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3.3.2函数的极值与导数


3.3.2函数的极 值与导数
东江中学 江南新

第三章

导数及其应用

一、复习导入------复习旧课
1. 求出函数 f ( x) ? x ? 3x 有没搞错, ? 24 x ? 20 的单调区间
3 2
2 怎么这里没有填上? ? ? 3( x ? 4)( x ? 2)

f ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 解

你记住 令 f ?( x ) ? 0, 得临界点 x1 ? ? 4, x2 ? 2 了吗?
(-∞,-4) -4 0 (-4,2) 2 0 (2,+∞)

区间 f ’(x) f(x)

+

-

+

f(x) 在(-∞, -4)、 -2)>0 (2,+∞ )内单调递增, f ’(x)>0 (x+4)(x x<-4 或x>2 f(x) 在(-4, 2)内单调递减。 f ’(x)<0 (x+4)(x -2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

一、复习导入------导入新课
还记得高台跳水的例子吗? h 最高点

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

一、复习导入----------导入新课
2.跳水运动员在最高处附近的情况:

在 (1) t=a 当 附近 t=a 时运动员距水面高度最大, , 先增后减, h ’(x)先正后负, (2) 当 t<a 时f(x) h(t) 的单调性是怎样的呢? 导数的符号有什么变化规律? 对于一般函数是否也有同样的性质吗?
h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 t
单调递增 h ’(t)>0

(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢? hh(t) ’(x) 在此点的导数是多少呢? 连续变化,于是有h ’(a)=0.f(a)最大。
h ’(a)=0 单调递减 h ’(t)<0

o a

+ t<a

- t=a

t>a

一、复习导入------导入新课
3.(1) 如图,y=f(x)在c、d等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 关系?导数值呢?导数符号呢? y

探究

cd

e

f o g

h

I

j

x

一、复习导入------导入新课

3.(2) 如图,y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢? f ’(b)=0 极大点 y f ?( x) >0 f ?( x)<0

探究

f ?( x) <0 a
f ’(a)=0

f ?( x) >0
o 极小值点 b

x y-=f(x)

二、讲授新课-----了解概念
什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值?
x f ’(x) <a =a 0 >a +

小结

极大值点和极小值点 极大值和极小值 单调 单调 统称为极值点 f(x) 极小值 统称为极值 递减 递增
x <b + =b 0 极大值 >b -

f(b) y

a
o b

f ’(x) f(x)

x y=f(x)

单调 递增

单调 f(a) 递减

定义
一般地, 设函数

y
f ?(a) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0

?x ? 0
f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(b ? ?x) ? 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近 的所有的点, 都有

f ?(b ? ?x) ? 0
3

我们就说 f (x0)是 f (x)

f ( x) ? f ( x0 )
-2

-1

1

2

f ?(b) ? 0
4

x

5

O

a

b

的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若

小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值.

f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极

y

f ( x3 )

f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

总结
? 1.理解极值概念时需注意的几点 ? (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的. ? (2)极值点是函数定义域内的点,而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点. ? (3) 若 f(x) 在 [a , b] 内有极值,那么 f(x) 在 [a , b] 内绝不是单调函数,即在定义域区间上 的单调函数没有极值.

? (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值.(如图(1))

? (5)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点.

? 2.导数为0的点不一定是极值点.

练习1
下图是导函数 y

y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) y ? f ?( x)
x3 x x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x6

b

探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?
y y

分析y?x3
3

y?f(x)

由f ( x ) ? x , 得f ' ( x ) ? 3 x ,
2

O

x
a

在x ? 0处,f( ' 0) ? 0,
x2 x

O

x1

x3 b ? 0是极值点吗?

x

f ?(x1)=0

f ?(x2)=0 f ?(x3)=0

结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f ?(x)=0

思考;若 f ?(x )=0,则x0是否为极值点?
0

思考
?若寻找可导函数极值点 ,

y f (x)?x3

可否只由f?(x)=0求得即可? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?
不是该函数的极值点.

O

x

f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0,而x =0
f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点

f?(x0) =0

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值

极小值

即: 极值点两侧单调性互异

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f?(x) f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

例题4图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3

-2 -4/3

o

2
+ x

1 解:f(x)= ? x, 所以x ? 0 x 1 x2 ?1 f '( x) ? ? 2 ? 1 ? 2 , f '( x) ? 0时,x ? ?1 x x 当x变化时,f'(x),f(x)变化如下表

1 y? ?x x

导函数的正负是 交替出现的吗?

不是

x
f '( x)

X<-1

+

-1 0
极大值

(-1,0) (0,1) -

1 0
极小值

X>1 +

f ( x)

所以,当x=-1是,函数的极大值是-2,当x=1时,函数的 极小值是2

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 +

+

求导—求极点—列表—求极值

x0

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (3) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

思考
y
+ + o

(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗? Y=x3
例如:f(x)=x3

f ’(x)=3x2≥0
f ’(0)=3×02=0 x x x<0 f ’(x) + f(x) X=0 X>0 0 +

若f(x0) 是极值,则f ’(x0)=0。 反之, f ’(x0)=0,f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x) 在这点取得极值的 必要条件。

思考
y

(2).极大值一定比极小值大吗?
y ? f ( x)

a

x1

o

极 大 值
x2
x3

x4

极 小 值

极 小 值
x5 x6

b

x

结论:不一定

极值是函数的局部性概念

单调性的判别法 单 调 1.求导,2.求临界点 性 3. 列表,4.单调性

y

y ? f ( x)
A

B

y

A

y ? f ( x)
B

o

a

b

x

o

a

f ’(x)>0单调弟增
y

f ’(x)<0单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

单调区间的求法
o
x0

函数极值的定义

x

o

x0

x

函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 求极值的步骤:1.求导,2.求极点,3.列表,4.求极值
y y

函数极值的求法

? ?
o
x0

?
x

?
x0

小 结

o

x

设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0 .

必要条件

3 2 思考:已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 2 x 在 x ? ?2, x ? 1 处取得极值。

(1)求函数 f ? x ? 的解析式 (2)求函数 f ? x ?的单调区间
解:(1)f ' ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? 2

? f ( x)在x ? ?2, x ? 1取得极值,
1 1 解得:a ? , b ? 3 2

?12a ? 4b ? 2 ? 0 ? f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ? ? 3a ? 2b ? 2 ? 0

1 3 1 2 ? f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 2 (2) ? f ' ? x ? ? x 2 ? x ? 2 由f ' ? x ? ? 0
由f ' ? x ? ? 0

得:x ? 1或x ? ?2

? f ( x)的单调递增区间为: ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ?

得: ? 2 ? x ?1

? f ? x ?的单调递减区间为: (?2,1)


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