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黑龙江省伊春二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年黑龙江省伊春二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 12 分,每题 5 分) 2 2 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣x=0},B={x|x +x=0},则集合 A∪B=() A.0 B.{0} C. ? D.{﹣1,0,1} 2. (5 分)函数 A.[0,+∞) 的值域是() B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

3. (5 分)若函数

,则 f(f(0) )=()
2

A.π

B . ﹣4

C. 0

D.3π ﹣4
2

4. (5 分)若函数 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是 () A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增

5. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的一个函数,则函数 F(x)=f(x)﹣f(﹣x)在 R 上一定 是() A.奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 6. (5 分)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是() A.y=|x| B.y=3﹣x
3.1 6 0.7

C.y=

D.y=﹣x +4

2

7. (5 分)三个数 0.7 ,0.7 ,6 3.1 6 0.7 A.0.7 <0.7 <6 6 0.7 3.1 C. 0.7 <6 <0.7

的大小关系为() 6 3.1 0.7 B. 0.7 <0.7 <6 0.7 6 3.1 D.6 <0.7 <0.7

8. (5 分)若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N?M,则() A.a≤1 B.a≥1 C.a<1 9. (5 分)若函数 f(x)与 y=( ) ﹣ 范围是() A.{x|x<0} B.{x|x<﹣ } C.{x|x> }
x

D.a>1

的图象关于 y 轴对称,则满足 f(x)>0 的实数 x

D.{x|x>1}

10. (5 分)已知函数 y=x ﹣2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的范 围是() A.0<a<1 B.0<a≤2 C.1≤a≤2 D.0≤a≤2 11. (5 分)某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来 价格相比,变化情况是() A.增加 7.84% B.减少 7.84% C.减少 9.5% D.不增不减 12. (5 分)设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,则 x?f(x)<0 的解集是() A.{x|﹣3<x<0 或 x>3} B. {x|x<﹣3 或 0<x<3} C. {x|x<﹣3 或 x>3} D.{x|﹣3<x<0 或 0<x<3}

2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若{1,2}?A?{1,2,3,4,5 },则集合 A 的个数是. 14. (5 分)函数 f(x)=a
x﹣1

﹣1(a>0 且 a≠1)恒过定点.
2

15. (5 分)若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)=. 16. (5 分)已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x,则 x<0 时,f (x)的解析式为.
2

三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=3 时,求集合 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)设 y1=a (1)y1=y2 (2)y1>y2.
2x+3

,y2=a ,其中 a>0,且 a≠1.确定 x 为何值时,有:

﹣x

19. (12 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)求定义域; (2)证明 f(x)在[1,+∞)上是增函数. 20. (12 分)设函数 f(x)与 g(x)的定义域是 x∈R 且 x≠±1,f(x)是偶函数,g(x)是奇 函数,且 f(x)+g(x)= .求:f(x)和 g(x)的解析式.

21. (12 分)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(3)=1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2. 22. (12 分)某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系是: P= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系

是 Q=﹣t+40 (0<t≤30,t∈N) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的 一天是 30 天中的哪一天?

2014-2015 学年黑龙江省伊春二中高一(上)期中数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 分,每题 5 分) 2 2 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣x=0},B={x|x +x=0},则集合 A∪B=() A.0 B.{0} C. ? D.{﹣1,0,1} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解一元二次方程化简集合 A,B,然后直接利用并集运算求解. 解答: 解:∵A={x|x ﹣x=0}={0,1}, 2 B={x|x +x=0}={﹣1,0}, 则集合 A∪B={﹣1,0,1}. 故选:D. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了一元二次方程的解法,是基础题. 2. (5 分)函数 A.[0,+∞) 的值域是() B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)
2

考点: 函数的值域. 专题: 压轴题. 分析: 本题可以由 4 的范围入手,逐步扩充出 解答: 解:∵4 >0,∴ 故选 C.
x x

的范围. .

点评: 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的值域为(0,+∞) .

x

3. (5 分)若函数

,则 f(f(0) )=()
2

A.π

B . ﹣4

C. 0

D.3π ﹣4

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式求出 f(0)=π,从而得到 f(f(0) )=f(π) ,运算求得结果.
2

解答: 解:∵函数

,则 f(0)=π,∴f(f(0) )=f(π)=3π

﹣4, 故选 D. 点评: 本题主要考查根据分段函数的解析式求函数的值,体现了转化的数学思想,属于基 础题.
2

4. (5 分)若函数 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是 () A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据 y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数,得到 a<0,b<0,对二次函数配方, 即可判断 y=ax +bx 在(0,+∞)上的单调性. 解答: 解:∵y=ax 与 y=﹣ 在(0,+∞)上都是减函数, ∴a<0,b<0, ∴y=ax +bx 的对称轴方程 x=﹣
2 2 2

<0,

∴y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 故答案 B 点评: 此题是个基础题.考查基本初等函数的单调性,考查学生熟练应用知识分析解决问 题的能力. 5. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的一个函数,则函数 F(x)=f(x)﹣f(﹣x)在 R 上一定 是() A.奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 直接用﹣x 代入计算,比较 F(x)与 F(﹣x) ,根据奇偶性的定义作出判断即可. 解答: 解:∵F(x)=f(x)﹣f(﹣x) ∴F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x) F(x)=﹣F(﹣x) ∴函数 F(x)为奇函数 故选 A 点评: 本题考查函数奇偶性的定义,将﹣x 代入计算,变形是解题的关键,属于基础题. 6. (5 分)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是() A.y=|x| B.y=3﹣x C.y= D.y=﹣x +4
2

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答时, 可以结合选项逐一进行排查,排查时充分考虑所给函数的特性:一次函数性、幂函数性、二次 函数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知: 对 A:y=|x|= ,易知在区间(0,1)上为增函数,故正确;

对 B:y=3﹣x,是一次函数,易知在区间(0,1)上为减函数,故不正确; 对 C:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0, 1)上为减函数,故不正确; 2 对 D:y=﹣x +4,为二次函数,开口向下,对称轴为 x=0,所以在区间(0,1)上为减函数, 故不正确; 故选 A. 点评: 此题是个基础题.本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性 的问题.在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力.值 得同学们体会反思. 7. (5 分)三个数 0.7 ,0.7 ,6 3.1 6 0.7 A.0.7 <0.7 <6 6 0.7 3.1 C. 0.7 <6 <0.7
3.1 6 0.7

的大小关系为() 6 3.1 0.7 B. 0.7 <0.7 <6 0.7 6 3.1 D.6 <0.7 <0.7

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: 借助函数 y=0.7 在 R 上单调递减,y=6 在 R 上单调递增可比较 a,b,c 的大小 x 解答: 解:∵函数 y=0.7 在 R 上单调递减,且 6>3.1 6 3.1 0 0.7 <0.7 <0.7 =1

∵y=6 在 R 上单调递增 0.7 0 ∴6 >6 =1 6 3.1 0.7 ∴0.7 <0.7 <6 故选 B 点评: 本题主要考查了利用指数函数的单调性比较式子的大小,要注意“1“的引入,属于基 础试题 8. (5 分)若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N?M,则() A.a≤1 B.a≥1 C.a<1

x

D.a>1

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: 由 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N?M 可得 a>1. 解答: 解:∵M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N?M, ∴a>1, 故选 D. 点评: 本题考查了集合的运算及集合包含关系的应用,属于基础题.
x

9. (5 分)若函数 f(x)与 y=( ) ﹣ 范围是() A.{x|x<0} B.{x|x<﹣ }

的图象关于 y 轴对称,则满足 f(x)>0 的实数 x

C.{x|x> }

D.{x|x>1}

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对称性得出 f(x)=2
x x

,解不等式 f(x)>0 即可. 的图象关于 y 轴对称,

解答: 解:∵函数 f(x)与 y=( ) ﹣ ∴f(x)=2 ∵f(x)>0, ∴x ,
x



故选:C 点评: 本题考查了函数图象的对称性,解指数不等式,是一道简单综合题,难度不大. 10. (5 分)已知函数 y=x ﹣2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的范 围是() A.0<a<1 B.0<a≤2 C.1≤a≤2 D.0≤a≤2 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据函数 y=x ﹣2x+3 的图象的对称轴为 x=1,且当 x=1 时,y 取得最小值为 2;令 y=3,求得 x=0,或 x=3;结合条件求得 a 的范围.
2

解答: 解:∵函数 y=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2 的图象的对称轴为 x=1,且当 x=1 时,y 取得 最小值为 2; 由 y=3,求得 x=0,或 x=3; 2 再结合函数 y=x ﹣2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2, 可得 1≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属基础题. 11. (5 分)某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来 价格相比,变化情况是() A.增加 7.84% B.减少 7.84% C.减少 9.5% D.不增不减 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出四年后价格,再与原来价格比较,即可得到结论. 2 2 解答: 解:设该商品原价为 a,四年后价格为 a(1+0.2) (1﹣0.2) =0.926a, 所以(1﹣0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来减少了 7.84%. 故选 B. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 12. (5 分)设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,则 x?f(x)<0 的解集是() A.{x|﹣3<x<0 或 x>3} B. {x|x<﹣3 或 0<x<3} C. {x|x<﹣3 或 x>3} D.{x|﹣3<x<0 或 0<x<3} 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;分类讨论;转化思想. 分析: 由 x?f(x)<0 对 x>0 或 x<0 进行讨论,把不等式 x?f(x)<0 转化为 f(x)>0 或 f(x)<0 的问题解决,根据 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0, 把函数值不等式转化为自变量不等式,求得结果. 解答: 解;∵f(x)是奇函数,f(﹣3)=0,且在(0,+∞)内是增函数, ∴f(3)=0,且在(﹣∞,0)内是增函数, ∵x?f(x)<0 ∴1°当 x>0 时,f(x)<0=f(3) ∴0<x<3 2°当 x<0 时,f(x)>0=f(﹣3) ∴﹣3<x<0. 3°当 x=0 时,不等式的解集为?. 综上,x?f(x)<0 的解集是{x|0<x<3 或﹣3<x<0}. 故选 D. 点评: 考查函数的奇偶性和单调性解不等式,体现了分类讨论的思想方法,属基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若{1,2}?A?{1,2,3,4,5 },则集合 A 的个数是 8.

2

2

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 本题考查了集合子集的列举及其个数,集合 A 中必含元素 1,2,然后按照元素数从 少到多一一列举. 解答: 解:集合 A 有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}, {1,2,3,4},{1, 2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. 故答案为:8. 点评: 集合子集的列举要按照一定的顺序,防止遗漏. 14. (5 分)函数 f(x)=a
x﹣1

﹣1(a>0 且 a≠1)恒过定点(1,0) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数过定点(0,1) ,由图象变换可得答案. x 解答: 解:已知函数 y=a 过定点(0,1) x﹣1 x 函数 f(x)=a ﹣1 的图象可由 y=a 的图象向右平移 1 各单位,再向下平移 1 各单位得到. x﹣1 ∴函数 f(x)=a ﹣1 过定点(1,0) 故答案为: (1,0) . 点评: 本题考查指数函数的图象变换,掌握平移变化口诀“上加下减,左加右减”. 15. (5 分)若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)=﹣1. 考点: 分析法的思考过程、特点及应用. 分析: 这是一个凑配特殊值法解题的特例, 由f (2x+1) =x ﹣2x, 求f (3) 的值, 可令 (2x+1) =3,解出对应的 x 值后,代入函数的解析式即可得答案.本题也可使用凑配法或换元法求出 函数 f(x)的解析式,再将 x=3 代入进行求解. 解答: 解法一: (换元法求解析式) 令 t=2x+1,则 x=
2 2

则 f(t)= ∴

﹣2

=

∴f(3)=﹣1 解法二: (凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x ﹣2x= ∴ ∴f(3)=﹣1 解法三: (凑配法求解析式) 2 ∵f(2x+1)=x ﹣2x
2

令 2x+1=3 则 x=1 此时 x ﹣2x=﹣1 ∴f(3)=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 求未知函数解析式的函数的函数值,有两种思路,一种是利用待定系数法、换元法、 凑配法等求函数解析式的方法,求出函数的解析式,然后将自变值,代入函数解析式,进行求 解; (见本题的解法一、二)二是利用凑配特殊值的方法,凑出条件成立时的特殊值,代入求 解. (见本题的解法三) 16. (5 分)已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x,则 x<0 时,f 2 (x)的解析式为 f(x)=﹣x ﹣2x. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 2 分析: 由题意设 x>0 利用已知的解析式求出 f(﹣x)=x +2x,再由 f(x)=﹣f(﹣x) ,求 出 x<0 时的解析式. 解答: 解:由题意可得:设 x<0,则﹣x>0; ∵当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x, 2 ∴f(﹣x)=x +2x, 因为函数 f(x)是奇函数, 所以 f(﹣x)=﹣f(x) , 2 所以 x<0 时 f(x)=﹣x ﹣2x, 2 故答案为:f(x)=﹣x ﹣2x; 点评: 本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式(即利用 f(x)和 f(﹣x)的关系) , 把 x 的范围转化到已知的范围内求对应的解析式. 三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)当 m=3 时,求集合 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据两个集合的交集、并集的定义求出 A∩B,A∪B. (2)根据 B?A,分 B=?时和 B≠?时两种情况,分别求得 m 的范围,再取并集,即得所求. 解答: 解: (1)当 m=3 时,∵集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|4≤x≤5}, ∴A∩B={x|4≤x≤5},A∪B={x|﹣2≤x≤5}. (2)∵A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},B?A, 当 B=?时,m+1>2m﹣1,解得 m<2.
2 2 2

当 B≠?时,则有

解得 3≥m≥2.

综上可得,m≤3,

故实数 m 的取值范围为(﹣∞,3]. 点评: 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,集合间的包含关系,两个集合的交 集、并集的定义和求法,属于基础题. 18. (12 分)设 y1=a (1)y1=y2 (2)y1>y2.
2x+3

,y2=a ,其中 a>0,且 a≠1.确定 x 为何值时,有:

﹣x

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据幂相等则指数相等,列出方程求解即可; (2)根据不等式需要对 a 进行分两类:a>1 时和 0<a<1 时,再分别利用指数函数的单调性 列出不等式求解,最后要把结果分开表示. 解答: 解: (1)由 y1=y2 得:a 即 2x+3=﹣x,解得 x=﹣1,
2x+3
﹣x

2x+3

=a ,

﹣x

(2)由 y1>y2 得,a >a x 当 a>1 时,∵y=a 在定义域上递增, ∴2x+3>﹣x,解得 x>﹣1 x 当 0<a<1 时,∵y=a 在定义域上递减, ∴2x+3<﹣x,解得 x<﹣1 综上:当 a>1 时 x>﹣1;当 0<a<1 时 x<﹣1. 点评: 本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解,关键是根据底数判断函 数的单调性,考查了分类讨论思想.

19. (12 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)求定义域; (2)证明 f(x)在[1,+∞)上是增函数. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)要使函数式有意义则要求分母不为 0,可求定义域; (2)利用定义法证明 f(x) 在[1,+∞)上是增函数. 解答: 解: (1)要使函数 f(x)=x+ 有意义,则 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0}. (2)证明:任取且 x2>x1, 则 f(x1)﹣f(x2)=x1+ ﹣(x2+ )=x1﹣x2+( ﹣ )=(x1﹣x2) (1﹣ ) ,

∵x1,x2∈[1,+∞)且 x2>x1, ∴x1﹣x2<0,1﹣ >0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , f(x)在[1,+∞)上是增函数. 点评: 本题考查函数定义域以及单调性证明,利用定义法证明,注意步骤.

20. (12 分)设函数 f(x)与 g(x)的定义域是 x∈R 且 x≠±1,f(x)是偶函数,g(x)是奇 函数,且 f(x)+g(x)= .求:f(x)和 g(x)的解析式.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 题目给出了相同定义域上的两个函数,且给出了两函数解析式的和,可借助于 f(x) 和 g(x)的奇偶性,取 x=﹣x,得到关于 f(x)和 g(x)的另一方程,联立方程组求解即可, 解答: 解:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(﹣x)=f(x) ,且 g(﹣x)=﹣g(x) 由 得 即 , ② , . ①

联立①②解得:

点评: 本题考查了函数的奇偶性,考查了方程思想,解答此题的关键是借助于函数的奇偶 性得到关于 f(x)和 g(x)的另外一个方程,是求函数解析式的一种方法. 21. (12 分)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(3)=1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)从分利用条件 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1, (2)利用条件:函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,列出不等式组,解出此不等式 组. 解答: 解: (1)f(9)=f(3)+f(3)=2, f(27)=f(9)+f(3)=3 (2)∵f(x)+f(x﹣8)=f[x(x﹣8)]<f(9) 而函数 f(x)是定义在(0,+∞)上为增函数,



即原不等式的解集为(8,9) 点评: 本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值.

22. (12 分)某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系是: P= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系

是 Q=﹣t+40 (0<t≤30,t∈N) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的 一天是 30 天中的哪一天? 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题. 分析: 设日销售金额为 y 元,根据 y=P?Q 写出函数 y 的解析式,再分类讨论:当 0<t<25, t∈N+时,和当 25≤t≤30,t∈N+时,分别求出各段上函数的最大值,最后综合得出这种商品日销 售额的最大值即可. 解答: 解:设日销售额为 y 元,则 y=PQ= =

(1)若 0<t≤24,则当 t=10 时,ymax=900 (2)若 25≤t≤30,则当 t=25 时,ymax=1125 1125>900,所以当 t=25 时,ymax=1125 答:第 25 天日销售金额最大 点评: 本小题主要考查建立函数关系、分段函数等基础知识,解决实际问题的首要步骤: 阅读理解,认真审题.本题的函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各部 分的最值, 然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值, 取各部分的最小者为整个函数 的最小值.


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