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对一道数学竞赛命题的改进


Vol. 6 , , No 4 Dec . , 2003

高等数学研究 STUD ES I N C0 LLECE MATHEMAT CS I I

25

对一道数学竞赛命题的改进
朱晓峰
摘 要 (北京印刷学院基础部 北京 102600 )

*

北京市第

4 届大学生数学竞赛试题第9 题, 可以删去冗余条件而得到改进. 数学竞赛 命题 零点 罗尔定理 中图分类号 0172. 2

关键词

北京市非数学类的大学生数学竞赛已连续地举行了 14 届, 参赛人数逐年增加, 参赛队伍也不 断壮大。通过参加这项比赛, 学生在数学方面的技能得到了很好的锻炼和提高。目前, 这项活动深 受高校学生的喜爱, 各个高校也都非常关注, 社会影响越来越大。 供大家讨论: 本人对北京市第4 届大学生数学竞赛试题中的第9 题试作了一些改进, ( 在 0 ! 上连续,( , ) 在 0 ! 内可导, 且 竞赛命题 设f x)[ , ]
!
0

( cos d ( si d 求证: 存在" ( , ) ( =0 。 / 0 ! 使得f ") f x) x x = f x)n x x =0 ,
0

!

让我们先看看该题 (以下简称 “竞赛命题” 的解答。为了叙述方便, ) 我们将该解答称为 ( 明法。 证明 因为在 0 , ) si n x> 。所以条件 ( ! 内 0
!
0

) 证

( si d ( 在 0 ! 内不可 f x)nx x =0 意味着 f x) ( , )

( 在 0 ! 内的零点不止一个。 用反证法证明之。 能恒正或恒负, 因而必有零点。 再证f x) ( , ) 设# ( , ) f x) 则 ( si ( 恒正或恒负 (除 x= # 点)从而 , 0 ! 是 ( 的唯一零点, f x)n x- #)
!
0

( si ( 但由假设条件 d f x)n x -#)x #0 。
!
0

( si ( ( si d ( cos d d f x)n x -#)x =cos# f x)nx x -si n# f x) x x =0 ,
0 0

!

!

这一矛盾表明, x)( , ) ( 在 0 ! 内的零点不止一个。于是由罗尔定理推出 f x) ( , ) ( 在 0 ! 内有 / f 零点。 从证明的过程可看出, 条件
!
0

( si d ( 有两个不同的零点。 f x)nx x =0 就是为了确保f x)

众所周知, 罗尔定理的条件仅要求函数在区间端点的值相等即可 (这里是指在闭区间上连续, 在开区间内可导的函数)而不必一定要求函数在区间的端点值为零。既然如此, “竞赛命题” , 那么 中的 f x)n x x =0 是否可以去掉呢? ( si d 试想, “竞赛命题” 如果 中没有这个条件 f x)nx x = ( si d
0 0

!

!

只是不能肯定函数f x) ( , )内有两个零点, ( 在0 ! 但这并不意味着函数 f x)没有两个等值点 ( 0, (即在两个点处的函数值相等) 如果我们能利用其它条件证明函数 f x)在 0 , )内有两个等值 。 ( ( ! ( 在 0 ! 内有零点吗! 这使我们感到 “竞赛命题”中的条件 f x)n x x ( si d 点, 不是也能推出f x) ( , ) /
0

!

=0 可能是多余的。
* 收稿日期: 2003 -06 -09

26

高等数学研究
! !

2003 年12 月

事实上, 如果函数f x) ( 满足条件 f x)n x x = f x) x x =0 , " 和" 是上述证明 ( si d ( cos d 而 1 2 0 0 方法 。) ( 中找出的f x) ( 的两个零点, 那么我们对f x) ( 做上下平移后, 它的导函数f x) ( 仍然存 / 在零点, 但它已经不会满足上述条件了。 通过上述分析, 我们可以推测下列命题是成立的。 命题 若f x) [ , ] ( 在 0 ! 上连续,( , ) 在 0 ! 内可导, f x) x x =0 , 且 ( cos d 则存在" G 0 , ) ( ! ,
!

J

J

使f ") ( =0 / 下面我们用两种方法证明该命题是正确的。 方法一:

J
0

仔细观察上述的分析过程, 我们可以得到一定的启示。 显然f x) ( 只有两种可能: ) f x)n x x =0 ; ) f x)n x x 羊0 。 ( ( si d ( ( si d 1 2

J
0

!

J
0

!

证明 ( ) ( si d 采用 证明方法即可; 1 若 f x)n x x =0 , (。)

J
0

!

! , ( si d 令 ( =( ~ 则 ( 在0 ( ) f x)n x x 羊0 ,不妨设 f x)n x x = C。 F x) f x) C , F x) [ , 2 若 ( si d 2 0 0 上连续,( , ) 在 0 ! 内可导, 且有 !] ! ! ! C ( si d ( si d 同时也有 si n x x = C ~C =0 , F x)n x x = f x)n x x ~ d 0 0 0 2

J

!

J

J J J C ( cos d JF x) x x = f x) x x ~ 2 cosx =0 。 J( cos d J d
! ! !
0 0 0

再采用 。) ( 证明方法可得, 存在"G 0 , )使得 F ") 0 , f ") 0 。 ( ! , ( ( / = 即/ = 方法二: 由于条件中的被积函数是两个函数乘积, cosx 在 0 , ) (! , ) 而 ( ! 和 这 ! 分别为正和负, 2 2 与引理2 基本相符。下面我们用广义中值定理证明上述命题。 分析 证明

! , 因为当0 二x二! , cosx> , 有 存在" G 0 , )使得 0 所以由引理知, 1 ( 2 2

J
0

! 2

( cos d ( 1 ( 1 ; d f x) x x =f " ) cosx x =f " )

J
0

! 2

有 存在" G ! , )使得 当! 二x二! 时, cosx二 , 0 所以引理知, ! , 2 ( 2 2 ( cos d ( ) ( 。 d Jf x) x x =f "Jcosx x =~f " )
! 2
2

!

!

! 2

2

于是有 ( 1 ~( 2 = f" ) f" ) ( cos d ( cos d Jf x) x x Jf x) x x = f x) x x =0 , J( cos d
0

! 2

!

!

! 2

0

所以f " ) f " ) ( 1 = ( 2 。又因为f x)[ 1 ,2 ] ( 在 " " 上连续,( 1 ,2 ) 在 " " 内可导, 所以由罗尔定理知, 存在" ( 1 " c0 ! , ( G " ,2 )( , )使得 / = f ") 0 。 “竞赛命题” 的证明方法构思很好, 是一类典型的构造性解题方法, 对开阔学生的解题思路很有 启迪作用。若进一步深入研究, 对有些题的条件还可以改进, 可以使命题变得更新、 更巧妙。

对一道数学竞赛命题的改进
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 朱晓峰 北京印刷学院基础部,北京,102600 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2003,6(4) 2次

本文读者也读过(10条) 1. 第十二届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲、乙组试题(附答案)[期刊论文]-高等数学研究 2001,4(4) 2. 倪仁兴.NI Ren-xing 关于一道高等数学竞赛试题的探索与拓广[期刊论文]-大学数学2008,24(5) 3. 时统业 编制数学新题的初步尝试[期刊论文]-高等数学研究2008,11(3) 4. 马尔迈.潘军.MA Er-mai.PAN Jun 利用不变量求数列极限[期刊论文]-浙江海洋学院学报(自然科学版 )2006,25(1) 5. 钟辰 一道美国大学生数学竞赛题的推广[期刊论文]-大学数学2010,26(4) 6. 林明华.张婷 两类积分不等式的一个应用[期刊论文]-高等数学研究2008,11(6) 7. 叶正麟 陕西省第四次大学生高等数学竞赛揭晓[期刊论文]-高等数学研究2001,4(4) 8. 吴耀强 对一道高等数学竞赛试题解法的商榷[期刊论文]-河南教育学院学报(自然科学版) 2007,16(4) 9. 葛喜芳.陈君 2009年浙江省高等数学(微积分)文专组竞赛试题评析[期刊论文]-职业技术2010(6) 10. 马尔迈 几道赛题的一题多解[期刊论文]-高等数学研究2005,8(6)

引证文献(2条) 1.朱晓峰.田益民 数学软件在数学教学中的应用-数学实验一例[期刊论文]-数学的实践与认识 2009(13) 2.朱晓峰.姜玉英 应用数学软件进行数学分析教学[期刊论文]-北京印刷学院学报 2005(3)

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