称实数.

复习

观察以下式子,并总结出规律: a >0 ①
5

老师引导学生“当根式的被开 方数的指数能被根指数整除时,根

数学 中引进一

a10 = 5 (a 2 )5 = a 2 = a 5 a = (a ) = a = a
8 4 2 4 8 2

10

引入 ② ③
5 4

式可以写成分数作为指数的形式, 个新的概 (分数指数幂形式) ”联想“根式的 念或法则 时,总希 望它与已 有的概念 或法则是 相容的.

a12 = 4 (a 3 )4 = a 3 = a
10
5

12 4

被开方数不能被根指数整除时,根 式是否也可以写成分数指数幂的形 式.” .从而推广到正数的分数指数幂 的意义.

④ a

= ( a 2 )5 = a 2 = a 5

10

小结: 当根式的被开方数的指数能被根 指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的 形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式. 如:
3

a 2 = a 3 = (a > 0) b = b 2 = (b > 0)
1

2

4

c = c = (c > 0)
5 n m

5 4

即: a

= a (a > 0, n ∈ N * , n > 1)

m n

形成

为此, 我们规定正数的分数指数幂的意 义为:

学生计算、构造、猜想,允许交流 讨论,汇报结论.教师巡视指导.

让 学 生经历从

概念

a = n a m (a > 0, m, n ∈ N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整 数幂的意义相同. 即: a
? m n

m n

“特殊一 一般”, “归纳一

=

1 a
m n

猜想”,

(a > 0, m, n ∈ N )
*

是培养学 生“合情 推理”能 力的有效 方式,同 时学生也 经历了指 数幂的再 发 现 过 程,有利 于培养学 生的创造 能力.

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的 负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分 数指数幂是可以互换的, 分数指数幂只是根 式的一种新的写法,而不是

a = a ? a ??? a (a > 0)

n m

1 m

1 m

1 m

深化 概念

由于整数指数幂,分数指数幂都有意 义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数 指数幂的运算性质, 可以推广到有理数指数 幂,即: (1) a r ? a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ Q ) (2) (a r ) S = a rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) ( 3 )

让学生讨论、研究,教师引导. 通过本环 节 的 教 学,进一 步体会上 一环节的 设 计 意 图.

(a ? b) r = a r b r (Q > 0, b > 0, r ∈ Q)
若 a >0,P 是一个无理数,则 P 该如 何理解?为了解决这个问题, 引导学生先阅 读课本 P57——P58.

即: 2 的不足近似值, 从由小于 2 的 方向逼近

2 , 2 的过剩近似值从大于

2 的方向逼近 2 .
所以,当 2 不足近似值从小于 2 的 方向逼近时, 5 向逼近 5
2 2

的近似值从小于 5

2

的方

.

当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼 近 2 时, 5 逼近 5
2 2

的近似值从大于 5

2

的方向

,(如课本图所示)
2

所以, 5

是一个确定的实数.

一般来说,无理数指数幂

a p (a > 0, p是一个无理数) 是一个确定的
实数, 有理数指数幂的性质同样适用于无理 数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指 数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼 近以确定大小. 思考: 2 的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂, 无理数指数幂有意义,且它们运算性质相 同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性 质,即:
3

a r ? a s = a r + s (a > 0, r ∈ R, s ∈ R) (a r ) s = a rs (a > 0, r ∈ R, s ∈ R) (a ? b) r = a r b r (a > 0, r ∈ R)

应用 举例

例题 例 1(P56,例 2)求值
2 1 ? 1 16 ? 3 8 3 ; 25 2 ; ( ) ?5 ; ( ) 4 . 2 81

学生思考,口答,教师板演、 点评. 例 1 解: ① 8 3 = (2 ) 3
3 2 2

通过 这二个例 题 的 解 答,巩固 所学的分

例 2(P56,例 3)用分数指数幂的形式 表或下列各式( a >0)

=2
a3



2 3

= 2 = 4;
2
?

数指数幂
?

a3. a ; a 2 ? 3 a2 ;

a.

② 25

1 2

= (52 )

1 2

与根式的 互化,以 及分数指 数幂的求 值,提高 运 算 能

分析:先把根式化为分数指数幂,再由 运算性质来运算. 解: a . a = a ? a = a
3 3 2 3 1 2 3+ 1 2

=5

1 2×( ? ) 2

1 =5 = ; 5
?1

=a ;

7 2

③ ( )

1 2

?5

= (2 ?1 ) ?5

a2 ? 3 a2 = a2 ? a = a

2 2+ 3

=a ;

8 3

= 2?1×( ?5) = 32 ;
④(

a3

a = a ? a 3 = a 3 = (a 3 ) 2 = a 3 .

1

4

4 1

2

16 ) 81

3 ? 4

2 =( ) 3

3 4×( ? ) 4

力.

课堂练习:P59 练习 第 1,2,3,4 题 补充练习:

2 27 = ( ) ?3 = . 3 8
例 2 分析:先把根式化为分数 指数幂,再由运算性质来运算. 解: a . a = a ? a 2
3 3 1

1 (2 n +1 )4 ? ( ) 2 n +1 2 1. 计算: 的结果; n ?2 48
2. 若 a3 = 3,

a10 = 384,

=a
2

3+

1 2

= a2 ;
2 2 2 3

7

a 1 求a3 ? [( 10 ) 7 ]n ?3的值 . a3

a ? a = a ?a
3

=a

2+

2 3

=a ;
1 3 4 3

8 3

a3

a = a?a = a
4 1 2

= (a 3 ) 2 = a 3 .
练习答案:

24 n + 4 ? 2 ?2 n ?1 1.解:原式= 22 n ? 2?6

= 2 =512; 2.解:原式= 3 × [(128) 7 ] = 3× 2 归纳 总结 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其 与整数指数幂的运算性质是一致的.
n?3

9

1

n? 3

. 巩固 本节学习 成果,使 学生逐步 养成爱总 结、会总 结的习惯 和能力.

先让学生独自回忆,然后师生 共同总结.

课后 作业

作业:2.1 第二课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 计算

? 3? ?2 ? 1 ? (1) ? 2 ? + 2 ? ? 2 ? ? 5? ? 4?
(1) (0.0001) 【解析】
? 1 4 2

0

?

1 2

? (0.01) 0.5 .
1

+ (27) 3 ? (

49 ? 2 1 ) + ( ) ?1.5 ; 64 9

1 ? 4 ?2 ? 1 ?2 (1)原式 = 1 + × ? ? ? ? ? 4 ? 9 ? ? 100 ? 1 1 1 = 1+ ? = 1 . 6 10 15
(2)原式= (0.14 )
? 1 4

1

1

7 ? 1 ? + (3 3 ) 3 ? [( ) 2 ] 2 + [( ) 2 ] 2 8 2

2

1

3

= 0.1?1 + 3 2 ? ( ) ?1 + ( ) ?3 = 10 + 9 ? + 27 =
8 7 314 . 7

7 8

1 3

【小结】一般地,进行指数幂运算时,化负 指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为 简的目的. 例 2 化简下列各式: (1) a 2 a ?3 ÷
4 a3 2 4b 3 1 ? 8a 3 b 2 +a3
3 7 3

a ?8 3 a 15 ÷

3

a ?3 a ?1 ;

(2)

÷ (1 ? 23

+ 23 ab

b 3 )× a . a

【解析】 (1)原式= a 2 a
7 3 7 ? 3 2

÷ a

?

8 15 3a 3

÷ a

3

?

3 1 ? 2a 2

= 3 a 2 ÷ a 3 ÷ 3 a ?2
2 =a3 2 =a3 7 ÷ (a 3 7 ÷a6 1 )2 1 ?2 3 ÷ (a ) ? 2 3 2 7 ? a3 6 ? 2 3

÷a
1 a6

=

÷a

1 2 ? + =a 2 3

=


1 1 1 1

(2)原式=

a 3 (a ? 8b)
2 1 1 2

÷

a 3 ? 2?b 3
1

×a3

4b 3 + 2a 3 b 3 + a 3
1 1 1 2 1 1 2

a3
1

=

a 3 ( a 3 ? 2b 3 )(a 3 + 2a 3 b 3 + 4b 3 )
2 1 1 2

?

a3
1 1

1

?a 3

4b 3 + 2a 3 b 3 + 4 3

a 3 ? 2b 3

=

1 a3

1 ?a3

1 ?a3

=a.

【小结】 指数幂的一般运算步骤是: (1) 有括号先算括号里的; 无括号先做指数运算. 负 指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数 是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质. (2)根据一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在 将根式化为分数指数幂的过程中, 一般采用由内到外逐层变换为指数的方法, 然后运用运算 性质准确求解. 如
1 1

(?2) 6 = [(?2) 6 ] 2 = (2 6 ) 2 = 8 .

(3) 利用分数指数幂进行根式计算时, 结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,

但不能既有根式又有分数指数幂.


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