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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第七章 7.1


§ 7.1

不等关系与一元二次不等式

1.两个实数比较大小的方法 a-b>0?a > b ? ? 作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b 2.初中学习的不等式的重要性质 (1)若 a>b,b>c,则 a>c; (2)若 a>b,则 a+c>b+c; (3)若 a>b,c>0,则 ac>bc;若 a>b,c<0,则 ac<bc. 3.不等式的主要性质总结 (1)若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (2)若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd; (3)若 a>b>0,则 an>bn(n∈N+); n n (4)若 a>b>0,则 a> a(n∈N+).

(a,b∈R).

4.“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c (a>0) 的 图像 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a>0) 的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- b 2a 没有实数根 Δ>0 Δ=0 Δ<0

{x|x<x1 或 x>x2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

{x|x1< x<x2}

?

?

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b?ac2>bc2. a b (2)a>b>0,c>d>0? > . d c 1 1 (3)若 ab>0,则 a>b? < . a b ( × ( √ ( √ ) ) )

(4)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的两个 根是 x1 和 x2. ( √ ) ) ) )

(5)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R.( × (6)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2-4ac≤0. 2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 A. > a b C.|a|>-b 答案 B 1 1 解析 由题设得 a<a-b<0,所以有 < 成立, a-b a 即 1 1 > 不成立. a-b a 1 1 B. > a-b a D. -a> -b ( × (

1 1? 2 3.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是(

)

A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1? C.? ?3,2? 1? ?1 ? D.? ?-∞,3?∪?2,+∞? 答案 A 1 1 1 1 - ? 解析 由题意知- , - 是方程 ax2-bx-1=0 的根, 所以由根与系数的关系得- +? 2 3 2 ? 3? 1 b 1 1 - ?=- .解得 a=-6,b=5,不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0,解集 = ,- ×? a 2 ? 3? a 为(2,3). 4.若不存在整数 x 满足不等式(kx-k2-4)(x-4)<0,则实数 k 的取值范围是________. 答案 [1,4] 解析 可判断 k=0 或 k<0 均不符合题意,故 k>0. k2+4 k2+4 于是原不等式即为 k(x- )(x-4)<0?(x- )(x-4)<0, k k k2+4 依题意应有 3≤ ≤5 且 k>0, k ∴1≤k≤4. 5.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为________. 答案 (-5,0)∪(5,+∞)

?x2-4x,x≥0 ? 解析 由已知得 f(0)=0, 当 x<0 时, f(x)=-f(-x)=-x2-4x, 因此 f(x)=? 2 . ?-x -4x,x<0 ? ? ? ?x≥0 ?x<0 不等式 f(x)>x 等价于? 2 或? 2 . ? ?x -4x>x, ?-x -4x>x ?

解得:x>5,或-5<x<0.

题型一 不等式的性质及应用 例1 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①② ( )

C.②③

D.①②③

(2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 1 1 ②若 - =1,则 a-b<1; b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1; ④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 思维启迪 利用不等式的性质进行变形,比较大小时要注意题设条件. 答案 解析 (1)D (2)①④ 1 1 (1)∵a>b>1,∴ < . a b

c c 又 c<0,∴ > ,故结论①正确; a b 函数 y=xc(c<0)为减函数,又 a>b,∴ac<bc,故结论②正确; 根据对数函数的单调性,logb(a-c)>logb(b-c)>loga(b-c),故③正确. ∴正确结论的序号是①②③. (2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b 为正实数, 若 a-b≥1, 则必有 a+b>1,不合题意,故①正确. 1 1 a-b ②中, - = =1,只需 a-b=ab 即可. b a ab 2 4 如取 a=2,b= 满足上式,但 a-b= >1,故②错. 3 3 ③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1, 且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)| =|a-b|(a2+ab+b2)=1. 若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必有 a2+ab+b2>1,不合题意,故④正确. 思维升华 判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理 判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:①不等式两 边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或 0;②不等式左边是正数, 右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;③不等式左边是正数,右 边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等. ln 2 ln 3 ln 5 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( )

A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c

1 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④ln a2>ln b2 中, a b a b a+b ab 正确的不等式是 A.①④ C.①③ 答案 解析 (1)C (2)C b 2ln 3 (1)易知 a,b,c 都是正数, = =log89>1, a 3ln 2 B.②③ D.②④ ( )

a 5ln 2 所以 b>a; = =log2532>1,所以 a>c. c 2ln 5 即 c<a<b.故选 C. 1 1 (2)由 < <0,可知 b<a<0. a b ①中,因为 a+b<0,ab>0, 1 1 所以 <0, >0. ab a+b 1 1 故有 < ,即①正确; a+b ab ②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0. 故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误; 1 1 1 1 ③中,因为 b<a<0,又 < <0,所以 a- >b- ,故③正确; a b a b ④中,因为 b<a<0,根据 y=x2 在(-∞,0)上为减函数,可得 b2>a2>0, 而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数, 所以 ln b2>ln a2,故④错误. 由以上分析,知①③正确. 题型二 一元二次不等式的解集 例2 求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. 思维启迪 (1)可利用求根公式得到方程-x2+8x-3=0 的解,再求不等式的解集;(2)

含参数 a,要进行分类讨论. 解 (1)因为 Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,

所以方程-x2+8x-3=0 有两个不相等的实根 x1=4- 13,x2=4+ 13. 又二次函数 y=-x2+8x-3 的图像开口向下,

所以原不等式的解集为{x|4- 13<x<4+ 13}. (2)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 1 1 若 a<0,原不等式等价于(x- )(x-1)>0,解得 x< 或 x>1. a a 1 若 a>0,原不等式等价于(x- )(x-1)<0. a 1 1 ①当 a=1 时, =1,(x- )(x-1)<0 无解; a a 1 1 1 ②当 a>1 时, <1,解(x- )(x-1)<0 得 <x<1; a a a 1 1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解(x- )(x-1)<0 得 1<x< . a a a 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< 或 x>1};当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时, a 1 1 解集为{x|1<x< };当 a=1 时,解集为?;当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a a 思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进 行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等 式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 1 1 (1)若不等式 ax2+bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集 2 3 是________. x-1 (2)不等式 ≤0 的解集为________. 2x+1 答案 解析 1 (1)(-2,3) (2)(- ,1] 2 1 1 (1)由题意,知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根且 a<0, 2 3 1 1 b
?a=-12 ? ,解得? . ?b=-2 ?

?-2+3=-a 所以? 1 1 2 ?-2×3=a

则不等式 2x2+bx+a<0 即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2<x<3}.
? ??x-1??2x+1?≤0 (2)原不等式等价于? ?2x+1≠0 ?

(*)

1 由(*)解得- <x≤1. 2

题型三 不等式恒成立问题 例3 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 思维启迪 (1)分 m=0 和 m≠0 讨论,m≠0 可结合图像看 Δ 的条件;(2)可分离参数 m,

利用函数最值求 m 的范围. 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

若 m=0,显然-1<0;
? ?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ?

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即 1?2 3 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 1?2 3 方法一 令 g(x)=m? ?x-2? +4m-6,x∈[1,3]. 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0,所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. 7 1?2 3 方法二 因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 ? 6 . x -x+1
2

6 6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 1?2 3 7 7 ?x-2? +4
?

6? ? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?.
?

思维升华

(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在

给定的区间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全

部在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主 元,求谁的范围,谁就是参数. x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实 x 数 a 的取值范围. 解 x2+2x+a 因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= >0 恒成立,即 x2+2x+a>0 恒成立. x

即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(1)=-3, 故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是{a|a>-3}.

转化与化归思想在不等式中的应用 典例:(10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________________. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 思维启迪 (1)考虑函数 f(x)、方程 f(x)=0 和不等式的关系; (2)可把不等式看作关于 a 的一次不等式. 解析 (1)由题意知

a a2 x+ ?2+b- . f(x)=x2+ax+b=? ? 2? 4 ∵f(x)的值域为[0,+∞), a2 a2 ∴b- =0,即 b= . 4 4 a?2 ∴f(x)=? ?x+2? . a?2 又∵f(x)<c.∴? ?x+2? <c, a a 即- - c<x<- + c. 2 2

?-2- ∴? a ?-2+

a

c=m, c=m+6.

① ②

②-①,得 2 c=6,∴c=9. (2)把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0,且 f(1)=x2- 3x+2>0 即可,联立方程解得 x<1 或 x>3. 答案 (1)9 (2){x|x<1 或 x>3}

温馨提醒 本题解法中利用了转化与化归思想. (1)中利用“三个二次”之间的联系,将不等式、函数、方程之间相互转化; (2)中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式,体现了主元与次元的转化.利用转化与化 归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.

方法与技巧 1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一 定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法的主要步骤 为作差——变形——判断正负. 3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形. 4.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解. 失误与防范 1. 不等式的性质应用要准确, 尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时, 一定要搞清符号. 2.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 3.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集是 R 还是?,要注意区别.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A.a>b+1 C.a >b
2 2

(

)

B.a>b-1 D.a3>b3

答案 A

解析 由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不能得出 a>b+1,因此,使 a>b 成 立的充分而不必要的条件是 a>b+1. 2.(2013· 陕西)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y 有 A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 答案 D 解析 特殊值法.令 x=1.5, ∵[-1.5]=-2,-[1.5]=-1,故 A 错; [2× 1.5]=3,2[1.5]=2,故 B 错; 令 x=1.5,y=0.5,[x+y]=2,[x]+[y]=1+0=1, 故 C 错. 3.已知 p=a+ A.p≥q C.p<q 答案 A 1 1 解析 p=a+ =a-2+ +2≥2+2=4,当且仅当 a=3 时取等号. a-2 a-2 1? 2 ?1?-2 因为 x2-2≥-2,所以 q=? ?2?x -2≤?2? =4,当且仅当 x=0 时取等号. 所以 p≥q. 1? ? 4.(2013· 安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的解集为
? ?

(

)

1? 2 1 ,q=? 2?x -2,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的大小关系是 ? a-2 B.p>q D.p≤q

(

)

( A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 答案 D 1 1 解析 由已知条件 0<10x< ,解得 x<lg =-lg 2. 2 2 5.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} ( )

)

答案 D 解析 由题意知 a=0 时,满足条件.
? ?a>0 a≠0 时,由? 得 0<a≤4, 2 ?Δ=a -4a≤0 ?

所以 0≤a≤4. 二、填空题 6.已知 a<0,-1<b<0,那么 a,ab,ab2 的大小关系是__________.(用“>”连接) 答案 ab>ab2>a 解析 由-1<b<0,可得 b<b2<1. 又 a<0,∴ab>ab2>a. 7.函数 y= x2+x-12的定义域是____________________. 答案 (-∞,-4]∪[3,+∞)

解析 由 x2+x-12≥0 得(x-3)(x+4)≥0, ∴x≤-4 或 x≥3. 8.已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围为__________. 答案 (-∞,- 2)∪( 2,+∞)

解析 由题意,知 Δ=4-4×1×(k2-1)<0, 即 k2>2,∴k> 2或 k<- 2. 三、解答题 1 9.若不等式 ax2+5x-2>0 的解集是{x| <x<2}. 2 (1)求实数 a 的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集. 解 1 (1)由题意知 a<0,且方程 ax2+5x-2=0 的两个根为 ,2, 2

代入解得 a=-2. (2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0, 1 即 2x2+5x-3<0,解得-3<x< , 2 1 即不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集为(-3, ). 2 10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且 > ,x>y,求证: > . a b x+a y+b (1)解 方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y),

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 方法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0. ∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, ?x2+y2??x-y? x2+y2 ∴0< 2 2 = 2 2 <1, ?x -y ??x+y? x +y +2xy ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). (2)证明 bx-ay x y - = . x+a y+b ?x+a??y+b?

1 1 ∵ > 且 a,b∈(0,+∞),∴b>a>0, a b 又∵x>y>0,∴bx>ay>0, ∴ bx-ay x y >0,∴ > . ?x+a??y+b? x+a y+b B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是 A.(-∞,-a)∪(5a,+∞) B.(-∞,5a)∪(-a,+∞) C.(5a,-a) D.(a,-5a) 答案 B 解析 由 x2-4ax-5a2>0 得(x-5a)(x+a)>0, ∵a<0,∴x<5a 或 x>-a. 3 x 2.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈[ ,+∞),f( )-4m2· f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数 2 m m 的取值范围是________. 答案 {m|m≤- 3 3 或 m≥ } 2 2 ( )

x2 解析 依据题意得 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1). m 3 在 x∈[ ,+∞)上恒成立, 2 即 1 3 2 3 -4m2≤- 2- +1 在 x∈[ ,+∞)上恒成立. m2 x x 2

3 3 2 5 当 x= 时函数 y=- 2- +1 取得最小值- , 2 x x 3

1 5 所以 2-4m2≤- , m 3 即(3m2+1)(4m2-3)≥0, 解得 m≤- 3 3 或 m≥ . 2 2

2a-3 3.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实数 a 的取值范 a+1 围是________. 答案 2 (-1, ) 3

解析 ∵f(x+3)=f(x), ∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. ∴ 2a-3 3a-2 <-1? <0?(3a-2)(a+1)<0, a+1 a+1

2 ∴-1<a< . 3 4.求使不等式 x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围. 解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.

令 f(a)=(x-3)a+x2-6x+9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以 (1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去.
2 ? ? ?f?-1?>0 ?x -7x+12>0 (2)若 x≠3,则由一次函数的单调性,可得? ,即? 2 ,解得 x<2 或 ?f?1?>0 ? ? ?x -5x+6>0

x>4. 5. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律: 每生产产品 x(百 台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万 元 ( 总 成 本 = 固 定 成 本 + 生 产 成 本 ) , 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x) =
2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8 ? ?10.2 ?x>5? ?

?0≤x≤5?



假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少? 解 依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),

则 f(x)=R(x)-G(x),
2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8 ? 所以 f(x)= ?8.2-x ?x>5? ?

?0≤x≤5?

.

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为
? ?x>5 ?0≤x≤5 ? f(x)>0?? 或? 2 ?8.2-x>0 ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ? ? ?0≤x≤5 ?0≤x≤5 ? ? ?? 2 或 5<x<8.2?? ?1<x<7 ? ? ?x -8x+7<0

或 5<x<8.2?1<x≤5 或 5<x<8.2?1<x<8.2. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大, R?4? 此时只需求 x=4 时, =2.4(万元/百台) 4 =240(元/台). 所以工厂生产 400 台产品时盈利最大,此时每台产品的售价为 240 元.


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