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2014上海数学理科解析完整版


2014 年上海理数参考答案
1、函数 y ? 1 ? 2cos
2

?2 x? 的最小正周期是_________________.

【知识点】三角函数的最小正周期; 【考查能力】本题主要考查了学生对于最小正周期公式的求法,以及倍角公式的应用. 【思路方法】 y ? 1 ? 2cos
2

/>? 2x? = ? cos ? 4x? ,所以最小正周 T ? ?
? ?

2?

?

?
2

.

【得分点】正确得全分,错误得 0 分 2、若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ? 【知识点】复数的运算 【考查能力】本题主要考查了学生对于复数中共轭复数的运算; 【思路方法】 ? z ?

1? ? ? z ? ___________ . z?

? ?

1? ? ? z ? z ? z ? 1 ? ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? ? 1 ? 6 . z?

【得分点】正确得全分,错误得 0 分 3、 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 则抛物线的准线方程为___. 9 5

【知识点】抛物线的概念与椭圆焦点的概念. 【考查能力】本题主要考查了学生对于圆锥曲线基本概念的理解. 【思路方法】椭圆的右焦点坐标为 ? 2, 0 ? ,得:

p ? 2 ,所以抛物线的准线方程为 2

x??

p ? ?2 2

【得分点】正确得全分,错误得 0 分 4、设 f ? x ? ? ?

? ? x, x ? ? ??, a ? , 若 f ? 2? ? 4 ,则 a 的取值范围为_________________. 2 x , x ? a , ?? , ? ? ? ?

【知识点】分段函数的相关概念; 【考查能力】本题主要考查了学生对于分段函数的理解;

【思路方法】由题意可知,由 f ? 2? ? 4 ,得 2 ??a, ??? ,所以 a ? ? ??,2? . 【得分点】正确得全分,错误得 0 分 5、若实数 x, y 满足 xy ? 1, 则 x 2 ? 2 y 2 的最小值为_________________. 【知识点】基本不等式 【考查能力】考查学生基本不等式的应用. 【思路方法】由基本不等式可得: x2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy ? 2 2 ,当且仅当: x ? 2 y 时,

x2 ? 2 y 2 取到最小值,最小值为 2 2
【得分点】正确得全分,错误得 0 分 6、若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为_____________. 【知识点】圆锥的基本概念; 【考查能力】考查学生对圆锥的表面积相关概念,特别是底面与侧面的面积表示.

1 ? 2? r ? l ? 3? r 2 , 得:l ? 3r , 2 r r 1 1 ? .得: ? ? arccos . 所以母线与底面角为: cos ? ? ? l 3r 3 3
【思路方法】 底面圆的半径为 r , 母线长为 l , 得:S侧 =3S底 , 【得分点】正确得全分,错误得 0 分 7、已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?3cos? ? 4sin ? ? ? 1 ,则 C 与极轴的交点到极点的距离 为_______________.

【知识点】极坐标的概念 【考查能力】考查极坐标与直角坐标的转换; 【思路方法】曲线 C 可化为直角坐标方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,曲线 C 与极轴交点到极点

及距离,即为直线方程在直角坐标系中横坐标的绝对值,即为 【得分点】正确得全分,错误得 0 分

1 . 3

8、设无穷等比数列公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ?
n ??

? , 则 q ? __________ .

【知识点】无穷等比数列 【考查能力】无穷等比数列的前 n 项和公式,以及公比的取值范围的考查. 【思路方法】 由题意可得: a1 ?

a3 a q2 由 a1 ? 0 , 得 q2 ? 1 ? q , 且 q ? ? ?1 ? 1 , , 0 1? q 1? q

1 ,? ? ?0

即q ?

5 ?1 . 2

【得分点】正确得全分,错误得 0 分 9、若 f ? x ? ? x 3 ? x
2 ? 1 2 ,则满足

f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围是___________.
y

【知识点】幂函数的概念 【考查能力】幂函数定义域的考查,函数图像的画法 【思路方法】由解析式可得定义域为 x ? ? 0, ??? ,如图可得,两函数的 交点坐标为为 ?1,1? ,所求取值范围为 ? 0,1? . 【得分点】正确得全分,错误得 0 分

y?x

?

1 2

y ? x3

2

O

x

10、为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随即选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好是连续 3 天的概率是_____________(结果用最简分数表示).

【知识点】组合数,概率的相关概念 【考查能力】考查学生对于古典概率的相关知识.
3 【思路方法】10 天中任意取出 3 天的情况为 C10 ,连续 3 天在一起的情况为 8 种,所以概率

为P?

8 1 ? . 3 C10 15

【得分点】正确得全分,错误得 0 分

11、已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a, b? ? a 2 , b 2 ,则 a ? b ? ________ . 【知识点】集合的性质,复数方程 【考查能力】集合互异性的考查,实系数方程的根的求解,分类讨论思想 【思路方法】由于 ab ? 0 ,则 a ? a 2 ,所以 a ? b , b ? a ,有 a ? a 4 ,得: a1 ? 0 (舍)
2 2

?

?

1 3 1 3 , a3 ? ? ? a2 ? 1, (舍) i, a4 ? ? ? i ,所以 a ? b ? ?1 . 2 2 2 2
【得分点】正确得全分,错误得 0 分

12 、 设 常数 a 使 方 程 sinx ?

3 cos x ? a 在 闭 区 间 ?0, 2 ? ? 上 恰 有 三个 解 x1 , x2 , x3 , 则

x1 ? x 2 ? x 3 ? ________ .
【知识点】三角函数图像及其应用 【考查能力】主要考察学生对三角函数图像的画法及其应用图像解决问题的能力 【思路方法】 a ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? 此时可解出 x1 ? 0, x 2 ?

? ?

??

? , x ? ?0, 2? ? ,由图像可知 a ? 3 3?
7? 3

?
3

, x3 ? 2? , ? 答案为

【得分点】正确得全分,错误得 0 分

13、某游戏的得分为 1, 2,3, 4,5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分。若 E ?? ? ? 4.2 ,则 小白得 5 分的概率至少为_____________. 【知识点】随机变量的概念,不等式 【考查能力】本题主要学生对随机变量的概念,不等式的综合应用的能力 【思路方法】设随机变量 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

p1

p2

p3

p4

p5

则?

?

p1 ? p2 ? p3 ? p4 ? p5 ? 1

? p1 ? 2 p2 ? 3 p3 ? 4 p4 ? 5 p5 ? 4.2

由 4.2 ? 5 p5 ? p1 ? 2 p2 ? 3 p3 ? 4 p4 ? 4 ? p1 ? p2 ? p3 ? p4 ? ? 4 ?1 ? p5 ? , 解得 p5 ? 0.2 , 即小白得 5 分的概率至少为 0.2 . 【得分点】正确得全分,错误得 0 分
2 14、 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y , 直线 l : x ? 6 。 若对于点 A ? m,0 ? , 存在 C 上的点 P 和 l 上的

点 Q ,使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为________________. 【知识点】曲线的画法,向量的应用 【考查能力】本题主要考察学生对曲线的画法及向量在解析几何中的应用 【思路方法】将曲线 C 的方程两边平方结合 x 非正,可知曲线 C 为以原点为圆心、以 2 为 半径的左半圆,又 AP ? AQ ? 0 可知 A 为线段 PQ 的中点,结合图像可知 m ? ?2,3? 【得分点】正确得全分,错误得 0 分

解析: 【知识点】不等式的性质、四种条件概念 【考查能力】本题主要考查了学生对于不等式的性质,四种条件的判断的能力. 【思路方法】举特殊值: 如a ? 1, b ? 5, 则a ? b ? 6 ? 4, 但a ? 1 ? 2所以a ? b ? 4 推不出

a ? 2且b ? 2

a ? 2且b ? 2, 则有不等式同向相加性 可知a ? b ? 4成立 ,故选 B
【得分点】正确得全分,错误得 0 分

解析: 【知识点】空间向量的坐标表示及运算 【考查能力】本题主要考查了学生利用空间向量解决立体几何的能力. 【思路方法】 以 A 为原点,以正四棱柱的 A 点出发的三条棱为 x、y、z 轴建立空间右手直角坐标系 其中以 AB 为 z 轴,则 AB ? (0, 0, 1), AP i ? (m, n,1),? AB ? AP i ? 1, 故选A 【得分点】正确得全分,错误得 0 分

解析: 【知识点】用行列式解二元一次线性方程组 【考查能力】本题主要考查学生用行列式的思想判断二元一次线性方程组解的个数的能力. 【思路方法】因为

所以 b1 ? ka1 ? 1, b2 ? ka2 ? 1, 其中a1 ? a2

D?

a1 a2

b1 b2

? a1 ? b2 ? a 2 ? b1 ? a1 (ka2 ? 1) ? a 2 (ka1 ? 1) ? a1 ? a 2 ? 0 ,故选 B

【得分点】正确得全分,错误得 0 分

解析: 【知识点】分段函数、函数图像变换、值域 【考查能力】本题主要考查学生对分段函数、函数图像变换、值域综合分析的能力. 【思路方法】采用排除法 当x ? 0时,f ( x) ? ( x ? a) 2 . f (0)最小,结合图像可知 a?0

成立,可排除 C,故应选D 故可排除 A、B。又当 当a ? 0时,结合图像可知显然
【得分点】正确得全分,错误得 0 分

19.

20.

21.

22.

23.


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