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四川省绵阳中学2013-2014学年高二上学期第三次月考试题 数学(文) Word版无答案


绵阳中学 2012 级高二第三次月考

一、选择题(10×5 分=50 分) 1.椭圆 ? A.3

? x ? 3cos ? (? 为参数 ) 的长轴长为( ? y ? 5sin ?
B.5

) C.6 D.10

2.在空间坐标系中的点 M ( x, y, z ) ,若它的柱坐标为 (

3, A. (3,

?
3

,3) ,则它的球坐标为(
D. (3 2,



? ?

, ) 3 4

B. (3 2,

? ?

, ) 3 4

C. (3,

? ?

, ) 4 3

? ?

, ) 4 3

3.在同一直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 的方程为(
2

? x? ? 5 x 2 2 后,曲线 C 变为曲线 x? ? y? ? 1 ,则曲线 C y? ? 3 y ?


2

A. 25 x ? 9 y ? 1

B. 9 x ? 25 y ? 1
2 2

C. 25 x ? 9 y ? 1

D.

x2 y 2 ? ?1 25 9

4.二进制数 1101(2) 化为五进制数为( A. 32(5) B. 23(5)

) C. 21(5) D. 12(5) )

2 2 5.设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点,Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ min 为(

A.6 6.双曲线 C : A. y ? ?

B.4

C.3

D.2 )

x2 y 2 5 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
1 x 4
B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

7.某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数 据的茎叶图如右,以组距为 5 将数据分组成 [0,5),[5,10),… ,[30,35)

,[35, 40] 时所作的频率分布直方图是(



8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S ? (
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1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 B. 1 ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 C. 1 ? ? ? ? 2 3 4 5 1 1 1 1 D. 1 ? ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
A. 1 ? 9.已知点 A(2, 0) ,抛物线 C : x ? 4 y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物
2

N
K ? 1, S ? 0,T ? 1

T?

T K

S ? S ?T
K ? K ?1

K ? N?
线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则 FM : MN ? ( A. 2 : 5 C. 1: 5 B. 1: 2 D. 1: 3 )

S

10.在区间 [0,1] 上随机取三个数 x, z, y, 事件 A ? ( x, y, z ) x ? y ? z ? 1 则 P ( A) ?(
2 2 2

?

?



A.

1 8

B.

1 4

C.

?
6

D.

?
8

二、填空题(5×5 分=25 分) 11.根据右列算法语句,当输入 x ? 60 时,输出 y 的值 为
2


x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

INPUT IF ELSE

x x ? ? 50 THEN y ? 0.5 * x

12.已知抛物线 y ? 8 x 的准线过双曲线

的 一 个 焦 点 , 且 双 曲 线的 离 心 率 为 2 ,则 双 曲线 方 程 为 。 13.柜子里有 3 双不同的鞋,随机取出 2 只,则取出的鞋一 只是左脚的,一只是右脚的,且不成对的概率为 。

y ? 25 ? 0.6*( x ? 50)
END IF PRINT y

x2 y 2 14.椭圆 T : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,直线 a b
y ? 3( x ? c) 与椭圆交于 M,满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则椭圆离心率为


? x ? 1 ? 2t ? x ? cos ? ? 15.已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C : ? ( ? 为参数) ,直线 l 与曲线 C 交 ? y ? ?1 ? 2 3t ? y ? sin ? ?
于 A 、 B 两点,若点 P 的坐标为 (1, ?1) ,则 | PA |? PB ?| | 。

三、解答题(共 45 分) 16.(10 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
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分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概 率。

17.(11 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C1 , 直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

?
4

)?2 2。

?x ? t3 ? a ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 ,C2 交点连线的中点,直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 , ? y ? t ?1 ? 2
(t ? R 为参数 ) ,求 a,b。

18.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上。
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(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。

19.(12 分)已知△ABC 中, B (?2, 0) , C (2, 0) ,△ABC 的圆长为 12,动点 A 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)设 P、Q 为 E 上两点,OP ? OQ ? 0 ,过原点 O 作直线 PQ 的垂线,垂足为 M,证明 OM 为定值。

??? ???? ?

绵阳中学 2012 级高二第三次月考 文科数学参考答案
一、选择题(10×5 分=50 分)
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1.D

2.D

3.A

4.B

5.B

6.C

7.A

8.B

9.C

10.C

二、填空题(5×5 分=25 分) 11.31 12. x ?
2

y2 ?1 3

13.

3 5

14. 3 ? 1

15.1

三、解答题(45 分) 16.解: (1)由频数分布表得苹果重量在 [90,95) 的频数为 20,而样本个数为 50, 所以频率为

0.2 ? 5 ? 1 (1 个)…3 分

20 4 ? 0.4 ……3 分(2)抽取的比例为 ? 0.2 ,所以重量在 [80,85) 应抽 50 5 ? 15

(3) 抽出的 4 个苹果中, 重量在 [80,85) 的有 1 个记为 a, 重量在 [95,100) 内有 3 个, 记为 b, c,d,从中任取 2 个,有 (a, b) , (a, c) , (a, d ) , (b, c) , (b, d ) , (c, d ) 共 6 种,其中,重 量 在 [80,85) 和 [95,100) 中 各 有 一 个 有 (a, b) , (a, c) , (a, d ) 共 3 种 , ∴ 所 求 的 概 率

p?

3 1 ? ………4 分 6 2
2 2

17.解: (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 , 直线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 …2 分由 ? 分 ∴ C1 与 C2 交点的极坐标为 (4,

?x ? y ? 4 ? 0 ? x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

得?

? x1 ? 0 ? x2 ? 2 , …2 ? ? y1 ? 4 ? y2 ? 2

?

) , (2 2, ) …2 分 2 4

?

(2)(1) P 点与 Q 点的直角坐标分别为 (0, 2) , 由 知, ∴直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 … (1,3) ,
? 2 分将参数方程化为普通方程为: b x ? y ? ab ? 1 ? 0 ,∴ ? 2 ? 2 2 ab ?b ?1

…2 分∴ a ? ?1 ,b ? 2 …1

?? ? 1 ? 2 ? 2 ?

分 18.解: (1)由题设,圆心 C 是直线 y ? 2 x ? 4 和 y ? x ? 1 的交点

…………2 分

解得点 C (3, 2) ,于是切线的斜率必存在,设过 A(0,3) 的圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即

kx ? y ? 3 ? 0

…………1 分

则:

3k ? 1 k ?1
2

? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ?

3 4

……2 分

∴所求切线方程为 y ? 3 或 y ? ?

3 x ? 3 …………1 分 4

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(2) ∵圆心在直线 y ? 2 x ? 4 上, ∴圆 C 的方程为 ( x ? a ) 2 ? ( y ? 2a ? 4) 2 ? 1 , 设点 M ( x, y ) ,
2 2 ∵ MA ? 2 MO ,∴ x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 ,化简得: x ? ( y ? 1) ? 4

……2 分

∴点 M 在以 D (0, ?1) 为圆心, 为半径的圆上, 2 而点 M 又在圆 C 上, ∴圆 C 与圆 D 有公共点 M, ∴两圆相交或相切,∴ 2 ? 1 ? CD ? 2 ? 1 ,∴ 1 ? ∴ 1 ? a 2 ? 4a 2 ? 12a ? 9 ? 9 ,即 ?

a 2 ? (2a ? 3) 2 ? 3

………2 分

?5a 2 ? 12a ? 0 ① 12 ? ,解①式得 0 ? a ? ,解②式得 2 5 ?5a ? 12a ? 8 ? 0 ② ?
…………2 分

a ? R ,∴a 的取值范围是 [0,

12 ] 5

19.解: (1)∵ AB ? AC ? BC ? 12 , BC ? 4 ,∴ AB ? AC ? 8 ? 4 ,∴A 的轨迹为椭 圆,且 2a ? 8 , 2c ? 4 ,∴ a 2 ? 16 , c 2 ? 4 , b 2 ? 12 ,∵A,B,C 不能共线,∴A 点不能

在 x 轴上,∴轨道 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ………5 分 16 12

? x ? ny ? m ? (2)设直线 PQ 的方程为 x ? ny ? m ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?16 12
得 (4n ? 3) y ? 8mny ? 4m ? 48 ? 0 ∴ y1 ? y2 ? ?
2 2 2

4m 2 ? 48 8mn , y1 ? y2 ? ……2 分 4n 2 ? 3 4n 2 ? 3

3m 2 ? 48n 2 ………1 分 4n 2 ? 3 ??? ???? ? 3m 2 ? 48n 2 4m 2 ? 48 ∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 ? y2 ? 0 ,∴ ? ? 0 ,∴ 7m 2 ? 48n 2 ? 48 ? 0 …1 2 2 4n ? 3 4n ? 3 分
∴ x1 x2 ? (ny1 ? m)(ny2 ? m) ? n 2 y1 y2 ? mn( y1 ? y2 ) ? m 2 ? ∵ OM 为点 O (0, 0) 到直线 PQ : x ? ny ? m ? 0 的距离,∴ OM ? 分 由 7 m 2 ? 48n 2 ? 48 ? 0 得 m 2 ?
?m n ?1
2
2 ,∴ OM 2 ? m …1 2

n ?1

48 2 (n ? 1) 7

…………1 分

48 2 (n ? 1) 48 2 ∴ OM ? 7 2 ,∴ OM 为定值 ? n ?1 7

…………1 分

绵阳中学 2012 级高二第三次月考
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文科数学答卷
二、填空题(4×4 分=16 分) 11. 13. 15. 三、解答题 16.(10 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) 12. 14.

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概 率。

17.(11 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C1 ,

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直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

?
4

)?2 2。

?x ? t3 ? a ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 ,C2 交点连线的中点,直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 , ? y ? t ?1 ? 2
(t ? R 为参数 ) ,求 a,b。

18.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上。

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(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。

19.(12 分)已知△ABC 中, B (?2, 0) , C (2, 0) ,△ABC 的圆长为 12,动点 A 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程;

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(2)设 P、Q 为 E 上两点,OP ? OQ ? 0 ,过原点 O 作直线 PQ 的垂线,垂足为 M,证明 OM 为定值。

??? ???? ?

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