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12.3 几何概型


1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或________)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称为________________. 2.几何概型中,事件 A 的概率的计算公式 P(A)=________________________________________________________________________. 3.几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有________________; (2)等可能性:每个结果的发生具有________________. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机 M 数的个数 M 和总的随机数个数 N;③计算频率 fn(A)= 作为所求概率的近似值. N 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( )

(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每 一点被取到的机会相等.( ) )

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( 1 (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 P= .( 9 )

)

1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 D.1

)

1 1 x+ ?≤1”发生的概率 2.(2015· 山东)在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“-1≤log ? 2? 2? 为( 3 A. 4 1 C. 3 ) 2 B. 3 1 D. 4

3.(教材改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影 部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )

4.(2017· 南昌月考)一个边长为 3 πcm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为 2cm 的圆孔, 一只小虫在木板的一个面内随机地爬行, 则小虫恰在离四个顶点的距离都大于 2cm 的区域内 的概率等于________. 5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是________.

题型一 与长度、角度有关的几何概型 例1 (1)(2016· 全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为

40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( 7 A. 10 3 C. 8 5 B. 8 3 D. 10

)

π π 1 (2)(2017· 太原调研)在区间[- , ]上随机取一个数 x,则 cosx 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 ________. (3)如图所示,在△ABC 中,∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.

引申探究 1 3 1.本例(2)中,若将“cosx 的值介于 0 到 ”改为“cosx 的值介于 0 到 ”,则概率如何? 2 2

2. 本例(3)中, 若将“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”, 求 BM<1 的概率.

思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度), 然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度 或角度). (1)(2016· 全国乙卷)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4

(2) 已知集合 A = {x| - 1<x<5} , B = ?x?
? ?

? ?

? ?x-2>0 ? ? ,在集合 A 中任取一个元素 x ,则事件 ?3-x ? ?

“x∈(A∩B)”的概率是________. 题型二 与面积有关的几何概型 命题点 1 与平面图形面积有关的问题 例 2 (2016· 全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1,x2,?,xn,y1,y2,?,yn,构成 n 个数对(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随 机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为( 4n A. m 4m C. n 2n B. m 2m D. n )

命题点 2 与线性规划知识交汇命题的问题 x≤0, ? ? 例 3 (2016· 武汉模拟 ) 由不等式组 ?y≥0, ? ?y-x-2≤0

确定的平面区域记为 Ω1 ,由不等式组

?x+y≤1, ? ? 确定的平面区域记为 Ω2,若在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为 ? ?x+y≥-2

________. 命题点 3 与定积分交汇命题的问题 例4 (2015· 福建)如图, 点 A 的坐标为(1,0), 点 C 的坐标为(2,4), 函数 f(x)=x2.若在矩形 ABCD

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________.

思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个 变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.

x-2y+2≥0, ? ? (1)(2016· 昌平模拟)设不等式组?x≤4, ? ?y≥-2

表示的平面区域为 D.在区域 D

内随机取一个点,则此点到直线 y+2=0 的距离大于 2 的概率是( 4 A. 13 8 C. 25 5 B. 13 9 D. 25

)

(2)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的 概率为________.

题型三 与体积有关的几何概型 例5 (1)(2016· 贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,

若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,则称其为“安全飞行”, 则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 1 1 1 3 A. B. C. D. 8 6 27 8 (2)已知正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 4, 高为 3, 在正三棱锥内任取一点 P, 使得 VP—ABC< VS—ABC 的概率是( 7 3 1 1 A. B. C. D. 8 4 2 4 思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空 间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求. ) 1 2 )

(2016· 哈尔滨模拟)在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P, 则三棱 V 锥 S-APC 的体积大于 的概率是________. 3

16.几何概型中的“测度”

典例 (1)在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90° ,在直角边 BC 上任取一点 M,则∠CAM<30° 的概 率是________. 1 (2)在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 的概率为( 2 1 A. 4 3 C. 4 错解展示 解析 (1)∵∠C=90° ,∠CAM=30° , 30 1 ∴所求概率为 = . 90 3 1 1 (2)两点之间线段长为 时,占长为 1 的线段的一半,故所求概率为 . 2 2 1 答案 (1) (2)B 3 现场纠错: 1 B. 2 7 D. 8 )

纠错心得:

提醒:完成作业 第十二章

§ 12.3

答案精析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.长度 面积 体积 几何概型 2. 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

3.(1)无限多个 (2)等可能性 思考辨析 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 考点自测 1.B 2.A 3.A 1 4. 2 5. π 4 (6)×

题型分类 深度剖析 例1 (1)B 1 (2) 3

40-15 5 解析 (1)至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 = ,故选 B. 40 8 π π (2)当- ≤x≤ 时, 2 2 1 由 0≤cosx≤ , 2 π π π π 得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 3 3 2 1 根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 (3)解 因为∠B=60° ,∠C=45° ,所以∠BAC=75° . 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60° , AD 所以 BD= =1,∠BAD=30° . tan60° 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD 时 事件 N 发生. 由几何概型的概率公式, 30° 2 得 P(N)= = . 75° 5 引申探究 π π 1.解 当- ≤x≤ 时, 2 2

由 0≤cosx≤

3 , 2

π π π π 得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 6 6 2 2 根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 2.解 依题意知 BC=BD+DC=1+ 3, P(BM<1)= 3-1 1 = . 2 1+ 3

1 跟踪训练 1 (1)B (2) 6 例2 C 例3 例4 5 12 2 (2) 2 e 7 8

跟踪训练 2 (1)D 例5 (1)C (2)A 2 3

跟踪训练 3

V 解析 如图, 三棱锥 S-ABC 与三棱锥 S-APC 的高相同, 要使三棱锥 S-APC 的体积大于 , 3 1 只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的 . 3

V 假设点 P′是线段 AB 靠近点 A 的三等分点,记事件 M 为“三棱锥 S-APC 的体积大于 ”, 3 则事件 M 发生的区域是线段 P′B. P′B 2 从而 P(M)= = . AB 3 现场纠错系列 现场纠错 (1) 3 3 (2)C

解析 (1)因为点 M 在直角边 BC 上是等可能出现的, 所以“测度”是长度. 设直角边长为 a,

3 a 3 3 则所求概率为 = . a 3 (2)设任取两点所表示的数分别为 x,y, 则 0≤x≤1,且 0≤y≤1. 1 由题意知|x-y|< ,所以所求概率为 2 1 1 1 1-2× × × 2 2 2 3 P= = . 1 4 纠错心得 (1)在线段上取点,则点在线段上等可能出现;在角内作射线,则射线在角内的分 布等可能. (2)两个变量在某个范围内取值,对应的“测度”是面积.


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