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3-5第五节


第五节

三角恒等变换

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
?π ? 5 1.已知 α 为锐角,cosα= 5 ,则 tan?4+2α?=( ? ?

)

A.-3 4 C.-3

1 B.-7 D.-7

2×2 2 5 4 解析 依题意得,sinα= 5 ,故 tanα=2,tan2α= =-3, 1-4 4 1-3 ?π ? 1 所以 tan?4+2α?= =- 4 7. ? ? 1+3 答案 B )

π? π? ? ? 3 2.已知 cos?x-6?=- 3 ,则 cosx+cos?x-3?的值是( ? ? ? ? 2 3 A.- 3 C.-1 解析 = 3? 2 3 B.± 3 D.± 1

π? ? 1 3 3 3 cosx + cos ?x-3? = cosx + 2 cosx + 2 sinx = 2 cosx + 2 sinx ? ?

? 3 ? π? ? 1 ?= 3cos?x- ?=-1. cos x + sin x 6? 2 ? ? 2 ?

答案

C )

2 3.已知 cos2θ= 3 ,则 sin4θ+cos4θ 的值为( 13 A.18
1

11 B.18

7 C.9 解析

D.-1 2 7 ∵ cos2θ = 3 , ∴ sin22θ = 9 , ∴ sin4θ + cos4θ = 1 -

1 11 2sin2θcos2θ=1-2(sin2θ)2=18. 答案 B )

π 4.已知 α+β=4,则(1+tanα)(1+tanβ)的值是( A.-1 C.2 B.1 D.4

tanα+tanβ π 解析 ∵α+β=4,tan(α+β)= =1, 1-tanαtanβ ∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ. ∴(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ =1+1-tanαtanβ+tanαtanβ=2. 答案 5. C

(2014· 成都诊断检测)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α,β 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它们的终边分
?3 4? ? 4 3? 别与单位圆相交于 A,B 两点,若点 A, B 的坐标为?5,5?和?-5,5?, ? ? ? ?

则 cos(α+β)的值为(

)

2

24 A.-25 C.0 解析

7 B.-25 24 D.25

3 4 4 3 cosα = 5 , sinα = 5 , cosβ =- 5 , sinβ = 5 , cos(α + β) =

3 4 43 24 cosαcosβ-sinαsinβ=5· (-5)-5· =- 5 25.选 A. 答案 A

π? ? sin?α-4? ? ? 6.若 cos2α =- 2,则 sinα+cosα 的值为( 7 A.- 2 1 C.2 1 B.-2 7 D. 2

)

2 解析 ∵ 2 (sinα-cosα)=- 2(cos2α-sin2α), 1 ∴sinα+cosα=2. 答案 C

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) π? 2 ? 7.若 tan?α+4?=5,则 tanα=________.
? ?

π? tanα+1 2 ? 解析 ∵tan?α+4?= = , ? ? 1-tanα 5 ∴5tanα+5=2-2tanα. 3 ∴7tanα=-3,∴tanα=-7. 答案 3 -7

3

8.(2013· 江西卷)函数 y=sin2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为 ________. 解析 y=sin2x+2 3sin2x=sin2x- 3cos2x+ 3

π =2sin(2x-3)+ 3,所以 T=π. 答案 π

9.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________. 解析 sinφ= f(x)= sinx- 2cosx= 5( 1 2 sinx- cosx)= 5sin(x- φ)而 5 5

2 1 π ,cosφ= ,当 x-φ=2+2kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值 5, 5 5

π π 即 θ=φ+2+2kπ 时,f(x)取最大值.cosθ=cos(φ+2+2kπ)=-sinφ= - 2 2 5 =- 5 . 5 答案 2 5 - 5

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) θ 2cos22+sinθ-1 3π 10.已知 tan2θ=4(2<θ<π),求 π 的值. 2cos?θ+4? 解 ∵tan2θ= 2tanθ 3 2 = , 1-tan θ 4

1 ∴tanθ=-3 或 tanθ=3. π 又 θ∈(2,π),∴tanθ=-3.

4



θ 2cos22+sinθ-1 π 2cos?θ+4? 1-3 1 =-2. 1+3

cosθ+sinθ 1+tanθ = = cosθ-sinθ 1-tanθ



π? ? 11.已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期
? ?

为 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? ? 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,
? ? ? ?

5 ? 16 ? f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值.
? ?



2π 1 (1)∵T=10π= ω ,∴ω=5.
? ?

π? ?1 (2)由(1)得 f(x)=2cos?5x+6?, 5π? π? ? ? 6 ∵f?5α+ 3 ?=2cos?α+2?=-2sinα=-5.
? ? ? ?

3 4 ∴sinα=5,cosα=5. 5π? ? 16 ∵f?5β- 6 ?=2cosβ=17,
? ?

8 15 ∴cosβ=17,sinβ=17. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85. 12.(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2.

5

(Ⅰ)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (Ⅱ)设 cosAcosB= 5 , = 2 cos α 5 ,求 tanα 的值. 解 (Ⅰ)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有 cosC= 2ab = 2ab =- 2 . 3π 故 C= 4 . (Ⅱ)由题意得 ?sinαsinA-cosαcosA??sinαsinB-cosαcosB? 2 = 2 cos α 5. 2 因此(tanαsinA-cosA)(tanαsinB-cosB)= 5 , 2 tan2αsinAsinB - tanα(sinAcosB + cosAsinB) + cosAcosB = 5 , 2 tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB= 5 .① 3π π 2 因为 C= 4 ,A+B=4,所以 sin(A+B)= 2 , 3 2 2 因为 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,即 5 -sinAsinB= 2 , 3 2 2 2 解得 sinAsinB= 5 - 2 = 10 . 由①得 tan2α-5tanα+4=0,解得 tanα=1 或 tanα=4.

6


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